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 #1 - 08-01-2011 16:33:32

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

M6 =

Voici un petit problème qui ne devrait pas vous en poser... Une nouvelle émission va bientôt débarquer sur M6 "Zéro de conduite". Affligeant.
Néanmoins, cela m'a inspiré ceci:
"Michel passe son permis. Il sait que sa réussite éventuelle est indépendante du nombre d'échecs précédents. On estime à 96 chances sur 1000 l'obtention de son permis du 3e coup, combien a-t-il de chances de le réussir du premier coup ?"



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 08-01-2011 18:11:35

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

M6 0

1- (racine cubique de 4 )/10 = 84,12 %

 #3 - 08-01-2011 18:25:22

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

M6 =

Non, Gwen.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 08-01-2011 19:27:09

Nnf13
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 20

MM6 = 0

"Il sait que sa réussite éventuelle est indépendante du nombre d'échecs précédents."

Il a 96 chances sur 1000 alors non ?

 #5 - 08-01-2011 19:44:28

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

MM6 = 0

Non, Nnf13.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 08-01-2011 20:09:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

M66 = 0

p  réussissent la première fois
(1-p)*p la seconde fois
(1 - p - (1-p)*p)*p la troisième fois

p - p^2 - (1-p)*p^2 =0,096

p- 2p^2 +p^3 -0,096 = 0

p^3 - 2 p^2 + p - 0,096  =0  ????

Après de multiples essais approximatifs, j'obtiens deux réponses possibles

60% de réussite possible au premier essai, réponse logique

Et par approximations successives, je trouve que 12,55437354...% de réussite marche aussi, mais c'est beaucoup plus irréaliste

127,4456 % étant une solution non acceptable pour ce qui est de la troisième racine.

Désolé, je ne sais faire ça que par dichotomie, donc je ne donne pas l'expression des racines.

 #7 - 08-01-2011 21:05:25

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

MM6 = 0

ses chances d'obtenir le permis sont les mêmes à chaque coup. Il a autant de chance de l'obtenir au premier coup qu'au troisième coup.


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 08-01-2011 21:07:27

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

M6 =0

Non, Franck.


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 #9 - 08-01-2011 22:05:45

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

MM6 = 0

Il doit y avoir un truc qui m'échappe ...

Si j'interprète bien l'énoncé, on est en présence d'une expérience de Bernoulli.
Donc si p est la proba de réussir l'examen alors p(1-p)^2=0,096

Mais cette équation n'a pas l'air d'avoir une solution simple, une approximation donne p=12,554%

 #10 - 08-01-2011 22:32:39

reyomiana
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

M6 =0

bonjour,

je pense qu'il n'a aucune chance de le réussir à la 1ere fois car nous sommes en train de parler de la 3° fois, c'est donc qu'il a raté les 2 premières.

Je continue à reflechir quand même...
Cdt

 #11 - 08-01-2011 22:43:06

yoshi2402
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 132

6M = 0

Le fait qu'il ai réussi du troisième coup implique qu'il ai échoué deux fois de suite, puis qu'il ai réussi. Soit x la probabilité de passer son permis la probabilité de le passer au bout de trois essais : (1-x)(1-x)x=(x²-2x+1)x=xxx-2x²+x=0.096
d'où le polynôme du troisième degrés:xxx-2x²+x-0.096=0
n'étant habilité qu'à la résolution des équation du second degrés, j'utilise la fonction graphique de ma calculatrice pour en arriver aux trois résultats suivants:
1.274456265 : nombre supérieur à un et donc non pris en compte
0.6 : solution confirmée par le calcul
0.1255437353 : solution approchée dont je n'ai pas trouvé la valeur exacte

J'affirme donc qu'il y a deux solutions dont une est 0.6

 #12 - 08-01-2011 22:57:27

dixon
Visiteur

6M = 0

P = 1 - racine cubique (96/1000) =0.54

 #13 - 08-01-2011 23:03:16

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

M = 0

Bravo à Yoshi !


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 #14 - 08-01-2011 23:04:09

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

M 6= 0

60%.

 #15 - 08-01-2011 23:05:46

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

MM6 = 0

Bravo Nombrilist.


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 #16 - 08-01-2011 23:19:29

akkarin
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 5

M = 0

vu que tu as dit que c'est indépendant des echec précedent ça doit être le même nombre non?
donc 96 pour mille

 #17 - 08-01-2011 23:27:13

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

MM6 = 0

Non, Akkarin.


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 #18 - 09-01-2011 00:50:50

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

M6 = 00

Appelons An l'événement : le permis est réussi à la nème tentative, et A l'événement : le permis va être réussi à la prochaine tentative, Bn l'événement : le permis est raté à la nème tentative, et B 'événement : le permis va être raté à la prochaine tentative.
On cherche à calculer p(A1)=p(A), et la donnée du problème est p(A3). On remarque que p(B)=1-p(A)

Prenons n=2.
Réussir son permis à la nème tentative est équivalent à rater son permis aux n-1 premières tentatives, et le réussir à la nème (avec des événements indépendants).
Comme les événements sont équivalents, rater son permis aux n-1 premières tentatives est équivalent à rater n-1 fois sa première tentative.
Donc p(An)=(p(B))^n * p(A)
p(An)=p(1-p)^(n-1) (encore vrai pour n=1).


On a donc 96/1000=p(1-p)^2, et en développant p^3-2p²+p-12/125=0

Une résolution par la méthode de Cardan par exemple, à la main, ou par un solveur, nous donne la valeur exacte (désolé, pas encore familier avec le Latex) :

p = (7+V33)/10 = 1,27... On trouve une probabilité supérieur à 1, ce qui n'est pas très normal, j'ai envie de dire ...

EDIT
Evidemment il y a 3 solutions possibles, c'est une équation de degré 3 en l'inconnue p ...

On peut essayer de trouver une solution rationnelle (au hasard, l'intuition, hein ...)

Soit p=n/m une solution de l'équation, avec n et m premiers entre eux.
alors 1000n(m-n)²=96m^3, et 125n(m-n)²=12m^3
On en déduit n|12 (Gauss), et de la même manière m|125.
Il ne reste plus qu'à tester toutes les possibilités : n vaut 1,2,3,4,6 et m=1,5,25,125
Je passe les détails, pour n=3 et m=5 on a une solution

D'où 3/5 est une solution au problème
En factorisant notre équation (je passe les détails encore), on arrive à :
(p-3/5)(p²-7p/5+4/25)=0

On obtient 2 solutions de plus en résolvant l'équation du second degré, dont une est supérieure à 1, et l'autre vaut (7-v33)/10


Il y a 2 solution au problème posé :
3/5 = 60%
(7-v33)/10 = 12,55%

 #19 - 09-01-2011 01:35:10

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

M6 0

L'énoncé laisse planer un doute. La probabilité est indépendante du nombre d'échec précédent, ça ne veut pas dire que c'est la même à chaque fois... Elle pourrait très bien être aléatoire par exemple.

Je vais supposer qu'elle est la même à chaque fois et je l'appelle p.
La probabilité de l'avoir au 3eme coup est donc de rater les 2 premiers coups puis de l'avoir est: (1-p)(1-p)p qui vaut 96/1000.
Il y a 2 possibilités pour la valeur recherchée de p: [latex]\dfrac35[/latex] et [latex]\dfrac{7-sqrt{33}}{10}[/latex]

Cela semble presque trop simple...
Merci pour l'énigme.

 #20 - 09-01-2011 10:32:20

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

MM6 = 0

ses chances d'obtenir le permis sont les mêmes à chaque coup. Il a autant de chance de l'obtenir au premier coup qu'au troisième coup. Je maintiens cette proposition en dépit de la réponse de SaintPierre. Je calcule maintenant cette valeur.

Appelons P cette probabilité. (disons 10% pour illustrer)
Les candidats se présentant a leur examen pour la troisième ont échoué leur premier examen à leur essai précédant:
Echec au premier essai: (1-P) ; 90% d’échec
Echec au premier et au second (1-P)(1-P) ; 90% des 90% ayant échoué au premier essai, c'est-a-dire 81%
Les chances d'obtenir le permis au troisième essai pour un candidat qui ne s'est pas encore présent à tout examen de permis: P(1-P)² ; soit 10% de nos 81% candidats qui ont déjà failli par deux fois.

Ici P(1-P)²=0.096 qui admet deux racines entre 0 et 1
P=60%
(1-P)=40% d’échec au premier essai
(1-P)²=16% d’échec au premier et au second essais
60% de nos 16%: p(1-P)²=0.96% de réussite au troisième essai, pour un candidat qui ne s'est pas encore présenté au moindre examen de permis.
ou
P=12.5544%
(1-P)=87% d’échec au premier essai
(1-P)²=76% d’échec au premier et au second essais
12% de nos 76%: p(1-P)²=0.96% de réussite au troisième essai, pour un candidat qui ne s'est pas encore présenté au moindre examen de permis.

Esperons que la valeur de 60% soit plus proche de la réalité big_smile
Excellent exercice, merci SaintPierre


The proof of the pudding is in the eating.

 #21 - 09-01-2011 10:32:30

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

MM6 = 0

Soit p la probabilité qu'il ait son permis (indépendante, donc, du numéro de la tentative).

La proba qu'il ait son permis du troisième coup est la proba qu'il rate son premier essai (1-p), qu'il rate son deuxième essai (1-p), et qu'il réussisse son troisième (p).

Autrement dit : p(1-p)^2=96/1000

4x4x6=96 ? Youhouuuu ! Dans ce cas, p=6/10=3/5 convient. Il y a aussi la solution p=0,125544... (merci Wolfram|Alpha), qui n'était sans doute pas celle attendue big_smile

Le monsieur a trois chances sur cinq de réussir son examen de permis a chaque présentation.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 09-01-2011 10:44:08

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

6 = 0

Les bonnes réponses et les excellentes démonstrations commencent à tomber. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #23 - 09-01-2011 12:41:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

M6 =0

Bonjour,
Soit p la probabilité d avoir son permis.
Michel a déjà raté 2 fois.
Au 3è coup il aura une probabilité de réussir de:
(1-p)*(1-p)*p=0,096
soit p^3-2*p^2+p-0,096=0
Une solution triviale est p=0,6
On peut donc factoriser par (p-0,6)
soit (p-0,6)*(p^2-1,4*p+0,16)=0
ce qui donne 3 solutions arithmétiques:
0,6; (7-V33)/10=0,1255 et (7+V33)/10=1,274
On écarte la dernière solution car >1.
Il reste donc les deux premières solutions.
Il est curieux que ce problème comporte 2 solutions
Bonne journée.
Frank

 #24 - 09-01-2011 13:20:19

nono2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 308

l6 = 0

"Michel passe son permis. Il sait que sa réussite éventuelle est indépendante du nombre d' échecs précédents. On estime à 96 chances sur 1000 l'obtention de son permis du 3e coup, combien a-t-il de chances de le réussir du premier coup ?

soit on considère que les tentatives sont équiprobables, donc à chaque fois il a le même pourcentage de réussite, soit 96 pour mille ;

soit on considère qu'entre-temps, il a travaillé autant de tant et que donc à chaque fois il double sa chance de réussite ;
il a donc 96/1000 au 3ème essai
48/1000 au deuxième essai
29/1000 au premier essai

 #25 - 09-01-2011 13:27:02

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

M 6= 0

Non, Nono.


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