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 #1 - 06-08-2016 00:19:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 125

Pour l'ouverture des jeux olympique mon pâtissier a reçu une curieuse commande :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau129.png

Il doit disposer 45 médailles dorées dans les 9 zones délimités par les 5 cercles  . Chacune des zones doit contenir au moins une médaille et deux zones ne doivent jamais contenir le même nombre de médailles . Il faudrait en plus que chaque disque ait le même nombre de médailles et que celui-ci soit le plus grand possible .

Comment va-t-il s'y prendre ???

Amusez-vous bien

Vasimolo



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 #2 - 06-08-2016 07:18:14

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

gâtezu 125

Pour les deux extrêmes, pas possible de faire 2 sommes à 17, ni à 16.
On peut faire 2 sommes à 15 (9-6 et 7-8) mais le cercle central donnera 12 au maximum.

Reste à tenter 14 :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g125.png

 #3 - 06-08-2016 09:37:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 125

Toujours aussi rapide Gwen smile

Ceux qui ont fini peuvent essayer de montrer qu'à une symétrie près la solution est unique .

Vasimolo

 #4 - 06-08-2016 10:52:43

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Gâteau 1255

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Gateau125b.JPG

Pour trouver le nombre maximal de médailles par disque, j'ai considéré qu'il faudra remplir les 3 disques (bleu, noir, rouge) qui n'ont pas de zone commune et voir le max qu'ils peuvent recevoir. Comme chaque zone doit avoir au moins 1 médaille, j'ai rempli les zones "propres" aux disques vert et jaune avec 1 et 2 médailles. Il reste 42 médailles, ce nombre divisé sur les 3 disques "distincts": 42/3=14. Il ne reste plus qu'à bien les placer!

Le disque bleu doit avoir 14 médailles sur 2 zones: 9 et 5 sont les seuls chiffres disponibles qui peuvent satisfaire cela.
Le disque rouge doit avoir 14 médailles sur 2 zones: 9+5 ou 8+6 or 9+5 est déja utilisé donc il ne reste que le 8+6.
Le disque jaune a déja 2 et 9, il faut 3 pour dans la zone noir/jaune
Le disque vert a déja 1 et 6, il faut 7 pour dans la zone noir/vert
On vient de remplir le disque noir de 3 et 7, il reste 4 pour atteindre 14.

Si au début, j'avais placé 1 médaille dans le disque jaune et 2 dans le disque vert, le placement sera simplement symétrique au placement actuel.

 #5 - 06-08-2016 12:07:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gââteau 125

J'ai trouvé 4 solutions à la main (liste pas forcément exhaustive) :
9 2 5 4 6 1 7 3 8 somme 11
7 6 5 2 8 3 1 9 4 somme 13
7 6 5 2 3 8 1 4 9 somme 13
5 9 2 3 4 7 1 6 8 somme 14

En partant du fait que la somme des 4 intersections est un multiple de 5.

 #6 - 06-08-2016 12:22:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 125

Bien vu Kossi smile

@Nodgim : chaque continent ( ie : disque ) doit récupérer un maximum de médailles .

Vasimolo

 #7 - 06-08-2016 12:56:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteeau 125

Bien sûr, il ne reste donc que la dernière solution:
5 9 2 3 4 7 1 6 8 somme 14.

Comme je le disais, la somme des intersections doit être un multiple de 5, car la somme de 1 à 9 fait 45, à laquelle on ajoute 2 fois la somme des intersections.


Les combis des intersections pour une somme 14 sont :
1 7 8 9
2 6 8 9
3 5 8 9
3 6 7 9
4 5 7 9
4 6 7 8

(A noter que la seule combi des intersections ayant pour somme 15 est 6 7 8 9, et qu'on ne peut en tirer de solution)

On joue alors, entre autre, sur le fait que les valeurs < 5 ne concernent pas les disques d'extrémités. Seule la combi 3 6 7 9 convient.

 #8 - 06-08-2016 14:01:03

Agid1915
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

 #9 - 06-08-2016 14:08:37

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Gtâeau 125

Bonjour

On doit caser 45 médailles dans 9 zones et on remarque que
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

Il faut trouver la somme commune à chacun des 5 cercles

Premier essai avec la plus petite somme possible i.e. 10
On place les plus grands chiffres dans les zones "doubles" ie 9+1 et 8+2

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-gato1251.jpg

ça coince rapidement

Deuxième essai avec 11
On place 9+2 et 8+3

Une solution apparaît après quelques tâtonnements

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-gato1252.jpg

De là prouver qu'elle est unique ?

On compte "deux fois" les intersections bleu-jaune, jaune-noir, noir-vert et vert-rouge

soit S la somme d'un disque et S' la somme des intersections ci-dessus

5S = 45+S'

La plus petite valeur de S' est 1+2+3+4 = 10

S=10 ne pouvait donc pas convenir
S=11 convient bien avec 5 x 11 = 45+10

S=12 impliquerait S'=15 ...
ne fonctionne pas :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-gato1253.jpg


....

A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #10 - 06-08-2016 14:47:28

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Gâteau 152

Bonjour,

Code:

Solution 1 :
   5           4           8
      9     3     7     6
         2           1

Solution 2 (symétrique de la précédente) :
   8           4           5   
      6     7     3     9      
         1           2

 #11 - 06-08-2016 15:45:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteai 125

@Nodgim et Enigmatus : oui smile
@NickoGecko : Tu dois pouvoir distribuer un peu plus de médailles à chaque continent .

Vasimolo

 #12 - 06-08-2016 18:18:03

bidipe
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1082
Lieu: Côte basco-landaise

gâtzau 125

Bonjour

les 9 zones devant contenir des nombres différents dont la somme est 45, les zones sont donc occupées par les chiffres 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dont la somme est bien 45

b+c+d=f+g+h donc b+c+d+f+g+h = pair donc a+e+i = impair
c,d,e,f,g !=9
Si b+c+d+f+g+h =22 alors b+c+d=f+g+h = 11 = 2+4+5=1+3+7

Bref, ce n'est pas vraiment une démonstration lol
mais je trouve ca roll

http://www.prise2tete.fr/upload/bidipe-Vasimolo-gateau125.jpg

Edit : argh, je crois que j'ai une meilleure solution, je reviens smile
Ah ben non, je ne trouve pas, et le soleil m'attend smile

 #13 - 06-08-2016 19:06:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

GGâteau 125

@Bidipe , profites bien du soleil smile

S'il te reste un peu d'énergie reprends tes calculs . Je me verrais bien faire ça sur la plage avec des galets ou des coquillages , mais bon ...

Vasimolo

 #14 - 06-08-2016 19:21:09

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Gâteau 12

Justifier l'unicité...

14 dans tous les ronds, c'est 4 3 7 au milieu, et donc, 1 et 2 en bas.

Le 1 est avec 9 5 ou 8 7 ... Dans une des hypothèses, le 4 doit être des deux côtés à la fois, impossible. Dans l'autre, il n'y a pas le choix, on aboutit à la solution.

 #15 - 06-08-2016 19:38:58

bidipe
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1082
Lieu: Côte basco-landaise

Gtâeau 125

Vive les réflexions profondes au soleil big_smile

Voila 2 solutions pour le prix d'une : une avec 13, l'autre avec 14

http://www.prise2tete.fr/upload/bidipe-Vasimolo-gateau125b.jpg

Je ne trouve pas de solutions avec a+e+i= b+c+d=f+g+h=15 roll

je repars dans mon jardin wink

 #16 - 06-08-2016 19:58:01

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

Gâteau 215

Bonjour

Après de savants calculs :
http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-rep-olympie.png

Après réflexion, on peut aller jusqu'à 14 :
http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-rep-olympie14.png
14 est le maximum car si on en mettait 15 dans les cercles bleu, noir et rouge, cela ferait un total de 45. Et on devrait ensuite ajouter 1 et 2 pour ne pas laisser vides les parties inférieures des cercles jaune et vert.

Merci Vasimolo smile


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #17 - 06-08-2016 21:05:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

hâteau 125

Bravo à tous sauf à Elpafio .

Vasimolo

 #18 - 07-08-2016 18:29:25

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gâteau 1255

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Anneaux1.png

A = 9+(-4a+b+c+d)/5 => b+c+d =< 4a
B = 9+(-4a-4b+c+d)/5 => c+d =< 4a+4b
C = 9+(a-4b-4c+d)/5 => a+d =< 4b+4c
D = 9+(a+b-4c-4d)/5 => a+b =< 4c+4d
E = 9+(a+b+c-4d)/5 => a+b+c =< 4d

On voit que: a+b+c+d doit être multiple de 5.
On voit aussi que a et d ne peuvent pas valoir 1.

Après quelques tests, on trouve deux solutions:
A=9 / a=2 / B=5 / b=4 / C=6 / c=1 / D=7 / d=3 / E=8
A=9 / a=4 / B=1 / b=8 / C=3 / c=2 / D=5 / d=6 / E=7
la seconde maximisant chaque disque.

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Anneaux2.png

 #19 - 07-08-2016 18:59:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 12

Tu dois pouvoir être un peu plus généreux Franky smile

Vasimolo

 #20 - 07-08-2016 21:19:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gtâeau 125

Avec des disques de 15, je ne trouve rien, mais avec 14, c'est surement celui-ci (ou son symétrique).

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Anneaux3.png

 #21 - 07-08-2016 22:39:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u125

Et pourquoi pas plus ?

Vasimolo

 #22 - 08-08-2016 08:47:59

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

fâteau 125

Si on veut plus, c'est-à-dire des disques de 15, alors on doit à la fois placer 6, 7, 8 et 9 sur les zones centrales et placer 2 de ces nombres sur les disques extrêmes pour faire une somme de 15, ce qui est impossible. Des disques de 14 constituent donc un maximum. Merci pour ce divertissement olympique.

 #23 - 08-08-2016 18:37:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 152

Bravo et merci smile

Vasimolo

 #24 - 09-08-2016 19:08:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteay 125

Merci à tous ceux qui se sont amusés à cette petite récréation olympique : l’essentiel est de participer smile

Vasimolo

 

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