Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 09-07-2011 18:15:15

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

'entiers

Les longueurs des segments tracés sont toutes entières et différentes (sauf contre-indication explicite).
Que vaut le périmètre minimum du polygone gris?

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-polygone.jpg

Quelques remarques suite aux erreurs et questions :
Spoiler : [Afficher le message]
1. Les deux segments du dessus sont alignés mais chacun a une longueur entière.
2. Le losange central a, lui aussi, des côtés de longueur entière.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 09-07-2011 18:26:05

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

D'ntiers

Cherche-t'on quatre triplets de Pythagore qui aient leur plus grand élément en commun ?! Pfiouh o_O'

Du coup, au détour d'une page Web (celle-ci) qui liste des triplets pythagoriciens, je fouille, et je trouve ces quatre triplets :

(39 ; 52 ; 65)
(33 ; 56 ; 65)
(25 ; 60 ; 65)
(16 ; 63 ; 65)


Il ne me semble pas qu'on puisse trouver moins que 65, donc le périmètre minimum du losange de la figure semble être 260.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 09-07-2011 18:35:54

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Dentiers

C'est ça Mathias, mais pas obligé de le faire à la main wink

 #4 - 09-07-2011 20:17:40

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

D'entirs

Les hypoténuses des triangles rectangles sont tous égales ou ?

 #5 - 09-07-2011 20:22:16

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

D'entierrs

Pour avoir les deux triangles rectangle du bas , 3-4-5  ou 8-6-10 , 5-12-13 ... toujours une seule solution....

Le premier entier admettant deux solutions entières est  25 pour le losange.

Pour les dimensions en bas : 7 et 24 , 15 et 20 .
Ce qui donne en haut : "je cherche encore sad"   (Je dirais 19 20 21 à vue de nez en divisant 2*625 par 3)

 #6 - 09-07-2011 21:09:24

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Dentiers

@clement.boulonne : oui
@gwen27 : tu es sur la bonne voie, mais à la main ça va être pénible.

 #7 - 09-07-2011 21:20:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

D'ntiers

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-desentiers.jpg

Périmètre : 20+15+24+7+21+22+23 = 132

 #8 - 10-07-2011 08:42:10

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

f'entiers

Je propose 444. Comme l'on sait qu'il y a 4 triangles rectangles, avec des longueurs entières, il suffit de chercher les premiers triplet pythagoriciens ayant la même longueur c (hypothénuse). J’espère juste ne pas en avoir oublié lol

 #9 - 10-07-2011 12:16:35

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

DD'entiers

Il s'agit de trouver un entier qui apparaît dans au moins 4 triplets pythagoriciens (A046081).
Le plus petit entier répondant à ce critère est 12, avec les triplets (5,12,13), (9,12,15), (12,16,20) et (12,35,37).
C'est lui qui donne a priori le plus petit périmètre avec 150.


Après un MP de looozer, je me sens un peu crétin de mon erreur.
Bon je recommence :

Il s'agit de trouver un entier qui apparaît comme longueur de l'hypothènuse dans au moins 4 triplets pythagoriciens (A046080).
Le plus petit entier répondant à ce critère est 65, avec les triplets (39,52,65), (33,56,65), (25,60,65) et (16,63,65).
C'est lui qui donne a priori le plus petit périmètre avec 344.

Très sympa.
(et j'adore le titre, même si ça n'a pas grand chose à voir avec l'énigme ^^)

 #10 - 10-07-2011 12:29:55

bidipe
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1082
Lieu: Côte basco-landaise

d'entoers

Si j'ai bien compris, il faut que je donne la valeur 4X
où X satisfait les égalités : X² = A²+B² = C²+D² =E²+F² = G²+H²
avec A, B, C, D, E, F et G entiers distincts

Faut que je retrouve les quelques notions de python que j'avais apprises en autodidacte pour des énigmes il y a 2 ans, et ca c'est pas gagné sadlol
A moins qu'en fouillant dcode, notre ch'Ef' bien aimé ait pondu un truc pour trouver çà...

 #11 - 10-07-2011 14:32:41

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

D'entiiers

Bravo à MthS-MlndN, seul à avoir trouvé pour l'instant.

 #12 - 10-07-2011 15:34:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

'entiers

Le trait en haut était trompeur... Alignés, on pouvait ruser big_smile

Mais bon, le minimum devient un losange de 63 de côté

Ce qui donne des triangles rectangle d'hypothénuse 63 (le premier à 4 décompositions différentes) de côtés : (16-63) (25-60) (33-56) et (39-52)

Soit un périmètre de 344  Je préférais "tricher" avec 132 lol

 #13 - 10-07-2011 16:21:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

d'entiees

C'est vrai, personne d'autre n'a trouvé ? o_O'


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 10-07-2011 18:56:31

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

D'enntiers

Encore deux bonnes réponses de FRiZMOUT et gwen27.

 #15 - 10-07-2011 19:23:38

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

De'ntiers

La réponse est en lien avec l'entier n² le plus petit se décomposant en somme de huit carrés distincts.

Je n'ai pas encore trouvé cet entier.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #16 - 11-07-2011 20:53:24

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

d'entiees

Le losange a pour côté 1105 au minimum, 1105 étant le premier quadruplet de triangle pythagorien, le suivant est 1625.
Le périmètre du losange est donc 4420, son aire 341887.

Edit:
J'ai en fait généré une liste de triplets incomplète en utilisant la méthode suivante:
Soient u et v entiers, u>v on obtient x=u²-v², y=2uv et z=u²+v²
Cette méthode permet de générer (3,4,5), (6,8,10) ou (12,16,20) mais pas (25,60,65) ??

En utilisant une liste complète de triplets générée par internet, j'obtiens les quatre triangles
16    63    65
25    60    65
33    56    65
39    52    65
ce qui fait un périmètre de 260.


The proof of the pudding is in the eating.

 #17 - 13-07-2011 12:29:47

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

D'entier

Il doit y avoir une ruse que je ne vois pas??

Je nomme les longueur des segments a,b,c,d,e,f,g,h en partant du point en haut au centre et en tournant dans le sens trigo et l la longueur du côté du losange.
Je cherche 4 triplets de pythagore dont le 3ème terme est le même:
[TeX]a^2+b^2=l^2[/TeX]
[TeX]c^2+d^2=l^2[/TeX]
[TeX]e^2+f^2=l^2[/TeX]
[TeX]g^2+h^2=l^2[/TeX]
Avec les conditions: a,b,c,d,e,f,g,h,l et a+h tous différents (faut-il inclure a+h)?
Je trouve:
(16,63,65)
(25,60,65)
(33,56,65)
(39,52,65)
a+h dépend du placement des côtés.
Pour ressembler le plus à la figure présentée ci-dessous (tailles dans le même ordre), on peut donc prendre par exemple les côtés dans l'ordre suivant:
16,63,33,56,52,39,60,25
Dans ce cas le segment du haut entre les points extrèmes vaut 41 qui est bien différent des autres.

On demande le périmètre: 16+63+33+56+52+39+60+25=344

Amusant comme énigme. Merci.
La forme me fait penser à un calamar. C'est grave docteur?

 #18 - 13-07-2011 14:02:55

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

DD'entiers

Sauf erreur de calcul, j'en suis à 29286.
Les triangles sont homothétiques des suivants :

25²=15²+20² soit 5525²=3315²+4420²
25²=7²+24²   soit 5525²=1547²+5304²
13²=5²+12²   soit 5525²=2125²+5100²
17²=8²+15²   soit 5525²=2600²+4875²

Les hypoténuses font 25x13x17=5525 (ppcm)
Les longueurs des côtés sont bien entières et distinctes

Le périmètre fait 13x17(15+20+7+24)+13x25(8+15)+17x25(5+12)
=14586+7475+7225=29286
=3315+4420+1547+5304+2125+5100+2600+4875

 #19 - 13-07-2011 14:48:42

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

D'entier

Bonnes réponses de franck9525 et rivas

(certains donnent le périmètre du losange, d'autres celui du polygone "calamar", mais ce n'est pas là l'important)

halloduda : tes réponses sont trop grandes.

 #20 - 13-07-2011 15:04:04

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

d'enriers

Bonjour,
On cherche quatre triplets pythagoriciens [(x;y;z) tel que x²+y²=z²] de même z, avec x et y tous différents.
Avec Excel, j'établie un tel tableau [x=2np ; y=n²-p² ; z=n²+p²], je trie les données par rapport à z et je regarde quand on a pour la première fois 4 fois le même z: je trouve z=65.
Le périmètre minimum vaut donc 260, mais je ne suis pas sur d'être dans le vrai.
Par ailleurs, ma méthode me semble trop empirique pour être "acceptable".
Bonne journée.
Frank

Edit: texte modifié (il y avait une plus petite valeur répondant à la question)

 #21 - 13-07-2011 17:57:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

D'entier

Je dirais 5568.
1105²=1073²+264²=817²+744²=1104²+47²=576²+943².
Le 1105 se calcule comme le produit des 3 triangles rectangles minimaux différents:
(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17).

 #22 - 13-07-2011 18:13:49

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

D'enties

Franky1103 et nodgim, vous pouvez faire plus petit.

 #23 - 13-07-2011 23:42:48

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

f'entiers

C'est ok pour Franky1103 aussi.

 #24 - 14-07-2011 21:19:40

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

d'enriers

Merci à tous d'avoir participé à mon énigme smile

Bravo à ceux qui ont trouvé 344 comme périmètre du polygone gris (j'ai accepté aussi 260 pour le périmètre du losange).

Une difficulté venait de la présence de listes ou de méthodes incomplètes sur le Web. De même, il existe des triplets primitifs (nombres premiers entre eux) et d'autres qui en sont des multiples. C'était le cas avec (25, 60, 65) qui découle de (5, 12, 13).

 #25 - 15-07-2011 07:15:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

D'eentiers

Pour en finir avec l'usage de l'informatique sur ce sujet et pour expliquer ce qui se passe:
Tout d'abord, tout nombre premier de forme 4k+1 est somme de 2 carrés de manière unique (c'est du Fermat je crois):
5=1²+2²
13=2²+3²
17=1²+4²
etc...
D'autre part, le produit de 2 nombres somme de 2 carrés est lui même somme de 2 carrés:
Si p1=a²+b² et p2=c²+d²
p1*p2=(ac+-bd)²+(ad+-bc)² ce qui donne 2 solutions si p1 et p2 différents.
Mais si p1=p2 alors un seul résultat est valable:
p=a²+b² et donc p²=(a²-b²)²+(2ab)²

Donc pour trouver la décomposition en somme de  2 carrés d'un carré d'un nombre premier p², p de forme 4k+1, il suffit de trouver la décompo de p. Pour cela aligner les n² succéssifs modulo p et  trouver les 2 premiers nombres opposés.
Pour 29 par exemple:
1 4 9 16 25.. se traduit modulo 29 en :1 4 9 -13 -4
4 et -4 étant opposés, leur somme est nulle modulo 29, leur somme vaut 29:
29=5²+2²
et donc 29²=(5²-2²)+(2*2*5)²=21²+20²

On arrive donc rapidement à trouver la décompo de 5², 13², 17², 29², etc...
et donc les triplets des triangles entiers dont on a besoin:
(3,4,5)(5,12,13)(8,15,17)....
Ensuite pour trouver les combis, il suffit soit de multiplier terme à terme:
pour 5*13=65 on multiplie (3,4) par 5 et (5,12) par 13 et donc ça donne les 2 triplets nouveaux (39,52,65) et (25,60,65).
Soit d'utiliser la forme décrite ci dessus (ac+-bd)²+(ad+-bc)² ce qui donne 2 autres triplets (16, 63, 65) et (56,33,65).

Donc pour un nombre P qui est produit de n nombres premiers de forme 4k+1, alors le nombre de triangles rectangles dont P est l'hypothénuse vaut:
(3^n-1)/2.
13 pour un produit de 3 nombres, 41 pour 4 nombres, 121 pour 5 nombres.....

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 51 pommes et que vous en prenez 24, combien en avez-vous ?

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Triplets pythagoriciens liste (12) — Triplet pythagoricien liste (11) — Liste triplets pythagoriciens (6) — Triplets pythagoriciens excel (5) — Liste triplet pythagoricien (3) — Python triplets pythagoriciens (2) — Demonstration perimetre minimal d un rectangle aire donne (2) — Triplets pythagoriciens consecutifs (2) — Liste de triplets pythagoriciens (2) — Enigmes maths spirales (2) — Enigme sur les entiers (2) — Triplet pythagoricien+liste (1) — Entier consecutif (1) — Triangles primitifs pythagoriciens (1) — Triplets pythagoriciens de tete (1) — Triplets pythagoriciens sur excel (1) — Determiner tous les triplets pythagoriciens formes par trois entiers consecutifs (1) — Triplets pythagoriciens a faire sur excel (1) — Triplets pythagore liste (1) — Triplet pythagoricien forme de 3 entiers relatifs (1) — Triplet pythagoricien entier consecutifs (1) — 2n+1 carre parfait (n+1) somme carres parfaits (1) — On se propose de determiner les triplets (x;y;z) de nombres entiers relatifs tels que (1) — Triplets pythagoriciens formes par 3nombres consecutifs (1) — Triplet pythagore et losange (1) — Cotes de longueurs entieres (1) — (1) — (1) — Triplet pythagoriciens forme de entier relatif consecutif (1) — Triplets pythagoriciens excel methode (1) — Triplet pythagoricien losange (1) — Polygone a 13 cotes (1) — Listes des triplets d entiers premiers entre eux (1) — Losanges... (1) — Liste triplets pythagore (1) — Les triplets pythagoriciens excel (1) — Triplet pythagoriciens de meme hypotenuse (1) — Triangles rectangle longueurs entieres (1) — Triplets d entiers (1) — Trouve tous les triplets pythagoriciens forme de 3 entiers relatifs consecutifs (1) — Afficher les triplets pythagoriciens entiers sur excel (1) — Trouver le nombre de triangles (1) — Forme du triplet (81517) (1) — (1) — (1) — Triplets pythagoriciens 56 (1) — Trouve tous les triplets pythagoriciens formes de trois entiers relatifs consecutifs (1) — Triplet pythagoricien 65 56 33 (1) — Liste triplet pythagoricien forme de trois entier consecutif (1) — Reponse completez cette suite : 3 8 15 24 35 (1) — Liste des triplets pythagoriciens formes de trois entiers consecutifs (1) — Triplet pythagoricien entiers relatifs consecutifs (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete