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 #1 - 11-09-2010 18:52:34

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

un pzu de maths dans q

Le problème est le suivant :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme un quotient d'entiers relatifs

Montrer que pour tout nombre rationnel x, il existe un certain nombre d'entiers relatifs distincts tels que x vaut la somme de leurs inverses.

C'est à dire : il existe un entier naturel k et une partie {i1,...,ik} de Z telle que
x = 1/i1 + ... + 1/ik

Par exemple :
7/4 = 1/1 + 1/2 + 1/4
ou 7/9 = 1/2 + 1/6 + 1/9

Enfin, on peut aussi montrer que si x > 0, il existe un entier naturel k et une partie {i1,...,ik} de N telle que x = 1/i1 + ... + 1/ik.



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Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas
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#0 Pub

 #2 - 11-09-2010 19:39:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

un pzu de maths dans q

Les fractions Egyptiennes smile

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_%C3%A9gyptienne

Vasimolo

 #3 - 11-09-2010 22:18:36

rom1504
Visiteur

nU peu de maths dans Q

Je ne comprends pas l'intérêt de ce problème : il y a une solution évidente qui est p/q= somme de 1 à p de 1/q non ?

 #4 - 11-09-2010 22:39:17

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

un peu de maths dabs q

non rom, l'énoncé précise que tous les dénominateurs doivent être distincts.


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #5 - 11-09-2010 22:50:10

rom1504
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Un peu dee maths dans Q

Ah oui pardon

 #6 - 11-09-2010 23:16:04

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Un peu de maths das Q

soit x= a/b => x=a*(1/b)=1/b+1/b +...+ 1/b (a fois)

on note que 1/b=(b+1)/b(b+1)=b/b(b+1)+1/b(b+1)=1/(b+1)+1/b(b+1)

Ainsi, en répétant le processus pour éliminer tous les doublons on obtient le résultat recherché.

C'est ainsi que les Égyptiens antiques représentaient les nombres rationnels.

merci Wiki tongue
merci aussi à Falcon pour avoir ouvert ce tiroir vers l'histoire...


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 11-09-2010 23:19:52

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

un peu de marhs dans q

Je ne vais pas faire semblant d'ignorer les fractions égyptiennes.

Selon Wikipédia :

En effet, il est trivial d'exprimer toute fraction par une somme de fractions unitaires en se permettant de répéter les termes comme dans l'exemple :  [latex]\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\,.[/latex]
Mais si l'on exige que tous les dénominateurs soient distincts, à l'instar des Égyptiens durant l'Antiquité, cette représentation est toujours possible grâce à l'identité : [latex]\frac{1}{a} = \frac{1}{(a+1)} + \frac{1}{a(a+1)}\,[/latex] que connaissait dès 1202 le grand mathématicien européen du Moyen Âge Leonardo Fibonacci.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #8 - 12-09-2010 12:44:56

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Unn peu de maths dans Q

Ouhlà... Quid de la décomposition d'un rationnel quelconque en fractions égyptiennes ? nous demandes-tu. Aucune idée de comment démontrer ça lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 13-09-2010 11:14:19

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

yn peu de maths dans q

Tout d'abord [latex]\frac{1}{a} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a(a+1)}[/latex]
Du coup, une fraction unitaire peut se décomposer d'une infinité de manières différentes
[TeX]\frac{1}{a} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a(a+1)}\\
\frac{1}{a} = \frac{1}{a+2} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{a(a+1)}\\
\frac{1}{a} = \frac{1}{a+2} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{a(a+1)+1} + \frac{1}{a(a+1)(a(a+1)+1)}
[/TeX]
etc...

Ensuite, [latex]\frac{a}{b} = \sum_{i=1}^a{\frac{1}{b}}[/latex]
Du coup, on peut remplacer chaque fraction [latex]\frac{1}{b}[/latex] par une somme de fractions unitaires du même type que celles vues plus haut.

Il faut quand même s'assurer que les différentes décompositions choisies pour les différents [latex]\frac{1}{b}[/latex] ne ramènent pas des termes identiques : en effet, les deux premières décompositions partagent par exemple un meme terme [latex]\frac{1}{a(a+1)}[/latex]. Pour cela, on va décomposer les [latex]\frac{1}{b}[/latex] un par un: si une décomposition n'est pas bonne, on applique la formule sur le terme qui nous embete, jusqu'à obtenir un terme correct, ce qui finira toujours par arriver vu que la formule nous donne des dénominateurs de plus en plus grand (et que tout ensemble non vide fini d'entiers admet nécessairement un plus grand élément)

Exemple: 5/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4
On commence par 1/4 = 1/4

1/4 = 1/5 + 1/20
On continue donc avec 2/4 = 1/4 + 1/5 + 1/20

1/4 = 1/5 + 1/20 = 1/6 + 1/30 + 1/21 + 1/420
Donc 3/4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/20 + 1/21 + 1/30 + 1/420

1/4 = 1/5 + 1/20 = 1/6 + 1/30 + 1/21 + 1/420
= 1/7 + 1/42 + 1/31 + 1/930 + 1/22 + 1/462 + 1/421 + 1/176820
Donc 4/4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/30 + 1/31 + 1/42 + 1/420 + 1/421 + 1/462 + 1/930 + 1/176820

1/7 + 1/22 + 1/31 + 1/42 + 1/421 + 1/462 + 1/930 + 1/176820 =
1/8 + 1/56 + 1/23 + 1/506 + 1/32 + 1/992 + 1/43 + 1/1806 + 1/422 + 1/177662 + 1/463 + 1/213906 + 1/931 + 1/865830 + 1/176821 + 1/31265489220

Donc 5/4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/30 + 1/31 + 1/32 + 1/42 + 1/43 + 1/56 + 1/420 + 1/421 + 1/422 + 1/462 + 1/463 + 1/506 + 1/930 + 1/931 + 1/992 + 1/1806 + 1/176820 + 1/176821 + 1/177662 + 1/213906 + 1/865830 + 1/31265489220

Voilà.

Bon ok c'est ma démo perso, elle vaut ce qu'elle vaut mais elle marche, par contre les résultats sont bien moins efficaces que d'autres algos comme celui de Fibonacci:
Exemple 5/4:
0<4/5<1 => 1/1
5/4-1/1 = 1/4, unitaire => 5/4 = 1/1 + 1/4

Exmple 7/9:
1<9/7<2 => 1/2
7/9-1/2 = 5/18, 3<18/5<4 => 1/4
5/18-1/4 = 1/36, unitaire => 7/9 = 1/2+1/4+1/36

 #10 - 13-09-2010 17:45:15

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Un ppeu de maths dans Q

Je suis un peu paresseux et je n'ai pas envie de tout écrire et puis en plus il y a plein d'infos intéressantes en plus, je vous renvoie donc sur:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_%C3%A9gyptienne

smile

 

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