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 #1 - 20-01-2011 18:33:18

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

De 1 à2011...

Que vaut la somme des chiffres de tous les nombres de la liste
1, 2, 3, 4, 5, .., 2011?



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On n’est jamais très fort pour ce calcul...
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 #2 - 20-01-2011 19:13:05

piode
Cacografe de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 1680
Lieu: Sur le dos d'une autruche

De 1 à 2011....

Merci de m'aider a réviser mon cours de maths de demain tongue

Alors:
soit [latex]S_{2011}[/latex] la somme des 2011 premiers termes de la suite arithmétique de raison r=1 et [latex]U_1=1[/latex]
Et:
Spoiler : [Afficher le message] [latex]S_{2011}=2011*(U_1+U_{2011})/2[/latex]
[TeX]S_{2011}=2011*(1+2011)/2[/TeX]
[TeX]S_{2011}=2011*006[/TeX]
[latex]S_{2011}=2023066[/latex]


j'espère t'avoir bien aidé pour ton Dm tongue

Ah ben oui, comme tu l'as dit j'ai mal lu l'énoncé ... mais j'ai révisé mon cours -__-"
je n'ai plus qu'a réfléchir smile


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #3 - 20-01-2011 19:15:25

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: devant mon écran

De 1 à 211...

@piode Je crois que tu n'as pas bien lu la question... Et pour info je suis prof de math...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #4 - 20-01-2011 19:17:11

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

fe 1 à 2011...

J'ai failli répondre : 45, mais j'ai relu l'énoncé, et je me suis dit qu'il allait falloir réfléchir un peu plus smile

Donc, j'ai raisonné selon le nombre de chiffres des nombres de 1 à 2011.

J'appelle S(n) la somme des chiffres des nombres à n chiffres.

Nombres à 1 chiffres (de 1 à 9)
[TeX]S(1)=\sum_{k=1}^{9} k [/TeX]
Nombres à 2 chiffres (de 10 à 999)
On compte les unités: 9 fois (pour chaque dizaine) la somme de 1 à 9
On compte les dizaines : 10 fois 1 + 10 fois 2 + ... 10 fois 9 = 10 fois la somme de 1 à 9.
[TeX]S(2)=19\sum_{k=1}^{9} k = 19S(1)[/TeX]
Nombres à 3 chiffres (de 100 à 999)
On sépare les centaines du reste du nombre
centaines : 100 fois 1 + 100 fois 2 + ... + 100 fois 9 = 100 fois la somme de 1 à 9
Pour les reste (dizaines/unités), on a 9 fois la somme des chiffres des nombres à 2 chiffres au plus, c'est-à-dire 9 fois S(1)+S(2).
[TeX]S(3)=9(S(1)+S(2))+100S(1)[/TeX]
[TeX]S(3)=280S(1)[/TeX]
Nombres à 4 chiffres (de 1000 à 2011)
milliers : 1000 fois 1 + 12 fois 2
le reste : 1 fois la somme des chiffres des nombres à 3 chiffres au plus, c'est-à-dire S(3)+S(2)+S(1), plus la somme des chiffres des nombres de 1 à 11 (S(1) + 1 + 2)
[TeX]S(4)=1000 + 24 + S(3) + S(2) + S(1) + S(1) + 3[/TeX]
[TeX]S(4)=1027 + 301S(1)[/TeX]
Au total, on a donc S = S(1)+S(2)+S(3)+S(4) = 601S(1) + 1027

Avec S(1) = 45, on trouve S=28072

 #5 - 20-01-2011 19:19:45

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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De 1 à 201...

Bravo à L00ping007. Jolie manière de procéder en plus.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #6 - 20-01-2011 19:26:12

piode
Cacografe de Prise2Tete
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Messages : 1680
Lieu: Sur le dos d'une autruche

De 1 à 20011...

Pour l'histoire de Dm c'est bien sur une petite blague( ou taquinerie) yikes, parce que l'énoncé m'a paru simple, parce que j'ai mal lu et que c'est le gros problème des gens de notre époque: trop pressés )


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #7 - 20-01-2011 19:31:03

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: devant mon écran

De 1 à 0211...

Aucun problème... Par contre tu as vraiment mal lu la question... et ça ce n'est pas une blague.

C'est le cas de beaucoup de mes élèves. Ils ne lisent pas la question complètement, mais ils sont certains de leur réponse...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #8 - 20-01-2011 20:08:38

piode
Cacografe de Prise2Tete
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Lieu: Sur le dos d'une autruche

De 1 à 2011..

Oui ,
remplaçons les chiffres par des nombres
a=0 b=1 c=2 d=3 e=4 f=5 g=5 h=7 i=8 j=9

Code:

aa+ab+ac+ad+ae+af+ag+ah+ai+aj+ba+bb+bc+bd+be+bf+bg+bh+bi+bj+ca+cb+cc+cd+ce+cf+cg+ch+ci+cj+... ...+caaa+caab+caac+caad+caae+caaf+caag+caah+caai+caaj+caba+cabb

si on précise que b=a+1 c=a+2 ...j=a+9
a+a+a+a+1+a+a+2+a+3...a+2+a+a+1+a+a+2+a+2+a+a+1+a+1
comme a=0
1+2+3...2+1+2+2+1+1
et ben enfaite j'ai pas avancé

il faut trouver un moyen de savoir combien il y a de fois chaque chiffre smile

j'ai une autre idée smile
[TeX]S_a[/latex]=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=(9+1)+(8+2)+(7+3)+(6+4)+5=45
donc de 10 à 19 la somme des chiffres est égale à 45+1*10
on obtient : [latex]U_n=45+n*10[/TeX]
et de 0 à 100
[TeX]S_b[/latex]=U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+U_6+U_7+U_8+U_9+1+0+0
[latex]S_b[/latex]=45+(45+10)+(45+2*10)+(45+3*10)+(45+4*10)+(45+5*10)+(45+6*10)+(45+7*10)+(45+8*10)+(45+9*10)+1
[latex]S_b[/latex]=45+9*45+(10+20+30+40+50+60+70+80+90)+1=45+9*45+450+1
[latex]S_b[/latex]=45+405+451=901

de 0 à 99 [latex]S_b'[/latex]=900
de 0 a 999 [latex]S_b'+S_b'[/latex]*10+100(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
=900+9000+4500=[latex]S_c[/latex]=14400
de 0 à 1998  [latex]S_c[/latex]+[latex]S_c[/TeX]
de 0 à 2000  [latex]S_c[/latex]+[latex]S_c[/latex]+2=14400*2+2=28800+2=[latex]S_d[/latex]=28802
de 0 à 2011   [latex]S_d[/latex]+[latex]S_a[/latex](-0)+(1+1)=28802+45+2=28849


(de 0 à 9999 =[latex]S_c+S_c[/latex]*100+1000(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
=14400+1440000+45000=199400


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #9 - 20-01-2011 20:11:22

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

De 1 à 2011....

@piode je ne vois pas l'utilité de remplacer les chiffres par des lettres, mais après tout, pourquoi pas... Il y a une erreur dans ton calcul de Sa... la troisième ligne me semble foireuse...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #10 - 20-01-2011 20:13:14

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

De 1 à 20111...

on va denombrer le nombre de chaque chiffre

de 0 à 999: il y a 300 chiffres de chaque donc la somme est égale à 300*45=13500
de 1000 à 1999 il y a 1000 chiffres égaux à 1 et la somme de 0 à 999  donc la somme est de 14500
de 2000 à 2011: il y a quatre 1; treize 2 et 1 chiffre de chaque donc la somme est égale à 4+26+3+4+5+6+7+8+9=72

donc au total la somme est égale à 13500+15400+72=28972 si je ne me suis pas trompé.

au fait moi aussi je suis prof de maths tu es d'où?

 #11 - 20-01-2011 20:20:44

langelotdulac
Ange de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2963
Lieu: Paradis

De 1 2011...

Hiiiiiiiii !
C'est une boucle  big_smile

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 = 1
11 = 2
12 = 3
13 = 4
14 = 5
15 = 6
......
19 = 10 = 1
20 = 2
21 = 3
et ça continue jusqu'à,
2008 = 10 = 1
2009 = 11 = 2
2010 = 3
2011 = 4

Joli ! smile

Fred101274 a écrit:

@langelotdulac il faut réellement faire la somme des chiffres de tous les nombres... donc pour 1974 par exemple, on a 1 + 9 + 7 + 4 = 21, que l'on ajoutera aux autres sommes... 21 étant une somme, je ne vois pas pourquoi on ferait pour 21 : 2 + 1 = 3...

Je m'disais bien, aussi ... roll
Bon, ben ....,  j'aurai essayé  big_smile
N'empêche, je trouve ma solution drôlement jolie, et c'est pas souvent que je m'autocongratule ... Surtout en maths !  lol


Tu es largement assez dingo pour qu'un Minito te semble cohérent \o/ !

 #12 - 20-01-2011 20:21:32

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: devant mon écran

De 1 à 201.1..

@gabrielduflot je suis prof à Gosselies (Belgique). Ta réponse est fausse, malheureusement... de 10 à 99 par exemple, tu t'es trompé.

@langelotdulac il faut réellement faire la somme des chiffres de tous les nombres... donc pour 1974 par exemple, on a 1 + 9 + 7 + 4 = 21, que l'on ajoutera aux autres sommes... 21 étant une somme, je ne vois pas pourquoi on ferait pour 21 : 2 + 1 = 3...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #13 - 20-01-2011 20:31:02

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

De 11 à 2011...

unité: (1+...+9)*201+1=9046
dizaine: (1+...+9)*10*20+2=9002
centaine: (1+...+9)*100*2=9000
millier:1*1000+2*12=1024
and the total is 9046+9002+9000+1024=28072


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 20-01-2011 20:32:06

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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e 1 à 2011...

Bravo à franck9525


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #15 - 20-01-2011 20:39:10

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
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De 1 à 20111...

Avant tout, énigme très intéressante smile.

Calculons tout d'abord la somme des chiffres des unités des nombres de 1 à 2011 :
De 1 à 10, on a les chiffres des unités suivants : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Leur somme est 45.
Il y a 2011 nombres donc 2011 chiffres des unités. La somme de ces derniers est 201 fois la somme citée précédemment, incrémentée de 1.
201 * 45 + 1 = 9046

Intéressons-nous maintenant à la somme des chiffres des dizaines :
Les nombres de 1 à 9 n'ont pas de chiffre des dizaines.
Il y a donc 2002 nombres pourvus de chiffre des dizaines.
On remarque que pour 100 nombres consécutifs, il y a 10 fois le chiffre des dizaines "1", 10 fois le 2, 10 fois le 3, ....., 10 fois le 9 et enfin, 10 fois le 0.
La somme de ces nombres est : 10 * 1 + 10 * 2 + 10 * 3 + ... + 10 * 9 + 10 * 0 = 10*(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 0) = 10*45 = 450.
On compte 20 suites de 100 nombres consécutifs dans les 2002 nombres qui sont supérieurs ou égaux à 10. Pour 2010 et 2011, le chiffre des dizaines est 1.
La somme de TOUS les chiffres des dizaines est donc : 20*450 + 1 + 1 = 9002

Pour les chiffres des centaines maintenant :
Même procédé que précédement.
De 100 à 199, il y a 100 fois le chiffre 1.
De 200 à 299, 100 fois le chiffre 2.
...
De 1900 à 1999, 100 fois le chiffre 9.
De 2000 à 2011, 100 fois le chiffre 0.
On fait la somme :
2*(100*1 + 100*2 + 100*3 + 100*4 + ... + 100*9) + (100*0) + 12*0 = 2*100*45 = 9000

Enfin, pour les chiffres des milliers :
On a 1000 fois le chiffre 1 et 12 fois le chiffre 2.
1000 * 1 + 12 * 2 = 1024.

Hop, on met tous les chiffres ensemble, on mélange : 9046 + 9002 + 9000 + 1024 = 28072

Et voilà smile. Ma démarche est longue et répétitive, et je suis sûr qu'il y a plus beau et plus rapide !

Alexein41.

 #16 - 20-01-2011 20:45:50

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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De 1 àà 2011...

@alexein41 ta démarche est longue et répétitive mais très claire. Bravo.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #17 - 20-01-2011 21:03:26

CLAIRE68
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 32

De 1 à 211...

si s est la somme des chiffres de 1 à 9  s= 45
pour les unités , s est récurrent 201 fois (2011 MOD 10)
pour les dizaines , s est récurrent  20 fois (201 MOD 10)
pour les centaines, s esT récurrent 2 fois
pour les milliers, on a 1 x 1000
                             et 2 x 12

resre 10 et 11 soit 3


45 x 201 x 20 x 2 + 1024 + 3  =362827 ?

 #18 - 20-01-2011 21:05:37

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
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fe 1 à 2011...

@CLAIRE68 c'est malheureusement faux. Recompte...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #19 - 20-01-2011 21:37:25

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Dee 1 à 2011...

Sur 4 colonnes, on compte de 0 à 1999 à raison d'un chiffre par colonne.

Parmi ces 2000 nombres, chaque chiffre de 0 à 9 apparaît :
- une fois sur 10 en tant qu'unité, soit 200 fois
- une fois sur 10 en tant que dizaine, soit 200 fois
- une fois sur 10 en tant que centaine, soit 200 fois

Donc 600 fois pour chaque chiffre sur les unités/dizaines/centaines.

De plus, le 1 apparaît 1000 fois en millier.

Bilan pour la zone {0..1999} :

600x(0+1+...+9)+1000 = 600x45+1000=28000

Reste la zone {2000..2011} :
12 fois le 2 en millier + 2 fois le 1 en dizaine + (0+1+...+9+0+1)
soit 24+2+46 = 72

Donc : 28072.

 #20 - 20-01-2011 21:39:11

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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De 1 à 2011....

Bravo gasole.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #21 - 20-01-2011 22:46:10

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

De 1 à 011...

pour les unités: 1 à 9 :  201 fois + une = 45*201 + 1 = 9046

les dizaines: 10 * (1 à 9 ) 20 fois + 2*1 = 10*45*20 +2 = 9002

les centaines : 100 * (1 à 9) 2 fois = 100 * 45 * 2 =9000

Les milliers : 1000 * 1 + 12 * 2 = 1024

TOTAL : 28 072

 #22 - 20-01-2011 23:21:27

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

De 1 à 2011....

Je considère tous les nombres de 0 à 999 écrits avec exactement 3 chiffres, quitte à écrire des 0 devant, ce qui ne change pas la somme de tous les chiffres. En les écrivant tous les uns sous les autres on obtient 3 colonnes de (1000) chiffres dans lesquelles chaque chiffre apparait 100 fois. La somme de chaque colonne fait donc: 100(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=4500.
La somme de tous les chiffres de tous les nombres de 1 à 999 vaut donc 3*4500=13500.
La somme de tous les chiffres de 1000 à 1999 vaut la même chose pour les 3 derniers chiffres plus 1000x1=14500.
Reste ensuite 2000+...+2011: 12*2 (les chiffres 2) + 2*1 les dizaines de 10 et 11+ 45+1 (les unités)=72

Le total vaut donc 13500+14500+72=28072 validé par la case réponse.
J'ai essayé une démo pas trop bourrine smile

Merci pour l'exercice.

 #23 - 20-01-2011 23:37:03

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

De 1 à 2011....

La somme des nombres de 0 à 9 fait 10*9/2 = 45.
Comptons la somme des chiffres des unités :
entre 0000 et 2009 on trouve 201 fois cette suite, somme à laquelle je rajoute 1 pour 2011, ce qui donne 9046.

Comptons la somme des chiffres des dizaines :
entre 0000 et 1999 on trouve 20 fois 10 fois cette suite, somme à laquelle je rajoute 1 pour 2011, ce qui donne 9001.

Comptons la somme des chiffres des centaines :
entre 0000 et 1999 on trouve 2 fois 100 fois cette suite, somme à laquelle je ne rajoute rien, ce qui donne 9000.

Comptons la somme des chiffres des milliers :
entre 1000 et 1999 on trouve 1000 fois 1, au dela de 2000, on trouve 12 fois 2,ce qui donne 1024.

Total 28071, non confirmé.

Où est l'erreur ? sad

 #24 - 21-01-2011 08:01:42

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

De 1 à 2011....

De 1 à 9 : 45
de 10 à 19 : 10x1+45=55
de 20 à 29 : 10x2+45=65
...
de 90 à 99 : 10x9+45=135

Soit de 1 à 99 : 45+55+...+135=10x(45+135)/2=900

De 100 à 199 : 100x1+900=1000
de 200 à 299 : 100x2+900=1100
...
de 900 à 999 : 100x9+900=1800

Soit de 1 à 999 : 900+1000+1100+...+1800=10x(900+1800)/2=13500

de 1000 à 1999 : 1000x1+13500=14500

Soit de 1 à 1999 : 13500+14500=28000

De 2000 à 2011 : 12x2+(1+2...+9)+1+0+1+1=24+(45)+3=72

Soit au total 28072 sauf erreur de calcul. Est-ce bon?

 #25 - 21-01-2011 10:19:54

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

fe 1 à 2011...

Bravo à gwen27, rivas (superbe démonstration) et à fireblade.

@Jackv il te manque juste le chiffre des dizaines du nombre 2010. Un tout petit oubli... Ta solution +1 sera donc validée.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

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