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 #1 - 09-02-2011 16:54:00

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Encore avec les appplications !

[TeX]f[/latex] est une application de : [latex]R->R[/latex] telle que:
pour tout [latex]x[/latex] de [latex]R[/latex] : [latex](fofofof)(x)=(fofof)(x)+2x[/TeX]
determinez [latex]f(x)[/latex] en fonction de [latex]x[/latex] .
Bonne chance !



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 09-02-2011 18:04:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Encore avec les appliications !

F(x)=-x est une solution , mais ça m'étonnerais que ce soit la seule smile

Vasimolo

 #3 - 09-02-2011 18:28:12

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Encore avc les applications !

J'ai cherché les solutions linéaires :
[TeX]f(x)=-x[/TeX]
[TeX]f(x)=\lambda x[/TeX]
où [latex]\lambda^3-2\lambda^2+2\lambda-2=0[/latex] ([latex]\lambda \approx 1,54[/latex])

Je ne vois pas comment raisonner dans le cas général sad

 #4 - 09-02-2011 21:32:40

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

encore avec leq applications !

S'il s'agit d'une application linéaire, j'ai bien 2 réponses qui me viennent à l'esprit
[TeX]f(x) = -x[/latex] et
[latex]f(x) = \frac{2-\frac{2}{^3\sqrt{17+3\sqrt{33}}}+^3\sqrt{17+3\sqrt{33}}}{3}x[/TeX]

 #5 - 09-02-2011 23:17:59

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Enocre avec les applications !

Je ne trouve pas de réponse claire sur le net et mes souvenirs matheux sont approximatifs, est-ce que la fonction "rond" signifie bien: [latex]fof(x) = f(f(x)) ?[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 09-02-2011 23:58:25

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

rncore avec les applications !

Je sèche pas mal...
On peut trouver f de la forme f(x)=a.x avec a vérifiant a^4-a^3=2.
ça donne 2 solutions a1=-1 et un a2:nombre entre 1,5 et 1,6.

Sinon, je ne sais pas s'il y a d'autres fonctions vérifiant l'équation de ton énoncé.
En tout cas une telle fonction doit être nulle en zéro.

Edit:
Après réflexion, il y a une infinité de fonctions qui vérifient ton équation.
Soit I un intervalle de R de la forme [-r,r] ou ]-r,r[ avec r dans [0,infini].
Alors la fonction f:R->R telle que:
f(x)= -x si x dans I
et f(x)= a2.x sinon,
vérifie l'équation.

Re-édit:
On peut même avoir des fonctions plutôt étranges comme solution:
par exemple si on prend f telle que:
f(x)=a2.x si x appartient à Q(a2) (le corps engendré par a2)
et f(x)=-x sinon.

D'où vient ton énoncé?

 #7 - 10-02-2011 07:52:14

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Encore avec les pplications !

Si [latex]f(x)=k*x[/latex]
[TeX]
fof(x)=k^2*x
fofof(x)=k^3*x
fofofof(x)=k^4x=(k^3+2)*x[/TeX]
avec k = racine de l'équation [latex]k^4-k^3-2=0[/latex]

Il y a 2 racines réelles (Wolfram)
[TeX]k=-1
k\approx1.54369[/TeX]
Je n'ai pas démontré que c'étaient les seules solutions possibles pour [latex]f(x)[/latex].

 #8 - 10-02-2011 08:52:50

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Enccore avec les applications !

pour l'instant
supposons qu'il y aun élément neutre n

fofofof(n)=n=fofof(n)=+2n=n+2n

soit n= 3n
n=0 et f(0)=0

étudions f(x)= ax
fofofof(x)=a^4  * x =fofof(x)+ ax =a^3 * x +2x

a^4 *x - a^3 * x -2 =0

si b racine de l"équation donne
fx)= b*x donne des fonctions demandées

a= -1 est une solution
f(x)= -x est donc une fonction demandée

(a+1) (a^3 -2*a^2 + 2* a  -2) =0
il faut résoudre l équation

X^3 - 2*X^2 + 2* X  -  2 =0

 #9 - 11-02-2011 20:25:01

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

encore avec les appkications !

En supposant (pour voir) que [latex]f[/latex] soit linéaire (de la forme [latex]ax+b[/latex]) à cause du [latex]+2x[/latex], et en injectant ça dans l'équation [latex]f\circ f\circ f\circ f(x)=f\circ f\circ f(x)+2x[/latex], on doit résoudre :
[TeX]1) a^4-a^3-2=0[/latex] dont une racine évidente est [latex]\fbox{-1}[/latex]. Une autre, moins évidente wink
est [latex]\fbox{\frac{1}{3}\left(2 - \frac{2}{\sqrt[3]{17+3\sqrt 33}} + \sqrt[3]{17+3\sqrt 33}\right)}[/TeX]
et 2) [latex]ba^3 = 0[/latex] ([latex]a=0[/latex] ne mène nulle part) donne [latex]b=0[/latex].

ce qui fournit deux solutions [latex]f(x)=ax[/latex] suivant la valeur de [latex]a[/latex] choisie.

 #10 - 12-02-2011 14:00:03

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

encore avec les applicztions !

j'en ai trouvé déjà deux :
f(x)=ax, avec a une des deux solutions de l'équation x^4-x^3-2=0 (-1 en fait partie)

 

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