Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 10-03-2011 03:32:34

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

20111

Le but de cette énigme est de trouver n termes dont la somme fait 2011 et le produit de ces n termes soit le plus grand possible!
Un exemple: 11+2000=2011  11*2000=22000



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 10-03-2011 04:04:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

211

Si on parle d'entiers naturels, c'est simple, il suffit de decomposer 2011 en nombres qui soit le plus pres de 'e'.
donc autant de 3 que l'on peut, et on finit avec des 4 ou des 2.

soit 2011 = 3+3+3+3....+3+3+2+2 ( avec un total de 669 trois, et 2 deux)
produit = 6.254309931e+319


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 10-03-2011 04:07:27

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

20111

et 1 bonne réponse @dhrm77

 #4 - 10-03-2011 07:17:33

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

22011

4*3^669 me semble pas mal

 #5 - 10-03-2011 08:27:43

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

0211

1005*1006 = 1011030
670*670*671 = 301211900
502*503*503*503 > 63 millions
402*402*402*402*403 > [latex]10^{13}[/latex]
335*335*335*335*335*336 > [latex]10^{15}[/latex]
...où s'arrêter ? Je vais essayer de formaliser un peu, mais ça ne va pas être simple.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 10-03-2011 08:53:33

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

0211

2011=3+2+2+2+...+2 (1004 fois)
Produit=3*2^1004=beaucoup !


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 10-03-2011 09:38:51

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

20111

C'est le MP102 de février 2011 de http://centraledesmaths.uregina.ca/mp/current
Tu aurais pu citer la source, la solution n'étant pas encore publiée.
Je ne donne pas la solution, je trouve cette "énigme" abusive.

On peut atteindre un produit d'environ [latex]6.25 \,10^{319}[/latex]

 #8 - 10-03-2011 11:01:11

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

2101

Je complète ma réponse.

SOLUTION AVEC TERMES NON ENTIERS

On consière un nombre A (ici A=2011) et on cherche le découpage idéal de A en une somme de n termes pour maximiser le produit.

Il n'est pas dit que ces termes doivent être entiers.

Montrons que si 2 termes différents apparaissent, alors la solution n'est pas optimale : si A = B + p + q, avec pour produit P1 = PB x p x q alors A = B + (p+q)/2 + (p+q)/2 et P2 = PB x ((p+q)/2)² = P1 + p² + q² donc P2 > P1.

Donc tous les termes doivent être identiques. Ils seront égaux à A/n. Et la produit P(n) = (A/n)^n

Pour trouver la valeur de n qui maximise P(n), on pose t=A/n et on étudie la fonction f(t) = ln (P(n))=A/t ln(t)
f'(t)=A/t² (1-ln (t)), qui s'annule pour t=e=2,718... qui correspond bien à un maximum.

L'optimal est donc d'avoir n termes de valeurs e.
rem : on remarque que la valeur de l'élement de la découpe optimale ne dépend pas de A.

Le découpage optimal ci-dessus accepte n non entier, ce qui n'est sans doute pas la réponse attendue.
Il faut donc choisir entre n1 = ent(A/e) et n2 = ent(A/e) + 1, qui sont automatiquement les valeurs entières de n donnant un maximum (vu les sens de variation de f).

A.N.
A = 2011, n1 = 739, f(A/n1) = 17,974...
A = 2011, n2 = 740, f(A/n2) = 17,954...
Donc l'optimum est trouvé pour 739 termes de valeurs 2011/739=2,7212...
Le produit correspondant P1 = 1,9646 10^321

SOLUTION AVEC TERMES ENTIERS

Montrons que la solution optimale est bien 4 x 3^669.

Supposons que 2 entiers p et q avec un q-p>1 apparaissent dans le découpage, on peut remplacer par p+1 et q-1, puisque (p+1)(q-1) = pq + q - p - 1 > pq.

Donc il ne peut apparaitre que 2 nombres m et m+1.

Pour tout k>4, k<(k-2) x 2, donc aucun nombre supérieur ou égale à 5 n'apparait.
Donc m=2, 3 ou 4. Mais m=4 est impossible avec A=2011 car 2011 n'est pas divisible par 4 (et donc il y aurait un 5 au moins).

Donc m = 2 ou m = 3

La solution optimale s'écit donc 2^i x 3^j (car pour m=3 m+1=4=2+2=2x2)

Comme 2^3 < 3^2, 2 apparait au maximum 2 fois.

Donc i=0 ou i=1 ou i=2.

Seul j=669 (pour i=2) est solution entière de 2011=2 x i + 3 x j.

D'où la solution...


Comparée à la solution non entière, la solution entière donne un produit P2 = 6,2543 10^319 qui est 31,41 fois plus petite.

 #9 - 10-03-2011 11:25:15

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

011

[TeX]2^2.3^{669} \approx 6,25.10^{319}[/TeX]
Pour une petite démonstration, on peut montrer que pour une telle décomposition, on ne doit prendre que des 2 et des 3 :

- évidemment pas de 0 dans la décomposition, le produit serait nul
- on ne prend pas de 1 non plus, car x.y.1 < x.(y+1)
- on ne prend pas de nombre supérieur ou égale à 5. Supposons n supérieur ou égal à 5 dans la décomposition. Alors en remplaçant n par n-2 et 2, on a bien 2(n-2) > n (car n>4).
- il ne nous reste que des 2, des 3, ou des 4. Mais comme 4=2x2, on peut se passer de 4.

Reste à savoir combien prendre de 2 ou de 3.
Facile, car 2x2x2 = 8 < 9 = 3x3.
Dès qu'on a 3 fois le chiffre 2, on les transforme en 2 fois le chiffre 3, le produit sera supérieur.
On ne peut avoir que 0,1, ou 2 fois le chiffre 2, le reste sont des 3.
Cela ressemble fortement au reste d'une division euclidienne, non ? smile

Pour un nombre N quelconque, le plus grand produit que l'on peut obtenir est :
[TeX]P=3^{\frac{N-(N \%3)}3}.2^{N\%3}[/TeX]

 #10 - 10-03-2011 14:16:27

benniouioui
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 9

2101

Bonjour,

3+2+2+2+2+2+2+...+2
3*2*2*2*2*2*2*2*...*2
1er terme = 3,
2e --> 1006e terme=2

 #11 - 10-03-2011 16:11:02

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

0211

+2 @dylasse et looping bravo
@halloduda je te trouve un peu trop méprisant sachant qu'en plus tu n'as pas donné la bonne réponse (surtout que ce que dis est faux!)

 #12 - 10-03-2011 17:51:44

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

011

Si je ne me suis pas gouré

2*2*3^669

6,2 10^370 quand même big_smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #13 - 10-03-2011 17:59:23

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

211

+1 @papiauche bravo
eh oui c'est grand qd meme... lol

 #14 - 10-03-2011 19:20:28

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

20111

Au feeling et sans preuve (faut que j'aille préparer à dîner) je dirais qu'il faut privilégier au maximum le nombre de multiplications, et donc prendre
[TeX]2011 = 3 + (2+2+...+2) = 3 + 2\times 1004[/TeX]
qui donnera comme produit : [latex]2^{1005}[/latex] qui est bien trop grand pour être affiché mais est approximativement égal à : [latex]5.14\times 10^{302}[/latex] ce qui fait beaucoup.

En fait, avec [latex]2011 = 4 + (3+3+...+3) = 4 + 3\times 669[/latex] on fait mieux :[latex] 6.25\times 10^{319}[/latex], au-delà de 3 ça décroît...

 #15 - 10-03-2011 19:48:13

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

211

+1 @gasole

 #16 - 10-03-2011 20:09:08

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

2101

3+3+........+3+2+2=2011
[latex]3^{669}\times2^2[/latex] sera le plus grand nombre

 #17 - 10-03-2011 23:48:25

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

211

correct @gabriel

 #18 - 11-03-2011 13:08:33

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

211

(2^1004)*3


Un promath- actif dans un forum actif

 #19 - 11-03-2011 15:47:09

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

201

pour un pro des math je m'attendai a mieux LOL
@promath ceci dit tu n'est pas loin... enfin c'est relatif...

 #20 - 11-03-2011 21:11:52

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

20111

Indice pour ceux qui cherchent encore...
Remplacez 2011 par 14

 #21 - 12-03-2011 15:11:01

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

201

Comme l'énoncé ne precise pas si un terme doit etre un nombre entier ou pas.
La meilleure réponse est donc de decomposer 2011 en 740 parties de 2.717567568:
2011 = 2.717567568+2.717567568+2.717567568...+2.717567568 (740 fois)
est le produit est:
2.717567568^740 = 1.965439554e+321

Ce probleme avait déja été vu dans ce sujet.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #22 - 12-03-2011 16:26:22

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

201

@dhrm autant pour moi je n'avais pas vu! Ceci dit il date de 2007 donc je suis excusé je ne suis pas là depuis autant de temps...
Sinon c'est bien sur des termes entier que je demandais, merci pour la remarque!

 #23 - 12-03-2011 17:58:44

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

22011

Je pense qu'il faut trouver la valeur x pour laquelle la dérivée de
f(x)  =  (2011/x)^x
est nulle.
(avec x strictement positif)

n sera l'arrondi à l'inférieur ou au supérieur de la valeur x précédemment trouvée.

Ca commence à remonter (un peu trop loin dans le passé) pour moi... Snif sad


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #24 - 12-03-2011 18:55:10

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

201

@le singe  Tu te complique la vie! Cherche pour 14 et tu devrai trouver...

 #25 - 12-03-2011 22:35:17

fourbe
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

201

Bonsoir

1er tentative de réponse a une egnime.

Pour moi :
il faut utiliser 1004 fois le chiffre 2 + 3  soit 1004*2 +3 = 2011

ce qui donne en multiplication
(2^1004)*3  soit  5,14E+302

je ne vois pas mieux à mon niveau de math big_smile

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 42ème, en quelle position êtes-vous ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
09-03-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
07-04-2011 Enigmes Mathématiques
26-08-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
De 1 à 2011... par fred101274
20-01-2011 Enigmes Mathématiques
08-01-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
2011 de + en + grand par guilhem
08-01-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
65 avec 5;6;7;8 par melinadu70
11-11-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
26-01-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 8 par Vasimolo
22-05-2010 Enigmes Mathématiques

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete