|
#1 - 31-08-2010 00:03:21
- falcon
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 26
- Messages : 106
Une infinitéé d'infinis
L'internat, jusqu'à présent strictement masculin, de l'école universelle de mathématiques compte une infinité de chambres, possédant toutes un numéro, de 1 à ... et logeant une infinité d'élèves. Parmi ses élèves, deux particulièrement brillants, Alpha et Béta ont appris l'arrivée de filles à l'internat :
- J'attends ces filles avec impatience, avoua Alpha à son camarade. - Tiens ! Regardes ! Un hyperbus est en train d'arriver, une infinité de futures étudiantes à son bord ! - Alpha, Béta ! , appela un professeur derrière eux, Ces jeunes filles vont loger à l'internat et étudier avec vous. L'un de vous voit il un moyen pour libérer assez de chambres ? - Bien sur répondit Alpha ! Il suffit que le garçon de la chambre 1 aille dans la 2 , celui de la 2 dans la 4, celui de la 3 dans la 6 et ainsi de suite. Cela laisse toutes les chambres de rang impair pour les filles. - L'idée de loger entre deux filles me plait bien, remarqua Béta - Cela ne sera pas si simple, annonça le professeur, regardez l'infinité d'hyperbus qui suit le premier. Ils ont tous autant de filles à leur bord.
Alpha trouvera t il une solution pour loger toutes ces filles ?
Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
#2 - 31-08-2010 00:34:10
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,426E+3
#4 - 31-08-2010 08:52:51
- franck9525
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1935
- Lieu: 86310
Une infinité d'infiniis
The proof of the pudding is in the eating.
#5 - 31-08-2010 09:12:22
- scarta
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 1970
Une infinité d'ifninis
Une variante de l'hotel de Hilbert, j'aime bien Si une infinité d'hyperbus arrivaient, ça ne poserait pas de problème non plus !! En effet, à chaque fille, on attribue le numéro f = [latex]f=\frac{(p+b-1)(p+b)}{2} + 1 - p[/latex] ou p est la place dans le bus et b le numéro du bus; et lorsque chaque garçon aura quitté sa chambre N pour s'installer dans la chambre 2N, chaque fille s'installera dans la chambre 2f-1
Dit avec des termes plus mathématiques, ça donne: "Existe-t'il une bijection de N*N dans N", dit en termes profanes: "Est-ce qu'on peut donner un numéro à toutes les paires de nombres ?" et la réponse est oui, bizarrement.
#6 - 31-08-2010 09:33:09
- scrablor
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 965
Une infinité 'dinfinis
Pas de souci tant qu'on reste dans le dénombrable... ce qui me semble admis dans la description. Les hyperbus sont numérotés de n=1 à l'infini, les filles dans chaque bus de r=1 à l'infini. Sauf étourderie de ma part, la chambre de l'étudiante (n,r) pourrait avoir le numéro [latex]p=(n+r)^2-3n-r+1[/latex]
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#7 - 31-08-2010 10:26:59
- noirobscure
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 107
Une infinité d'infniis
Alpha: Toutes dans ma chambre ! infini + 1 = infini 2* infini = infini infini * infini je suppose que cela sera aussi l'infini Donc je suppose également que l'idée d'alpha de leur attribuer les chambres pairs est la meilleure car il n'y aura pas plus de filles que de garçon (car infini et égale à l'infini) et que les graçons et les filles préféraient avoir des individues du sexe opposé comme voisins plûtôt que de les voir de l'autre coté du dortoire à une distance infini.
#8 - 31-08-2010 11:31:20
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
Une infinté d'infinis
Si je me souviens bien de mon programme d'agrégation (celui que j'ai révisé à peine un ou deux mois, vu que je me suis vu proposer une thèse pas longtemps après avoir commencé), il faudra passer à l'infini suivant : si l'internat comporte [latex]\aleph_0[/latex] chambres (le cardinal de [latex]\mathbb{N}[/latex]), il faudra désormais en placer [latex]\aleph_1[/latex] (le cardinal de [latex]\mathbb{R}[/latex])... Je crois que c'est mal parti pour eux, à moins qu'ils ne construisent sévèrement...
EDIT : je m'autocorrige. On a d'après l'hypothèse du continu [latex]\aleph_1 = 2^{\aleph_0}[/latex], or [latex]\aleph_0^2 < 2^{\aleph_0}[/latex], donc il semblerait que le nombre de chambres requis reste [latex]\aleph_0[/latex]... Mal à la tête.
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#9 - 31-08-2010 12:24:03
- falcon
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 26
- Messages : 106
Une infinité d'ininis
Beaucoup de bonnes réponses, c'est très intéressant !
franck dit Question subsidiaire: qu'est ce qui relit cette question avec la bataille de la grenouillère?
Quelqu'un trouve la réponse? pas moi ^^
@ franck : dis moi quel sera le nouveau numéro de chambre des garçons, logeant avant l'arrivée des filles, dans les chambres 1 et 2 ? Je ne suis pas sur d'avoir très bien compris ta démarche. Il me semble que tu ne peux pas répondre à cette question. C'est donc un problème, si tu ne peux pas dire à ces garçon quel sera le numéro de leur nouvelle chambre.
Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
#10 - 31-08-2010 13:35:46
- langelotdulac
- Ange de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 2963
- Lieu: Paradis
Un einfinité d'infinis
Trouvé sur le net, un truc dans le genre ... les garçons dans les chambres avec les nombres premiers dont le nombre est infini ...... les filles, dans les autres, a priori y en a plus ..... mais tout ça me paraît infiniment compliqué .... Mixité !
@ Franck : Le Pemmican ?
Tu es largement assez dingo pour qu'un Minito te semble cohérent \o/ !
#11 - 31-08-2010 14:16:12
- lefredj
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 115
Une infinité d'infnis
il suffit que le garçon numérotés n prenne la chambre numérotée n(n+1)/2, et entre le garçon n et le garçon n+1, il y aura n chambres libres. Dans la i-ème chambre de cet intervalle (numérotée n(n+1)/2+i ), on logera la (n-i+1)-ème fille du i-ème bus. Chacun aura une chambre. Pour les premières chambres, ça ressemblera à ça: 1 - garçon 1 2 - fille 1 bus 1 3 - garçon 2 4 - fille 2 bus 1 5 - fille 1 bus 2 6 - garçon 3 7 - fille 3 bus 1 8 - fille 2 bus 2 9 - fille 1 bus 3 10 - garçon 4 ...
#12 - 31-08-2010 15:47:49
- rivas
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1106
- Lieu: Jacou
une infinité d'infibis
Je propose un exemple simple: Les garçons vont dans les chambres dont le numéro est une puissance de 2 dans leur ordre d'arrivée Les filles du premier hyperbus vont dans les chambres dont le numéro est une puissance de 3 dans leur ordre d'arrivée Les filles du deuxième hyperbus vont dans les chambres dont le numéro est une puissance de 5 dans leur ordre d'arrivée ...
En n'utilisant que des puissances de nombres premiers, on est sûr que la même chambre ne sera jamais utilisée 2 fois. Par contre beaucoup de chambres restent vide.
De façon plus "formelle", on cherche une injection de NxN dans N, puis de NxNxN dans N, ... Ce problème est connu sous le nom de paradoxe de l'Hotel de Hilbert et vous pourrez faire de la lecture intéressante quoiqu'un peu théorique à ce sujet sur le Web (point de départ par exemple: http://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%B4tel_de_Hilbert)
Merci de l'avoir proposé ici.
#13 - 01-09-2010 09:00:23
- Klimrod
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 40
- Messages : 4050
- Lieu: hébesphénorotonde triangulaire
Uen infinité d'infinis
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#14 - 01-09-2010 10:10:19
- falcon
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 26
- Messages : 106
Unee infinité d'infinis
Encore de nouvelles bonne réponses \o/
Et bien joué à Rivas qui en laissant un nombre infini de chambre vide, permet d'importantes économies d'énergie.
Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
#15 - 01-09-2010 10:36:44
- Klimrod
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 40
- Messages : 4050
- Lieu: hébesphénorotonde triangulaire
une infinoté d'infinis
Je ne comprends pas la remarque consistant à laisser une infinité de chambres vides. Il suffit d'entourer chaque garçon d'une chambre vide devant et derrière lui pour avoir deux infinités de chambres vides....
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#16 - 01-09-2010 10:41:57
- falcon
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 26
- Messages : 106
yne infinité d'infinis
C'était une simple pointe d'humour ;D La méthode de Rivas est assez intéressante d'un point de vu arithmétique. Ta solution est très bonne aussi
Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
#17 - 01-09-2010 10:57:28
- Flying_pyros
- Sage de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 3418
- Lieu: Près de la mer
#18 - 01-09-2010 21:28:57
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
Une innfinité d'infinis
Je crois avoir trouvé une construction, alleluyah !
Les chambres sont à la base toutes remplies de garçons :
G(1) - G(2) - G(3) - G(4) - G(5) - G(6) - ...
On vide une chambre, puis deux, puis trois, etc :
G(1) - X - G(2) - X - X - G(3) - X - X - X - G(4) - ...
On remplit la première chambre libre après chaque garçon grâce aux filles du premier bus :
G(1) - F(1,1) - G(2) - F(1,2) - X - G(3) - F(1,3) - X - X - G(4) - F(1,4) - X - X - X - G(5) - ...
On remplit la première chambre libre après chaque garçon en partant du deuxième grâce aux filles du deuxième bus :
G(1) - F(1,1) - G(2) - F(1,2) - F(2,1) - G(3) - F(1,3) - F(2,2) - X - G(4) - F(1,4) - F(2,3) - X - X - G(5) - ...
Et caetera. Chaque personne sait d'avance le numéro de sa chambre, en plus, vu que le garçon [latex]n[/latex] sera dans la chambre [latex]n(n+1)/2[/latex].
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#19 - 02-09-2010 09:27:22
- franck9525
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1935
- Lieu: 86310
Une infinité d'infiins
Nouvelle strategie
plutot que de demander aux mec de changer de chambre indefiniment, je propose cette nouvelle solution.
Je demande aux etudiantes du bus 1 d'occuper une chambre sur deux ce qui laissera une chambre sur deux libres pour le hyperbus suivant. La meme chose est demandée à chaque bus. Cette stratégie offre les avantages suivants: -Pas de mouvement de chambre en dehors du mouvement initial. -L'attributtion des chambres est definitive -L'attribution des chambres peut se faire par anticipation: la deuxieme personne descendant du bus 3 aura la chambre 15
il y a toujours une infinite de chambre libre meme si il y en a de moins en moins!
The proof of the pudding is in the eating.
#20 - 03-09-2010 17:44:38
- falcon
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 26
- Messages : 106
Une infinté d'infinis
Voila le temps est écoulé, vous pouvez regarder vos réponses respectives. Je n'ai rien de plus à apporter si ce n'est
(n,p) -> 2 ^n (2p+1) est une autre bijection de N² dans N que je trouve personnellement plus simple et plus jolie
Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
#21 - 03-09-2010 17:53:32
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
Une infinité d'ifninis
Oh ouiiiii
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#22 - 03-09-2010 17:59:32
- Flying_pyros
- Sage de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 3418
- Lieu: Près de la mer
une unfinité d'infinis
C'est qu'il nous en laisserait même pas deux ou trois, le bougre !!!
#23 - 03-09-2010 18:03:28
- falcon
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 26
- Messages : 106
Une infinité d'nifinis
Alors qu'en t'en laissant deux ou trois il en a le même nombre de son coté ^^
Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
#24 - 03-09-2010 18:08:18
#25 - 03-09-2010 18:08:56
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
une infonité d'infinis
Bon, OK, je vais être sympa : je te laisse les moches, et je garde le car de suédoises
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
Mots clés des moteurs de recherche
|
|