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 #1 - 31-08-2010 00:03:21

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Une ifninité d'infinis

L'internat, jusqu'à présent strictement masculin, de l'école universelle de mathématiques compte une infinité de chambres, possédant toutes un numéro, de 1 à ... et logeant une infinité d'élèves.
Parmi ses élèves, deux particulièrement brillants, Alpha et Béta ont appris l'arrivée de filles à l'internat :

- J'attends ces filles avec impatience, avoua Alpha à son camarade.
- Tiens ! Regardes ! Un hyperbus est en train d'arriver, une infinité de futures étudiantes à son bord !
- Alpha, Béta ! , appela un professeur derrière eux, Ces jeunes filles vont loger à l'internat et étudier avec vous. L'un de vous voit il un moyen pour libérer assez de chambres ?
- Bien sur répondit Alpha ! Il suffit que le garçon de la chambre 1 aille dans la 2 , celui de la 2 dans la 4, celui de la 3 dans la 6 et ainsi de suite. Cela laisse toutes les chambres de rang impair pour les filles.
- L'idée de loger entre deux filles me plait bien, remarqua Béta
- Cela ne sera pas si simple, annonça le professeur, regardez l'infinité d'hyperbus qui suit le premier. Ils ont tous autant de filles à leur bord.


Alpha trouvera t il une solution pour loger toutes ces filles ?



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Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
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 #2 - 31-08-2010 00:34:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Une infinité d'infiis

C'est du Cantor pur et dur et j'adore ça c'est sûr smile

En déplaçant les garçons vers les chambres paires , on libère toutes les places impaires pour les filles . On repère chaque fille par un couple d'entiers naturels dont le premier éléments indique son numéro de car et le deuxième sa place dans celui-ci ( rien n'empêche de lui donner aussi un petit nom si affinité ou plus ) . En bref l'ensemble de ces filles est en bijection avec N² qui est lui même en bijection avec N qui est en bijection avec l'ensemble des nombres impairs .

Il reste prendre un temps infini pour ranger tout ce petit monde smile

S'il font des petits on pourra aussi leur trouver de la place sans problème dans des chambres contiguës à celles de leurs parents en déplaçant encore "quelques" étudiants lol

Vasimolo

 #3 - 31-08-2010 04:51:33

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Ue infinité d'infinis

Bonjour,

Le titre et le problème font référence aux travaux de Georg Cantor :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … _de_Cantor

Edit : J'ai aussi trouvé de la littérature faisant référence à Hilbert :

http://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%B4tel_de_Hilbert

Et si on demande aux garçons de déménager de leur chambre n à la chambre 2^n .... bof !

Sinon continuer à déménager tout le monde à chaque arrivage d'hyperbus dans un numéro de chambre double de celui attribué.


Sinon, il y a toujours de la place à la maison ....


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #4 - 31-08-2010 08:52:51

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Une infinité dinfinis

Lorsque le premier bus est arrivé, une chambre sur deux fut libérée.

Je propose de continuer de la même facon: liberer une chambre sur trois pour le deuxieme hyperbus, une chambre sur quatre pour le suivant etc. ce qui établit une relation bijective entre chaque nouvelle arrivante et une chambre. cool

J'espere qu'ils ont tout leur temps car il ne sont pas couchés! lolsmile

Question subsidiaire:
qu'est ce qui relit cette question avec la bataille de la grenouillère?


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 31-08-2010 09:12:22

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Une infinité d'inffinis

Une variante de l'hotel de Hilbert, j'aime bien smile
Si une infinité d'hyperbus arrivaient, ça ne poserait pas de problème non plus !!
En effet, à chaque fille, on attribue le numéro f = [latex]f=\frac{(p+b-1)(p+b)}{2} + 1 - p[/latex] ou p est la place dans le bus et b le numéro du bus; et lorsque chaque garçon aura quitté sa chambre N pour s'installer dans la chambre 2N, chaque fille s'installera dans la chambre 2f-1

Dit avec des termes plus mathématiques, ça donne: "Existe-t'il une bijection de N*N dans N", dit en termes profanes: "Est-ce qu'on peut donner un numéro à toutes les paires de nombres ?" et la réponse est oui, bizarrement.

 #6 - 31-08-2010 09:33:09

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Une infinité d'innfinis

Pas de souci tant qu'on reste dans le dénombrable... ce qui me semble admis dans la description.
Les hyperbus sont numérotés de n=1 à l'infini, les filles dans chaque bus de r=1 à l'infini.
Sauf étourderie de ma part, la chambre de l'étudiante (n,r) pourrait avoir le numéro [latex]p=(n+r)^2-3n-r+1[/latex]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #7 - 31-08-2010 10:26:59

noirobscure
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 107

Une infinité dd'infinis

Alpha: Toutes dans ma chambre ! big_smile
infini + 1 = infini
2* infini = infini
infini * infini je suppose que cela sera aussi l'infini
Donc je suppose également que l'idée d'alpha de leur attribuer les chambres pairs est la meilleure car il n'y aura pas plus de filles que de garçon (car infini et égale à l'infini) et que les graçons et les filles préféraient avoir des individues du sexe opposé comme voisins plûtôt que de les voir de l'autre coté du dortoire à une distance infini.

 #8 - 31-08-2010 11:31:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une infinnité d'infinis

Si je me souviens bien de mon programme d'agrégation (celui que j'ai révisé à peine un ou deux mois, vu que je me suis vu proposer une thèse pas longtemps après avoir commencé), il faudra passer à l'infini suivant : si l'internat comporte [latex]\aleph_0[/latex] chambres (le cardinal de [latex]\mathbb{N}[/latex]), il faudra désormais en placer [latex]\aleph_1[/latex] (le cardinal de [latex]\mathbb{R}[/latex])... Je crois que c'est mal parti pour eux, à moins qu'ils ne construisent sévèrement...

EDIT : je m'autocorrige. On a d'après l'hypothèse du continu [latex]\aleph_1 = 2^{\aleph_0}[/latex], or [latex]\aleph_0^2 < 2^{\aleph_0}[/latex], donc il semblerait que le nombre de chambres requis reste [latex]\aleph_0[/latex]... Mal à la tête.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 31-08-2010 12:24:03

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

une infinoté d'infinis

Beaucoup de bonnes réponses, c'est très intéressant !

franck dit
Question subsidiaire:
qu'est ce qui relit cette question avec la bataille de la grenouillère?

Quelqu'un trouve la réponse? pas moi ^^

@ franck : dis moi quel sera le nouveau numéro de chambre des garçons, logeant avant l'arrivée des filles, dans les chambres 1 et 2 ?
Je ne suis pas sur d'avoir très bien compris ta démarche. Il me semble que tu ne peux pas répondre à cette question. C'est donc un problème, si tu ne peux pas dire à ces garçon quel sera le numéro de leur nouvelle chambre.


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #10 - 31-08-2010 13:35:46

langelotdulac
Ange de Prise2Tete
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Messages : 2963
Lieu: Paradis

ube infinité d'infinis

Trouvé sur le net, un truc dans le genre ... les garçons dans les chambres avec les nombres premiers dont le nombre est infini ...... les filles, dans les autres, a priori y en a plus .....  mais tout ça me paraît infiniment compliqué ....  Mixité  ! big_smile

@ Franck : Le Pemmican ?


Tu es largement assez dingo pour qu'un Minito te semble cohérent \o/ !

 #11 - 31-08-2010 14:16:12

lefredj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 115

Uen infinité d'infinis

il suffit que le garçon numérotés n prenne la chambre numérotée n(n+1)/2, et entre le garçon n et le garçon n+1, il y aura n chambres libres. Dans la i-ème chambre de cet intervalle (numérotée n(n+1)/2+i ), on logera la (n-i+1)-ème fille du i-ème bus. Chacun aura une chambre.
Pour les premières chambres, ça ressemblera à ça:
1 - garçon 1
2 - fille 1 bus 1
3 - garçon 2
4 - fille 2 bus 1
5 - fille 1 bus 2
6 - garçon 3
7 - fille 3 bus 1
8 - fille 2 bus 2
9 - fille 1 bus 3
10 - garçon 4
...

 #12 - 31-08-2010 15:47:49

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Une infinité d'infinsi

Je propose un exemple simple:
Les garçons vont dans les chambres dont le numéro est une puissance de 2 dans leur ordre d'arrivée
Les filles du premier hyperbus vont dans les chambres dont le numéro est une puissance de 3 dans leur ordre d'arrivée
Les filles du deuxième hyperbus vont dans les chambres dont le numéro est une puissance de 5 dans leur ordre d'arrivée
...

En n'utilisant que des puissances de nombres premiers, on est sûr que la même chambre ne sera jamais utilisée 2 fois.
Par contre beaucoup de chambres restent vide.

De façon plus "formelle", on cherche une injection de NxN dans N, puis de NxNxN dans N, ...
Ce problème est connu sous le nom de paradoxe de l'Hotel de Hilbert et vous pourrez faire de la lecture intéressante quoiqu'un peu théorique à ce sujet sur le Web (point de départ par exemple: http://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%B4tel_de_Hilbert)

Merci de l'avoir proposé ici.

 #13 - 01-09-2010 09:00:23

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Une infinité d'iinfinis

Bonjour,

Je pense qu'il existe plusieurs infinités de réponses possibles ! lol

La plus simple : toutes les filles chez Mathias et tous les garçons chez Sosoy lolbig_smilelol

Une autre :
Le garçon n° N se place juste derrière la 1ère fille du bus N, elle-même derrière la 2ème fille du bus N-1, elle-même derrière la 3ème fille du bus N-2, etc... jusqu'à la Nème fille du bus n°1.
Avec ce procédé, le garçon n°N se trouve dans la chambre :
N + (N-1) + (N-2) + ... + 1 (pour les filles devant lui) + (N-1) (pour les garçons devant lui) + 1 (pour sa chambre à lui), soit N(N+3)/2

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #14 - 01-09-2010 10:10:19

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Une infinité d'ininis

Encore de nouvelles bonne réponses \o/

Et bien joué à Rivas qui en laissant un nombre infini de chambre vide, permet d'importantes économies d'énergie.


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #15 - 01-09-2010 10:36:44

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

nUe infinité d'infinis

Je ne comprends pas la remarque consistant à laisser une infinité de chambres vides.
Il suffit d'entourer chaque garçon d'une chambre vide devant et derrière lui pour avoir deux infinités de chambres vides....


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #16 - 01-09-2010 10:41:57

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

une infinité d'infibis

C'était une simple pointe d'humour ;D
La méthode de Rivas est assez intéressante d'un point de vu arithmétique.
Ta solution est très bonne aussi big_smile


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #17 - 01-09-2010 10:57:28

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
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Messages : 3414
Lieu: Près de la mer

une infiniyé d'infinis

Je n'ai aucune idée de la solution mais si ça peut dépanner, je veux bien en accueillir 2 ou 3 trois dans ma chambre, des filles...roll Je dis ça, c'est pour aider bien sur...big_smilelol

 #18 - 01-09-2010 21:28:57

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une infinité d'infinsi

Je crois avoir trouvé une construction, alleluyah !

Les chambres sont à la base toutes remplies de garçons :

G(1) - G(2) - G(3) - G(4) - G(5) - G(6) - ...

On vide une chambre, puis deux, puis trois, etc :

G(1) - X - G(2) - X -  X - G(3) - X - X - X - G(4) - ...

On remplit la première chambre libre après chaque garçon grâce aux filles du premier bus :

G(1) - F(1,1) - G(2) - F(1,2) - X - G(3) - F(1,3) - X - X - G(4) - F(1,4) - X - X - X - G(5) - ...

On remplit la première chambre libre après chaque garçon en partant du deuxième grâce aux filles du deuxième bus :

G(1) - F(1,1) - G(2) - F(1,2) - F(2,1) - G(3) - F(1,3) - F(2,2) - X - G(4) - F(1,4) - F(2,3) - X - X - G(5) - ...

Et caetera. Chaque personne sait d'avance le numéro de sa chambre, en plus, vu que le garçon [latex]n[/latex] sera dans la chambre [latex]n(n+1)/2[/latex].


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 02-09-2010 09:27:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

yne infinité d'infinis

Nouvelle strategie

plutot que de demander aux mec de changer de chambre indefiniment, je propose cette nouvelle solution.

Je demande aux etudiantes du bus 1 d'occuper une chambre sur deux ce qui laissera une chambre sur deux libres pour le hyperbus suivant.
La meme chose est demandée à chaque bus.
Cette stratégie offre les avantages suivants:
-Pas de mouvement de chambre en dehors du mouvement initial.
-L'attributtion des chambres est definitive
-L'attribution des chambres peut se faire par anticipation: la deuxieme personne descendant du bus 3 aura la chambre 15

il y a toujours une infinite de chambre libre meme si il y en a de moins en moins!


The proof of the pudding is in the eating.

 #20 - 03-09-2010 17:44:38

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Une infinité d'infins

Voila le temps est écoulé, vous pouvez regarder vos réponses respectives. Je n'ai rien de plus à apporter si ce n'est

(n,p) -> 2 ^n (2p+1) est une autre bijection de N² dans N que je trouve personnellement plus simple et plus jolie tongue


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #21 - 03-09-2010 17:53:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

une infinité f'infinis

Klimrod a écrit:

La plus simple : toutes les filles chez Mathias et tous les garçons chez Sosoy lolbig_smilelol

Oh ouiiiii big_smile


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 #22 - 03-09-2010 17:59:32

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
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Une nifinité d'infinis

C'est qu'il nous en laisserait même pas deux ou trois, le bougre !!! lol

 #23 - 03-09-2010 18:03:28

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

Une innfinité d'infinis

Alors qu'en t'en laissant deux ou trois il en a le même nombre de son coté ^^


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #24 - 03-09-2010 18:08:18

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

Une infinité di'nfinis

la reponse a la question subsidiaire se trouve ici:

http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tis_flag


The proof of the pudding is in the eating.

 #25 - 03-09-2010 18:08:56

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une infinité d'infinnis

Bon, OK, je vais être sympa : je te laisse les moches, et je garde le car de suédoises lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

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