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 #1 - 08-06-2011 02:48:39

PlanetEarth
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Un peu d'aide : Julien raconte à Martin que quand il aait un an...

Bonjour smile

J'ai un énigme auquel je n'arrive pas à trouvé une solution, j'ai un peu de diffciulté à poser les équations...Voici l'énoncé:

Julien raconte à Martin que quand il avait un an de plus que Martin avait quand Julien avait deux fois l'âge que Martin avait quand Julien avait la moitié de l'âge que Martin a maintenant, Martin avait la moitié de l'âge que Julien avait quand Martin avait la moitié de l'âge que Julien a maintenant.

Quels sont leurs âges maintenant sachant qu'une des deux personnes a la soixantaine?




J'y ai réfléchis et j'ai essayer de "traduire" l'énoncé en équation:

1 +  (2 x ( M/2 + (J-M))) +  (J-M)  =>   (J/2 - (J-M))/2

Mais je n'arrive pas à aller de l'avant, si vous pouvez me donner un indice...


Merçi d'avance wink



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 #2 - 08-06-2011 09:58:24

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

un peu d'aide : julien raconte à maetin que quand il avait un an...

Il y a quelques erreurs de signe dans ton équation, devant les (J-M).

Une fois que tu as simplifié ton équation, tu te retrouves avec plusieurs solutions (car on a 1 équation pour 2 inconnues). Il faut alors utiliser le fait qu'une des deux personnes a entre 60 et 69 ans.

 #3 - 09-06-2011 00:43:04

PlanetEarth
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

U peu d'aide : Julien raconte à Martin que quand il avait un an...

Merçi irmo322 pour ce coup de pouce big_smile

J'ai essayer de rectifier mon équation avec tes conseils mais je dois avouer

que je suis un peu perdu au fait de savoir qui est le plus agé ....

Alors j'ai supposé que Julien était le plus vieux tongue

Maintenant ça donne cela:

1 +  (2 x ( M/2 - (J-M))) -  (J-M)  =>   (J/2 + (J-M))/2

Avant de les simplifier, je voulais être certain qu'il n'y a pas de faute smile

Effectivement, irmo322, ca donne 1 équation avec 2 inconnues moi qui résoud toujours un système d'équation avec 2 inconnues, ca promet d'être problèmatique lol

 #4 - 09-06-2011 10:35:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un peu d'aide : Julien raconte à Martin qe quand il avait un an...

Une équation a deux inconnues, dont les réponses se doivent d'être entières...

Je crois qu'il y a deux possibilités :
- bidouiller comme on le faisait en Terminale S, spécialité maths ;
- savoir être poli avec Wolfram|Alpha lol


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 #5 - 09-06-2011 10:47:23

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Un peu d'aide : Julien raconte à Martin qe quand il avait un an...

Il manque juste un terme dans ton équation et c'est bon:
1 +  (2 x ( M/2 - (J-M)) - (J-M)) -  (J-M)  =   (J/2 + (J-M))/2

 #6 - 09-06-2011 10:59:06

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Un peu d'aide : Julien raconte à Marin que quand il avait un an...

Si je ne me suis pas planté en réduisant l'équation :

11J - 14M = 4

Il faut donc trouver une solution a 11J - 14M = 1 "a la main", puis la multiplier par 4, et ça devrait être bon smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 09-06-2011 11:01:17

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Un peu d'aide : Julien racoonte à Martin que quand il avait un an...

Désolé pour toi Mathias, mais tu t'es planté lol

 #8 - 09-06-2011 12:37:04

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un peu d'aide : Julien raconte à Martin que qaund il avait un an...

M'apprendra a tout faire de tête lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 09-06-2011 15:04:01

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Un peu d'aide : Julien raconte à Martin que quand li avait un an...

Ô l'erreur(s) ! tongue


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 10-06-2011 01:48:07

PlanetEarth
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Un peu d'aide : ulien raconte à Martin que quand il avait un an...

Merçi Irmo322 pour avoir rectifier l'équation big_smile

En faite, si je ne me trompe pas, tu as rajouter (-(J-M)) pour "l'égalité"...
enfin, je veux dire pour faire une équation. cool

Par contre, en le simplifiant, je ne trouve pas du tout la même chose que toi, Mathias lol

Je mets les étapes en détails:

1 +  (2 x ( M/2 - (J-M)) - (J-M)) -  (J-M)  =   (J/2 + (J-M))/2

1 +  (2( 3M/2 - J+M) - J+M) -  J+M  =   (3J/2 - M)/2

1 +  (6M/2 - 2J - J+M) -  J+M  =   3J/4 - M/2

1 +  3M - 4J+2M  =   3J/4 - M/2

1 +  5M - 4J  =  3J/4 - M/2

1 +  5M + M/2   =  3J/4 + 4J

1 +  11M/2   =  19J/4

19J/4 - 11M/2 = 1

19J/4 - 22M/4 = 1

19J - 22M = 4

En esperant, qu'il n'y a pas eu d'erreur dans la simplification...je ne sais pas quoi en faire de ce résultat. sad Normalement, quand il y a deux inconnues, il ya aussi deux équations....mais là il y a deux inconnues pour une seule équation.

Qu'est ce que vous en pensez smile

 #11 - 10-06-2011 05:07:04

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

un peu d'aide : julien raconte à martin que qiand il avait un an...

Voilà un sacré problème! Serait-il possible d'en avoir la source?

EDIT Erreur de calcul quand tu nous tiens... (il faut que j'arrête de poster à 5h du mat')roll

RE-EDIT J'ai fait un beau gros n'importe quoi. Besoin... de... sommeil...hmm


There's no scientific consensus that life is important

 #12 - 10-06-2011 07:18:09

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Un peu 'daide : Julien raconte à Martin que quand il avait un an...

PlanetEarth a écrit:

19J - 22M = 4
En esperant, qu'il n'y a pas eu d'erreur dans la simplification...je ne sais pas quoi en faire de ce résultat. sad Normalement, quand il y a deux inconnues, il ya aussi deux équations....mais là il y a deux inconnues pour une seule équation.
Qu'est ce que vous en pensez smile

Bonjour,

Si la simplification que tu as effectuée est correcte, alors on cherche J et M entiers qui la vérifient dans un intervalle d'âges "humains".
Je trouve :

J    M
6    5
28    24
50    43
72    62
94    81
116    100

et comme un indice précise que l'un des deux personnes a la soixantaine, on arriverait alors à déterminer que Martin a 62 ans, et Julien 72 ...

à ré-injecter dans l'énoncé pour vérification ...
(plus tard !   roll)

EDIT : ça a l'air de coller :

première partie de l'énoncé :
... quand Julien avait la moitié de l'âge que Martin a maintenant : J=31, M=21
... quand Julien avait deux fois l'âge que Martin avait quand Julien avait la moitié de l'âge que Martin a maintenant : J=42, M=32
Julien raconte à Martin que quand il avait un an de plus que l'âge que Martin avait quand Julien avait deux fois l'âge que Martin avait quand Julien avait la moitié de l'âge que Martin a maintenant : J=33, M=23

deuxième partie de l'énoncé :
.... quand Martin avait la moitié de l'âge que Julien a maintenant : J=46, M=36

Martin avait la moitié de l'âge que Julien avait quand Martin avait la moitié de l'âge que Julien a maintenant

> VRAI : (J= 46) / 2 = (23=M de la première partie de l'énoncé)

Bravo pour la mise en équation !





A bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #13 - 10-06-2011 11:25:34

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Un peu d'aide : Julien racoonte à Martin que quand il avait un an...

Nicko Nickel!

Juste un truc: pour résoudre 19J - 22M = 4, il existe une méthode.
On utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver u et v tels que:  19.u - 22.v = 1. C'est possible car 19 et 22 sont premiers entre eux.
Posons U=4.u et V=4.v. Alors:  19.U - 22.V = 4.
Le couple (U, V) est donc une solution particulière du problème.
Pour trouver l'ensemble des solutions, il faut considérer tous les couples de la forme (U+k.22, V+k.19) où k est entier relatif.

Application:
Algo d'Euclide sur (22, 19):
22 = 19 + 3
19 = 3*6 + 1
donc 1 = 19 - 3*6   et   3 = 22 - 19
donc 1 = 19 - (22 - 19)*6 = 19 - 22*6 + 19*6
donc 1 = 19*7 - 22*6

Donc 4 = 19*28 - 22*24

Le couple (J, M) est donc de la forme (28+k.22, 24+k.19).
Avec k=2, cela donne J=72 et M=62.


Tu peux trouver plus d'info sur la page wikipédia "équation diophantienne ax+by = c".

 #14 - 10-06-2011 11:58:20

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Un peu d'aide : Julien raconte à Martin que quand il avait nu an...

Bien vu !
Mais pourquoi est-ce que tu passes par l'étape 19.u - 22.v = 1 ?

22 = 19 + 3
19 = 3*5 + 4
donc 4 = 19 - 3*5   et   3 = 22 - 19
donc 4 = 19 - (22 - 19)*5 = 19 - 22*5 + 19*5
donc 4 = 19*6 - 22*5

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #15 - 10-06-2011 12:03:21

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

un peu s'aide : julien raconte à martin que quand il avait un an...

@ Klimrod:
L'étape 19.u - 22.v = 1 fait partie de l'algo. Ce que tu fais est astucieux mais ce n'est pas évident dans tout les cas. Avec l'algo , on est sûr d'y arriver.

 #16 - 10-06-2011 22:02:46

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

un peu d'aide : julirn raconte à martin que quand il avait un an...

L'algo qu'il a suivi, le bon vieux Euclide, arrivera toujours sur une expression du PGCD des deux nombres (ici, 1), mais si le 4 qu'on cherche a la fin intervient a un moment donné, pourquoi aller plus loin ?..

C'est le genre de trucs que je m'évertue a enseigner a mes élèves : "saisissez les opportunités", "ne soyez pas des machines de calcul", "soyez malin, la ruse est l'amie des flemmards" -- la dernière rejoint ce qu'un de mes profs disait tout le temps : "un bon mathématicien est un mathématicien feignant, bien que la réciproque soit fausse".


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 10-06-2011 22:32:41

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

un peu d'aide : jumien raconte à martin que quand il avait un an...

Merci Mathias, je n'aurai pas trouvé meilleur mot pour me caractériser : "fainéant" lol
Je le prends pour un compliment smile
D'ailleurs, dans mon boulot, j'avais monté une formation intitulée "apprenez à être fainéant".
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #18 - 10-06-2011 22:50:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Un peu d'aide : Julien raconte à Martin qe quand il avait un an...

Il faudrait voir à ne pas confondre fainéant et paresseux. Le premier ne fait rien par principe, le second sait s'arranger pour en faire le moins possible... J'ai fainéanté sur cette énigme roll, mais je paresse dès que je peux sur la plupart sans aucun remord.

 #19 - 10-06-2011 23:52:59

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

un peu d'aidz : julien raconte à martin que quand il avait un an...

Tu as raison, j'ai écrit un peu vite...
Sans doute à cause d'un mélange de fainéantise et de paresse lol


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #20 - 11-06-2011 02:29:05

PlanetEarth
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Un peu d''aide : Julien raconte à Martin que quand il avait un an...

Oh mais vous êtes formidable big_smile

Merçi Nicko pour les détails de ta méhode cool j'apprécie ton compliment pour la mise en équation smile mais je dois t'avouer que j'y ai passer quelques heures pour comprendre l'énoncé lol et puis il y avait encore quelques erreurs, heureusement qu'Irmo322 à pris la peine de corriger smile

Un grand merçi à toi, Irmo322, pour m'avoir introduit la méthode d'Euclide et pour son explication dans le contexte de cette énigme

Merçi à vous tous wink

 #21 - 11-06-2011 08:24:15

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Un peu d'aide : Julien raconte à Martin que quuand il avait un an...

De rien,smile

Par fainéantise ou paresse ou les deux, j'ai simplement utilisé un tableur (comme Excel par ex) calculant M = (19*J-4)/22 à partir d'une colonne remplie de 1 à 120 ...

D'ailleurs comme dans l'énoncé il est question de "moitiés de l'âge" etc ... on devait forcément trouver des résultats pairs ....

Je suis sûr que j'arriverais encore à programmer la Casio FX-180P de mes années "lycée" qui avait ... 38 pas de programme, pour essayer aussi une par une les combinaisons et noter que les résultats "entiers".

L'algorithme d'Euclide est bien plus élégant, bien sûr !

Bon WE !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #22 - 12-06-2011 00:25:57

PlanetEarth
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

un peu d'aide : julien raconte à maetin que quand il avait un an...

Un tableur ? big_smile j'avais cru tu avais fait ça en introduisant des valeurs dans l'équation au pif lol

Ouias, L'algorithme d'Euclide c'est plus élégant et surtout mathèmatique wink

Bon week end à toi aussi cool

 

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