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 #1 - 09-10-2009 23:28:51

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

Boules de cristaal

Un petit problème posé au concours d'admission de X polytechnique, enfin il parait, je n'y étais pas

On veut determiner avec précision à partir de quelle hauteur des boules de cristal se cassent. Pour cela on peut les lancer à differents étages d'un immeuble de 120 étages et on veut trouver l'étage limite, c'est à dire, à partir de cet étage et aux étages supérieurs elles cassent par en contre aux étages inférieurs elles ne cassent pas.

Quel est le nombre de lancer minimum et la stratégie à utiliser pour etre sur de trouver l'étage limite avec seulement 2 boules de cristal?



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 #2 - 09-10-2009 23:34:55

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

boumes de cristal

Je dirais quinze lancers aux maximum.

1. 15
2. 29 =15 +14
3. 42 = 29+ 13
...
13. 117 = 114+3
14. 119 = 117 +2
15. 120= 119+1

Je commence à 15.

Si la première boule se casse, je repars du 1er et j'ai 14 essais au maximum pour que la deuxième se casse --> 15 au plus.

Si elle ne casse pas, je passe au 29 (si elle se casse, je repars du 16 et j'ai 13 essais maximum pour que la deuxième se casse ---> 15 au plus)

Sinon je passe au 42. (si elle se casse, je repars du 30 +12 essais maximum --->15 au plus)

etc...

Si elle doit se casser au 120ème étage, j'en serai à 15 lancers avec cette méthode. Et une chance sur quinze que la deuxième reste intacte.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #3 - 09-10-2009 23:48:08

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Boues de cristal

Il faut d'abord admettre - et j'ai un peu de mal - qu'une boule qui a résisté à une chute n'a pas perdu un peu de sa résistance. J'admets aussi qu'elle ne casse pas si on la lâche au rez-de-chaussée...

Je lance la première boule des étages 3, puis 6, puis 9... jusqu'à ce qu'elle casse.
Elle casse donc à l'étage 3n.
Je lance l'autre à l'étage 3n-2 puis, si possible, 3n-1.

Si x désigne le premier étage fatal pour la boule, j'ai dû faire un nombre d'essais égal à :
E((x+1)/3) + 2 - où E est la fonction "partie entière" - avec 1 chance sur 3 de garder une boule intacte.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 10-10-2009 00:39:07

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Bolues de cristal

7 lancers.
on commence au 60 eme et on fait comme on dit en maths par dichotomie
Si ca se casse tu vas au 30eme sinon tu vas au 90eme

 #5 - 10-10-2009 03:58:50

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

boules de vristal

AU hasard, je dirais que
1) soit on considere que cet etage peut etre n'importe quel etage y compris le dernier.
On prend la racine carrée de 120, soit 11 approximativement.
on lance la premiere boule tous les 11 etages, donc aux étages:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 et 110
et quand elle se casse, on prend le dernier etage ou elle ne s'est pas cassée, et avec l'autre boule on essaye tous les etages.
Par exemple, si la premiere boule s'est cassée au 66eme,
avec la 2eme, on essay les 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64 et 65, jusqu'a ce qu'elle se casse.
Au maximum on aura 20 essais.
On peut aussi:
2) estimer que la boule se cassera probablement par exemple entre le 10eme et le 60eme etage, basé sur des calculs incluant la resistance des materiaux... etc
et faire un test reduit tous les 7 etages pour la remiere boule, et tous les etages pour la 2eme, avec un maximum de tests de 15.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 10-10-2009 15:36:19

ZosleX
Visiteur

Boulles de cristal

J'ai trouvé 15.
Le tout est de penser en dégressif.

 #7 - 10-10-2009 15:48:48

moicestmoi
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1617
Lieu: Avec vous :-)

Boules de crista

Ah bon, on peut ouvrir des fenêtres dans des immeubles aussi hauts ?
Sauf peut-être aux tout derniers étages pour accéder aux toits...
En tout cas, ça pourrait répondre à ta question.


L'angle droit bout à 90 degrés.

 #8 - 10-10-2009 23:43:52

Damnation
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 208

Booules de cristal

Sachant qu'elle est en cristal, elle se casse dès le premier etage big_smile
Ok C'est bon je suis deja dehors ----> [ -]

 #9 - 11-10-2009 03:09:38

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

BBoules de cristal

h/2 +1

--
Les messages doivent avoir une contenance minimum de 15 caractères.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #10 - 12-10-2009 11:13:10

Enelya!
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 117

Boulse de cristal

Je dirais 2 lancés minimum, ça dépend de la hauteur...
La technique serrait de monté les étages 4 par 4 jusqu'à ce que la boulet casse. Dans ce cas là on descend de 2 étages on l'a lance... Si elle casse, c'est en dessous, si elle ne casse pas, on lance au dessus, si elle casse, c'est que c'est là, sinon, c'est au dessus.

Explication : avec un lancer on peut tester de boules, donc avec 2 boules, on peut testé 2*2 étages.
Si nous avions eu 3 boules, nous aurions pu faire les étages deux par deux.

 #11 - 12-10-2009 13:41:50

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 375

boules de criqtal

Problème général :

Si on prend l'énoncé à la lettre, à chaque lacher de boule à une hauteur h, on reçoit l'information binaire : "casse" ou "ne casse pas", et on sait que si ça casse pour la hauteur h, ça casse pour la hauteur supérieures et que si ça ne casse pas pour la hauteur j, ça ne casse pas pour toutes les hauteurs inférieures.

L'optimisation du nombre d'essai d'un tel problème se fait par dychotomie (=coupage en deux).

On essaie à 60, puis 30 ou 90 suivant le résultat, etc...

On s'arrête quand on a l'info : à h ça ne casse pas et à h+1 ça casse.
Donc il faut réduire à 1 la longueur de notre intervalle final*.

comme 2 puis 6 < 120 < 2 puis 7, il faut 7 essais pour être sur de trouver le bon étage.

Problème particulier :

L'énoncé semble dire que 2 boules sont suffisantes, celà signifie que les 2 lachers se font à la hauteur cherchée h et à la hauteur h-1.

Je rajoute à l'énoncé que si ça casse pour h=1, alors la réponse est h=1 et on le prouve avec un lancer à h=1 et si ça ne casse pas pour h=120 alors la réponse est h>120 et on le prouve avec un lancer à l'étage 120.

La stratégie consiste donc à avoir beaucoup de chance dans le choix de la première hauteur... et à maximiser cette chance.

Si on choisit entre 3 et 118 :

Nous avons 1/121 chance de tomber sur la hauteur cherchée h0 (et de tester ensuite à h0-1) et 1/121 chance de tomber sur h0-1 (et de tester ensuite à h0), donc dans ces 2 cas nous auront déterminé h0.

Nous avons dans ce cas 2 chances sur 121.

Si l'on commence avec la hauteur 2 ou 119, on a le même pourcentage de change d'avoir 2 résultats différents qui permettent d'encadrer h0.
Par contre, si on a choisi 2 et que ca casse dès 1, sans encadrer h0, on aura la réponse (de même si ça ne casse pas à 120).

Donc si on choisi la hauteur initiale 2 ou 119, on a 3 chances sur 121 de trouver la bonne hauteur.

Donc la stratégie consiste à choisr en hauteur initiale 2 ou 119, nous auront alors 3 chance sur 121 de prouver en 2 lancers seulement quelle est la hauteur de casse.

Et comme on parle de cristal, le risque étant important que ça casse à faible hauteur, je choisirais donc de commencer à h=2 (en plus c'est moins fatiguant et je limite les risques d'avoir des débris à ramasser puisque dans seulement 2 cas sur 121 ma première boule va casser et 1/2 pour la deuxieme si la premiere a cassé et 1/119 la deuxieme si la premiere n'a pas cassé...)

problème personnel (ajouté après lecture des autres réponses...) :
Avant de se lancer dans des démonstrations fumeuses, il faut comprendre l'énoncé : une petite confusion entre "lancer" et "boule" m'a fait écrire n'importe quoi. J'en suis désolé.

 #12 - 12-10-2009 17:29:34

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Boulse de cristal

je dirais qu'il faut en lâcher une tous les 2 étages, puis redescendre si ça casse, voire a quelle étage exactement.
en tout ((n+1)modulo 2) +1).

 #13 - 12-10-2009 18:33:19

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 3418
Lieu: Près de la mer

Boules de critsal

Hello,

Il faut voir la solution dans la boule de cristal !!!! big_smile
une fois l'étage vu dans la boule, on peut tester avec ses deux boules. hmm

a+

 #14 - 12-10-2009 21:15:31

djeuns
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 30

Boules de crristal

on commence avec 1 boule du RDC puis on monte au fur et a mesure
des qu elle casse  on redescend d un etage et on reessaye avec la 2eme boule si elle ne casse pas on a trouver l etage limte : au dessus ca casse

 #15 - 12-10-2009 23:42:14

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

bpules de cristal

Je me suis fait avoir dans cette histoire, bravo !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #16 - 12-10-2009 23:52:29

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Boules de cirstal

Pas mécontent de sa construction sur ce coup-là, le papiauche. lol

papiauche coolcoolcool


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #17 - 13-10-2009 09:18:52

Enelya!
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 117

voules de cristal

Bien vue papiauche !

 #18 - 13-10-2009 10:16:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Boules de criistal

En effet, superbe... Et appliquable à tous les nombres, suffit de trouver le plus petit [latex]n[/latex] tel que le nombre d'étages du building est inférieur ou égal à [latex]\frac{n(n+1)}{2}[/latex], et pis vendu.

Très joli coup. Du haut de tes 91 ans, t'es admissible aux X wink ("et quoi de mieux qu'une carrière X à cet âge canonique ?" dirait ash à ma place)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 13-10-2009 15:27:15

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

Boules de crista

En effet felicitations à papiauche et Zoslex qui ont trouvé la reponse optimale, vous avez presque tous pensé à utiliser la premiere boule pour trouver un palier mais toute l'astuce était de trouver que ces paliers ne devaient pas tous etre de la meme hauteur , vu que les derniers palieres ont nécessité plus de tests préalables.

Je ne réexplique pas en détail vu que papiauche l'a très bien fait. Effectivement Mths-MlndN cela revient à chercher un entier n tel que
n(n+1)/2 soit plus grand que le nombre d'etages. Pour ceux qui ne voient pas pourquoi, on remarque dans la solution que la hauteur du palier dimlinue de 1 à chaque fois jusqu'à obtenir en haut de l'immeuble un palier de 1 etage. Du coup cela revient à chercher n tel que la somme des nombres de 1 à n soit plus grande que la hauteur de l'immeuble. Cette somme vaut n(n-1)/2, c'est une formule bien connue. Pour la justifier je pourrais vous dire que je somme 1 avec n, 2 avec n-1, 3 avec n-2 et ainsi de suite de telle sorte que chaque somme partielle vaut n+1. Comme il se trouve que j'ai n/2 somme partielle de ce type, on a bien au final une somme globale de n(n+1)/2.

Voila, j'espere avoir été clair et que cet enigme vous a plu

 #20 - 13-10-2009 15:36:34

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Boules de crstal

Merci, c'était très bien


http://enigmusique.blogspot.com/

 #21 - 13-10-2009 16:45:50

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

boules de cristam

han, j'avais raté le minimum, je trouvais le truc simple aussi big_smile
ça m'apprendra a faire les énigmes en 2 mins tiens, je suis passé a coté d'une plutôt sympa.

 #22 - 05-11-2010 21:36:37

Gasole
Visiteur

Boules de criistal

Bonjour,

J'ai rencontré cette énigme cet après-midi, après avoir trouvé "la" solution, je me suis demandé comment prouver qu'elle est optimale... avez-vous une idée ?

Cordialement,

Olivier.

papiauche a écrit:

Je dirais quinze lancers aux maximum.
1. 15
2. 29 =15 +14
3. 42 = 29+ 13
...
13. 117 = 114+3
14. 119 = 117 +2
15. 120= 119+1

Je commence à 15.

Si la première boule se casse, je repars du 1er et j'ai 14 essais au maximum pour que la deuxième se casse --> 15 au plus.

Si elle ne casse pas, je passe au 29 (si elle se casse, je repars du 16 et j'ai 13 essais maximum pour que la deuxième se casse ---> 15 au plus)

Sinon je passe au 42. (si elle se casse, je repars du 30 +12 essais maximum --->15 au plus)

etc...

Si elle doit se casser au 120ème étage, j'en serai à 15 lancers avec cette méthode. Et une chance sur quinze que la deuxième reste intacte.

 #23 - 15-11-2010 21:30:21

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

bouleq de cristal

Merci Papiauche, j'avais déjà lu ta réponse, mais rien ne prouve son optimalité, surtout : comment trouve-t-on les étages-tests dans le cas général. ?

Enfin, depuis j'ai trouvé une preuve, assez facile d'ailleurs, mon seul regret est qu'elle utilise une dérivée dans une situation discrète et ça m'énerve :-)

 #24 - 15-11-2010 22:38:01

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

Boulles de cristal

J'ai pas trouvé, j'ai les boules...


plouf

 #25 - 16-11-2010 14:46:29

Nicouj
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Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Boules ed cristal

Gasole a écrit:

Bonjour,

J'ai rencontré cette énigme cet après-midi, après avoir trouvé "la" solution, je me suis demandé comment prouver qu'elle est optimale... avez-vous une idée ?

Cordialement,

Olivier.

En fait on devrait montrer ça un peu de la même manière que l'on démontre que la complexité du tri de n éléments est n*log_2(n)

Voilà une idée informelle d'une preuve.

Quelque soit sa stratégie, on peut la représenter par un arbre, où les nœuds sont les étages où on fait un essai et ou les fils gauche représentent les essais suivants si la boule s'est cassée et les fils droit représentent les essais si la boule ne s'est pas cassée.
La stratégie optimale est donc celle qui minimise la hauteur de l'arbre qui la représente.
L'arbre représentant la solution à la forme

A
| A
|| A
||| A
|||| A
etc

Tous les sous arbres sont de même longueurs, on ne peut donc pas trouver d'arbre plus court. C'est donc bien une stratégie optimale.

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(2) — Jeux d enigmes des boules de crystal (2) — Boule cristal 2009 (2) — 2 boules 120 etages (2) — Fabriquer les 7 boules de cristal (2) — Enigme balle cassante etage 100 (2) — Fabrication boules de cristal (2) — Fabriquer des boules dr cristale (2) — Fabriquer des boules de cristal (2) — Enigme billes cassees etage (2) — Nombre lance 100 etages enigme (1) — Solution casse tete crystal taille 11 (1) — Probleme immeuble boule casse (1) — Cristal chance (1) — 120 etage enigme* (1) — Mon premier prend la lance et la boule (1) — Reflexion dans un demi boule de verre (1) — Une boule m\ a lance (1) — 100 etages 2 oeufs (1) — Enigmes logiques au concour d admission en polytechnique (1) — Solution 2 boules casse tete (1) — Comment fabriquer boule crystal (1) — Boules en verre impasse des pas perdus (1) — Enigme boules de cristal (1) — Solutions casse tete bois crystal (1) — Enigmes deux boules jeter 100 etages (1) — Enigmen des boules de cristal (1) — 2 oeufs trouver etage immeuble (1) — Immeuble 100 etages 2 boules (1) — Dans quel ville ont fabrique des boules en verre (1) — Que veut dire une boule de cristale (1) — Jeux ou l on lache des etages (1) — Enigme oeuf immeuble (1) — Comment construire une boule de cristal (1) — Deux billes 100 etages (1) — Enigmes cristal (1) — 2 verres 100 etages probleme (1) — Combien coups immeuble 100 etages oeufs se casse (1) — Enigme immeuble lancer boules (1) — 2 billes casse immeuble (1) — La cristale se casse (1) — Casse tete a fabriquer (1) — Garder le pied de page minimal cristal xi (1) — Enigme immeuble boule de cristal (1) — Devinette sur les boules de cristal (1) — Fabricant boule cristal (1) — Immeuble 100 etages verre (1) — Enigme sur boule de cristal (1) — L autre prends la lance et la boule (1) — Reflexion mathematique etage boule casser (1) — Jeux de casser des verres avec des billes (1) — Enigmes boules etages (1) — 7 boules de cristal page 24 case 3 (1) — Probleme 2 boules 100 etages (1) — Explication enigme tete cristal (1) — On veut determiner avec precision a partir de quelle hauteur deux (1) — Jeu de boule qui casse crisral (1) — Enigmes a partir de photos (1) — 2 verres immeuble (1) — Boules cristal etage (1) — Fabriquer des boules de verre (1) — Reponse:enigme la boule et la lance (1) — Fabrication boule cristal (1) — Enigme boules cristal immeuble (1) — Math oeuf cristal minimum (1) — Enigme des 2 boules de cristal (1) — Enigme a deux niveaux (1) — Test 2 100 etage (1) — Boule de cristal casse (1) — Fabrique de boule de cristal (1) — Solution casse tete cristal taille 15 (1) — 100 etage et deux boules (1) — Bille casser oeuf (1) — Test logique 2 billes immeuble de 100 etages (1) — Casse tete cristal taille 11 (1) — Casse-tete cristal 33 p. explication (1) — Pesee boules 9 3 essais (1) — Enigme deux verres immeubles (1) — Casse tete crystal taille 9 (1) — 120 etages (1) — Casser boule de cristal (1) — Casse tete crystal taille 10 (1) — Enigme des deux fils polytechnique (1) — Arrete a 2 etages dont la somme vaut (1) — Batiment 100 etages (1) — Lacher de sphere en verre depuis immeuble (1) — Etages immeuble 2 lancers (1) — Ou trouver cristal enigma dans or (1) — Mathematique boules de cristal (1) — Casse tete boule tombe de 100 etage (1) — Casse tete immeuble etages boules cristal (1) — Comment fabrique ton de bille de verre de precision (1) — Enigme 100 etages cristal (1) — Enigme boule de cristal immeuble (1) — Immeuble 120 etage (1) — Verre etage logique (1) — Jeu boule de cristal (1) — Enigmes le premier prend la boule et la lance (1) — Solution d enigmes boulle lance (1) — Mon premier prend la boule et la lance (1) — Fabriquer une boule de cristaux (1) — Ou peut trouver le cristal enigma (1) — Devinette une boule en verre (1) — Boules cassees etage (1) — Deux billes un immeuble de 100 etages (1) — Boule cristale en fabrice (1) — Le premier prends la boule et la lance (1) — Enigme sur les boules de cristal (1) — Prend la boule et la lance le deuxieme la lance et la boule (1) — 100 etages 2 objets trouver minimum (1) — Le cristal se casse ? 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(1) — Jeux de boule stategique aveq des paliers apasser (1) — Ateg enigma (1) — Comment je lance la bille (1) — Fabriquer boule de verre (1) — Le deuxieme prends la boule et la lance (1) — Mon premier est une boule et la lance et mon deuxieme est une lance et la boulle (1) — Verre qui casse immeuble 100 etages (1) — Materiaux pour ne pas casser un oeuf de 2 etages (1) — Solution casse tete cristal longueur 5 (1) — Mon premier lance la boule (1) — Le deuxieme boule la lance (1) — Casse-tete crystal taille 9 (1) — Enigme verre immeubles (1) — Probl%c3%a8me+des+12+boules+de+cristal (1) — J ai cent-deux billes (1) — Boules de cristal formule a dire (1) — Immeuble oeuf etage (1) — Solution cristal 33 pieces (1) — Des etages cristal (1) — 9 boules ont la meme taille laquel est la plus lourde (1) — Immeuble 2 verres casse (1) — Oeufs enigme etages (1) — Lancer la boule voyance (1) — Enigmes mathematique boule de cristal solutions (1) — Math oeuf cristal minimun (1) — Une boule de verre qui se casse 100 etages (1) — Fabrication en boule de vers (1) — Reponses enigme boule de crustal (1) — Boules de cristal (1) — Tete de cristale (1) — Crystal taille 11 casse tete bois (1) — Casse-tete crystal 33p (1) — Jeter enigme a partir etages casser (1) — Solution on veut determiner avec precision a partir de quelle hauteur des boules de cristal se cassent. pour cela on peut les lancer a differents etages d?un immeuble de 120 etages et on veut trouver l?etage limite c?est a dire a partir de quel etage et aux etages superieurs le cristal se casse. quel est le nombre de lancers minimum et la strategie a utiliser pour etre certain de trouver l?etage limite avec seulement 2 boules de cristal? (1) — Casse tete cristal taille 9 solution (1) — Deux billes de verre immeuble (1) — Ma boule de voyance en pourcentage (1) — Enigme du verre avec objet 2 element (1) — Enigme 100 etages boule qui se cassent (1) — L etage boule (1) — Etage bille verre casse (1) — Enigme oeuf batiment 100 etages (1) — Boules qui cassent des immeubles (1) — Lancer 2 verres d un immeuble 100 etages (1) — Situation initiale boule cristal (1) — Boule de cristal fabrication (1) — Ou trouver le cristal enigma dans or? (1) — Enigme 100 etage et deux (1) — Immeuble boulle cristal etage (1) — Enigme des boules de cristales (1) — Bille de verre immeuble 100 enigme (1) — Casse tete solution cristal taille 15 (1) — Mon premier prend la boule et la lancemon deuxieme prend la lance et la boule (1) — Immeuble de cent etages deux boules en verre probleme (1) — Jeux de casser des immeuble (1) — Sphere en verre lachee depuis immeuble se brise (1) — Probleme lancer boule casse etage (1) — Boule maz case tete (1) — Les imoble a 100etage (1) — Dichotomie des 2 billes de verre (1) — 2 boules cristal to;be immeuble 10 0 eta (1) — Casse tete immeuble etages 2 boules (1) — Enigme 120 etages (1) — Solution oeufs immeuble 100 etages (1) — Immeuble de trois etage quelle hauteur? 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(1) — Comment est fabrique les billes en verre (1) — Fabriquer les boule de cristale (1) — La situation initiale de la boule de cristal (1) — Uel est le nombre de lancers minimum et la strategie a utiliser pour etre certain de trouver l?etage limite avec seulement 2 boules de cristal? (1) — 2 billes immeuble de 42 etages (1) — Enigme polytechnique (1) — 2 boules etage 120 (1) — Enigme logique immeuble (1) — Fabrication boule crystal (1) — Truck pour voir dans la boule de cristal (1) — Le probleme des sept boules (1) — Fabrication boule verre (1) — Solution casse tete le cristal taille 8 (1) — Enigmes boules de cristal 120 etages (1) — Deux sphere immeuble cent etage brise (1) — Plus petit nombre de caracteres (1) — Le cristal se casse t il ? (1) — A partir de quel etage le verre jete de la fenetre se cassera-t-il ? 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(1) — On veut determiner avec precision a partir de quelle hauteur des boules de cristal se cassent. pour cela on peut les lancer a differents etages d un immeuble de 120 etages et on veut trouver l etage limite c est a dire a partir de cet etage et aux etages superieurs elles cassent par contre aux etages inferieurs elles ne cassent pas. (1) — Casse tete le cristal solution (1) — Faire un total de 7 avec minimum 2 boules (1) — Ou trouver cristal enigma (1) — Les 7 boules de cristal casse-tete (1) — Boule de critale (1) — Quel est le nombre de billes pour 100 etages ? (1) — Solution le premier prend la boule et la lance (1) — Le premier prend la boule et la lance reponse (1) — Deux boulles de cristal 120 etages (1) — Immeuble 100 etages 2 oeufs casses (1) — Jeux de voient avec la boule du cristal (1) — Devinette boule de cristal etage (1) — Casse tete l etage sphere en verre (1) — Video de cristal qui se brise (1) — Fabrique boule de verre (1) — Ta boule de critale ne fonctionne pas bie alors... (1) — Question deux oeufs 100 etages (1) — Devinette bille casser hauteur (1) — Etages deux oeufs cassent (1) — Solution mon premier lance la boule (1) — Si on jette boule de cristale elle se brise (1) — Solution casse tete cristal 9 (1) — Teste de boule de cristale (1) — Comment avoir cristal enigma dans cristal (1) — On considere une boule de verre d indice n (1) — Enigme chute verre immeuble (1) — Enigme les boules de cristal (1) — Optimisation (1) —

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