Enigme Encore avec les applications ! @ Prise2Tete

Azdod · #1

$f[/latex] est une application de : [latex]R->R[/latex] telle que: pour tout [latex]x[/latex] de [latex]R[/latex] : [latex](fofofof)(x)=(fofof)(x)+2x$
determinez $f(x)$ en fonction de $x$ .
Bonne chance !

Vasimolo · #2

F(x)=-x est une solution , mais ça m'étonnerais que ce soit la seule

Vasimolo

L00ping007 · #3

J'ai cherché les solutions linéaires :
$f(x)=-x$
$f(x)=\lambda x$
où $\lambda^3-2\lambda^2+2\lambda-2=0$ ( $\lambda \approx 1,54$ )

Je ne vois pas comment raisonner dans le cas général

scarta · #4

S'il s'agit d'une application linéaire, j'ai bien 2 réponses qui me viennent à l'esprit
$f(x) = -x[/latex] et [latex]f(x) = \frac{2-\frac{2}{^3\sqrt{17+3\sqrt{33}}}+^3\sqrt{17+3\sqrt{33}}}{3}x$

franck9525 · #5

Je ne trouve pas de réponse claire sur le net et mes souvenirs matheux sont approximatifs, est-ce que la fonction "rond" signifie bien: $fof(x) = f(f(x)) ?$

irmo322 · #6

Je sèche pas mal...
On peut trouver f de la forme f(x)=a.x avec a vérifiant a^4-a^3=2.
ça donne 2 solutions a1=-1 et un a2:nombre entre 1,5 et 1,6.

Sinon, je ne sais pas s'il y a d'autres fonctions vérifiant l'équation de ton énoncé.
En tout cas une telle fonction doit être nulle en zéro.

Edit:
Après réflexion, il y a une infinité de fonctions qui vérifient ton équation.
Soit I un intervalle de R de la forme [-r,r] ou ]-r,r[ avec r dans [0,infini].
Alors la fonction f:R->R telle que:
f(x)= -x si x dans I
et f(x)= a2.x sinon,
vérifie l'équation.

Re-édit:
On peut même avoir des fonctions plutôt étranges comme solution:
par exemple si on prend f telle que:
f(x)=a2.x si x appartient à Q(a2) (le corps engendré par a2)
et f(x)=-x sinon.

D'où vient ton énoncé?

halloduda · #7

Si $f(x)=k*x$
$fof(x)=k^2*x fofof(x)=k^3*x fofofof(x)=k^4x=(k^3+2)*x$
avec k = racine de l'équation $k^4-k^3-2=0$

Il y a 2 racines réelles (Wolfram)
$k=-1 k\approx1.54369$
Je n'ai pas démontré que c'étaient les seules solutions possibles pour $f(x)$ .

debutant1 · #8

pour l'instant
supposons qu'il y aun élément neutre n

fofofof(n)=n=fofof(n)=+2n=n+2n

soit n= 3n
n=0 et f(0)=0

étudions f(x)= ax
fofofof(x)=a^4 * x =fofof(x)+ ax =a^3 * x +2x

a^4 *x - a^3 * x -2 =0

si b racine de l"équation donne
fx)= b*x donne des fonctions demandées

a= -1 est une solution
f(x)= -x est donc une fonction demandée

(a+1) (a^3 -2*a^2 + 2* a -2) =0
il faut résoudre l équation

X^3 - 2*X^2 + 2* X - 2 =0

gasole · #9

En supposant (pour voir) que $f$ soit linéaire (de la forme $ax+b$ ) à cause du $+2x$ , et en injectant ça dans l'équation $f\circ f\circ f\circ f(x)=f\circ f\circ f(x)+2x$ , on doit résoudre :
[TeX]1) a^4-a^3-2=0[/latex] dont une racine évidente est [latex]\fbox{-1}[/latex]. Une autre, moins évidente
est $\fbox{\frac{1}{3}\left(2 - \frac{2}{\sqrt[3]{17+3\sqrt 33}} + \sqrt[3]{17+3\sqrt 33}\right)}[/TeX] et 2) [latex]ba^3 = 0$ ( $a=0$ ne mène nulle part) donne $b=0$ .

ce qui fournit deux solutions $f(x)=ax$ suivant la valeur de $a$ choisie.

toni77 · #10

j'en ai trouvé déjà deux :
f(x)=ax, avec a une des deux solutions de l'équation x^4-x^3-2=0 (-1 en fait partie)

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#1 - 09-02-2011 16:54:00

Ecore avec les applications !

#0 Pub

#2 - 09-02-2011 18:04:37

ncore avec les applications !

#3 - 09-02-2011 18:28:12

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#4 - 09-02-2011 21:32:40

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#5 - 09-02-2011 23:17:59

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#6 - 09-02-2011 23:58:25

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#7 - 10-02-2011 07:52:14

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#8 - 10-02-2011 08:52:50

Encore avec les appllications !

#9 - 11-02-2011 20:25:01

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#10 - 12-02-2011 14:00:03

Ecnore avec les applications !

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