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 #1 - 17-02-2016 16:36:52

gonzague
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 24

Boules Ures

On considère deux urnes A et B et 10 boules numérotées de 1 à 10.
Au départ les 10 boules sont dans l'urne A.
A chaque instant, on tire au hasard un numéro entre 1 et 10 et on change d'urne la boule ayant le numéro tiré au hasard.
On suppose que les tirages sont indépendants.
Question 1 : Quelle est la probabilité au bout de 3 tirages que l'urne B contienne une seule boule ?
Question 2 : même question avec 11 658 tirages



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 #2 - 17-02-2016 18:41:30

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Boules Urne

Bonjour,

Question 1 : 7/25 = 28 %

Question 2 : 0
Toutes les boules doivent être tirées un nombre pair de fois, sauf une. Le nombre de tirages doit donc être impair pour que la probabilité soit non nulle.

 #3 - 17-02-2016 18:50:23

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Boulse Urnes

A partir du deuxième tirage :
1/10 de tirer le premier numéro
9/10 de tirer un autre numéro

Troisième tirage :
2/10 de tirer un des deux numéros de l'urne B

Donc 1/10 + 9/10 * 2/10 = 28/100

 #4 - 17-02-2016 21:56:00

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Boules Urens

R1 :
1er tirage : 1 boule n°N
2ème tirage : 1/10 chance de tirer la boule n°N, donc certitude ensuite d'avoir 1 boule dans l'urne B
sinon 3ème tirage : 2/10 chance de tirer une des 2 boules de l'urne B et de n'y garder qu'une boule.

Donc 1/10+2/10*9/10=28/100 de n'avoir qu'une boule dans l'urne B après 3 tirages.

R2 : J'y réfléchi...
Lol !

 #5 - 17-02-2016 22:41:15

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

Bouless Urnes

On pose:
X la boule qui va rester dans l'urne B après le tirage.
I le nombre d'occurrence du nombre de la boule X lors du tirage
Rᵢ une boule qui n'est pas X tel que 1≤i≤9
Pᵢ le nombre d'occurrence du nombre de la boule Rᵢ lors du tirage
N le nombre de tirage.
Pour avoir une seule boule X dans l'urne B à la fin, peu importe le nombre N
I doit être impair
Tous les Pᵢ doivent être pairs
On sait que [latex]N=I+\sum_{i=1}^9 P_{i}[/latex]
Donc N doit être impair on peut répondre à la deuxième question en disant que la probabilité est P=0 car (N=11658 est pair)
Pour la première question N=3
Le cardinal est T=10³=1000
On a deux cas
1er cas: I=3
Le tirage est (X X X)
Il y a 10 cas possibles
2ème cas I=1
Le tirage est (X Pᵢ Pᵢ) ou (Pᵢ X Pᵢ) ou (Pᵢ Pᵢ X)
Le nombre de cas est 10×9×3=270
Donc la probabilité d'avoir une boule dans l'urne B après 3 tirages est
P=(270+10)/1000=0,28

PS: J'espère que cette énigme n'est pas un devoir.
Bonne nuit.

 #6 - 17-02-2016 23:34:20

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Boles Urnes

Au bout de 3 tirages un arbre montre rapidement qu'il y a 28% de chance  (1-0.9*0.8)

Au bout d'un nombre pair de tirages il y aura un nombre paire de boule dans B...

 #7 - 18-02-2016 17:03:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

boumes urnes

Salut Gonzague,
Pour 3 tirages, on a 3 scénarios possibles: aab, aba, baa, qui laissent une seule boule dans l'urne: 27/100.

Pour un nombre pair de tirages, il ne peut pas y avoir 1 seule boule, mais seulement un nombre pair.

 #8 - 18-02-2016 19:45:00

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Boules Urne

Je dirais 0.325 et 0.0097...

 #9 - 18-02-2016 23:17:46

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

noules urnes

P(3) = 7/25
P(2k) = 0 : il est impossible d'obtenir une boule seule dans l'urne B avec un nombre de tirages pair.

 #10 - 19-02-2016 15:58:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Boules Urens

Du coup, je modifie, 0,28 après 3 tirages, mais probabilité nulle  après 11658 (nombre pair)  tirages.

 #11 - 19-02-2016 17:19:07

gonzague
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 24

boules yrnes

Bravo à tous,
28% en effet pour la première question et 0 pour la deuxième.

 #12 - 19-02-2016 18:09:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

bouled urnes

Je me demandais pourquoi il me manquait 1%, j'ai trouvé:
aux scénarios aab, aba et baa, il faut ajouter le aaa qui fait bien 1%.

 

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