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 #1 - 21-02-2011 18:23:06

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3363
Lieu: 94110

Quelle est la suite ? (Répponse finale).

Quelle est la 15ème valeur de cette suite ?
0, 1, 1, 5, 11, 37, 103, 317, 935, 2821, 8431, 25325, 75911, 227797, ...
(le premier terme étant la valeur 0).

Tous les jours j'ajouterai un indice et un terme supplémentaire à cette suite.
N'hésitez pas à me faire part de vos réflexions ou de vos questions, même si vous n'avez pas réussi à valider la case réponse.

Spoiler : [Afficher le message] Merci à toni77 et à gwen27 pour leur aide involontaire dans la définition de cette énigme.

Spoiler : [Afficher le message] Les différents termes peuvent être trouvés grâce à cette formule :
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Suite_deplacement.gif
Merci à Memento pour me l'avoir indiquée.


Spoiler : [Afficher le message] ... mais pour ma part je préfère utiliser 2 formules toutes simples, l'une pour les termes pairs, l'autre pour les termes impairs.

Spoiler : [Afficher le message] La case 1 a un certain rapport avec les termes impairs, la case 2 avec les termes pairs (ou bien le contraire, cela dépend d'où on commence la numérotation !).
                   http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Suite_deplacement.jpg


Spoiler : [Afficher le message] La figure précédente illustre l'énigme http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8203  de tony77.


 
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 #2 - 21-02-2011 19:25:50

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

Quelle est la suite ? (éponse finale).

Code:

0,1,1,5,11,37,103,317,935,2821,8431,25325,75911,227797,683263,2049917,6149495,18448741,55345711,166037645,498111911,...

Pour le 15éme nombre, c'est donc 683263.

J'ai finalement trouvé la formule, il s'agit de:
[TeX]\ u(0)=0
\ u(n) = \left\{
\begin{array}
3*u(n-1)-2^{n/2} & \quad \mbox{si $n$ est pair}\\
3*u(n-1)+2^{(n-1)/2} & \quad \mbox{si $n$ est impair}\\ \end{array} \right. \[/TeX]
Autrement dit:

Code:

0 0
1 1
2 1=3*1-2
3 5=3*1+2
4 11=3*5-4
5 37=3*11+4
6 103=3*37-8
7 317=3*103+8

 #3 - 21-02-2011 20:31:33

guilhem
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 60
Lieu: sur Tatouïne, chez Luke

quelle esy la suite ? (réponse finale).

voila l'algo de la suite

Code:

print<0>
print<1>
print<1>
print<5>
print<11>
print<37>
print<103>
print<317>
print<935>
print<2821>
End

... Ok je sort
--------->

 #4 - 21-02-2011 20:35:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

Quelle est la suite ? (Réponse fiale).

Il n'y a pas de quoi ! Il ne me reste plus qu'à comprendre pourquoi ce merci...

 #5 - 21-02-2011 22:39:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3363
Lieu: 94110

quelle est la suite ? (réponse finake).

Bravo à Memento qui a validé le bon résultat ; il ne lui reste plus qu'à expliquer comment ...

 #6 - 22-02-2011 03:03:01

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

quelle est la suiye ? (réponse finale).

693263 !
Chaque nombre est le triple du précédent, auquel on ajoute ou retranche alternativement les puissances de 2 :
0
3x1-2=1
3x1+2=5
3x5-4=11
3x11+4=37
3x37-8=103
3x103+8=317
3x317-16=935
3x935+16=2821
3x2821-32=8431
3x8431+32=25325
3x25325-64=75911
3x75911+64=227797
3x227797-128=683263

Peut-on exprimer les termes en fonction de n ? lol

EDIT
Après quelques calculs sur les suites des termes pairs et impairs, grace a la relation de récurrence ci dessus, je trouve :
[TeX]a_{2n}=\frac{3^{2n}-2^n}7
a_{2n+1}=\frac{3^{2n+1}+2^{n+2}}7[/TeX]
Le terme qui nous intéresse est le 15ème, soit [latex]a_{14}[/latex]

 #7 - 22-02-2011 10:07:07

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

quekle est la suite ? (réponse finale).

0, 1, 1, 5, 11, 37, 103, 317, 935, 2821, ...

Je trouve:
[TeX]u_0=0, u_1=1[/TeX][TeX]u_{2n}=2*u_{2n-1}+3*u_{2n-2}-2^{n-1}[/TeX][TeX]u_{2n+1}=2*u_{2n}+3*u_{2n-1}[/TeX]
Je vérifie:
[TeX]u_2=2*1+3*0-1=1[/latex]: OK
[latex]u_3=2*1+3*1=5[/latex]: OK
[latex]u_4=2*5+3*1-2=11[/latex]: OK
[latex]u_5=2*11+3*5=37[/latex]: OK
[latex]u_6=2*37+3*11-4=103[/latex]: OK
[latex]u_7=2*103+3*37=317[/latex]: OK
[latex]u_8=2*317+3*103-8=935[/latex]: OK
[latex]u_9=2*935+3*317=2821[/latex]: OK

[latex]u_{10}=2*2821+3*935-16=8431[/TeX]
Je propose donc 8431 qui n'est pas validé.
Ma formule valide pourtant 8 termes successifs, est relativement simple.

 #8 - 22-02-2011 12:31:48

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3363
Lieu: 94110

quelle est la quite ? (réponse finale).

Bravo à Memento big_smile qui me fourni une formule plus simple que celle qu'il m'avait indiquée au départ (et que j'ai reproduite en indice 2).

Bravo à LOOping big_smile qui reprend la même formule que la 2ème de Memento.

Presque bravo à Rivas wink qui propose une 3ème formule, mais qui n'a pas bien lu l'énoncé... Le contexte sera mieux défini dans un prochain indice.

Pour ma part, je pensais à une 4ème formulation, valable à partir du 3ème terme et qui me parait tout aussi simple ...

gwen27 : ton aide date du 6-2-11 ; je serai plus explicite dans un indice à venir.

 #9 - 22-02-2011 21:59:35

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3363
Lieu: 94110

Quelle ets la suite ? (Réponse finale).

Re-Bravo à LOOping big_smile qui trouve une 4ème formulation pour la même suite !


J'ai ajouté un indice et un onzième terme à la suite.

 #10 - 23-02-2011 09:46:33

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Qelle est la suite ? (Réponse finale).

Merci pour ton post Jackv, je n'ai en effet pas vu que l'on cherchait le 15ème terme.

Je continue donc:
[TeX]u_{11}=2*8431+3*2821=25325[/TeX]
[TeX]u_{12}=2*25325+3*8431-32=75911[/TeX]
[TeX]u_{13}=2*75911+3*25325=227797[/TeX]
[TeX]u_{14}=2*227797+3*75911-64=683263[/TeX]
Le 15ème terme est donc 683263, ce qui est validé par la case réponse.

Du coup, j'en profite pour donner une formule (par récurrence) qui fusionne les rang pairs et impairs:
[TeX]u_{n+2}=2*u_{n+1}+3*u_n-(1+(-1)^n)*2^{\dfrac{n}2-1}[/TeX]
C'est assez simple: le dernier terme à un coefficient qui vaut 0 pour les n impairs et 2 pour les n pairs, il suffit donc d'y ajouter la puissance de 2 que l'on désire derrière.

 #11 - 23-02-2011 10:05:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

Quelle est la suite ? ((Réponse finale).

683263

Aucun intérêt quand on a la formule.

 #12 - 23-02-2011 11:23:01

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3363
Lieu: 94110

Quelle est la site ? (Réponse finale).

Bravo sans réserve à rivas big_smile qui en profite pour donner une 5ème formulation !
Et bravo aussi à halloduda smile qui trouve la réponse en contournant un peu le problème.

J'ai ajouté un nouvel indice et le 12ème terme de la suite.

 #13 - 23-02-2011 15:06:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

Quelle est la suite ?? (Réponse finale).

OK, compris, je trouve :

0, 1, 1, 5, 11, 37, 103, 317, 935, 2821, 8431 , 25325, 75911, 227797, 683263

(tu as du faire une erreur d'un rang dans l'indice) Non mais c'est pas fini d'éditer pendant que je poste !

Pour les rangs pairs:  Sn = S(n-1) + 6 S(n-2)
Pour les rangs impairs : Sn = 9 S(n-2)  - 2 ^(n/2)  Euh un petit bug dans la formule je crois mais c'est l'esprit

 #14 - 23-02-2011 19:27:52

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Quelle est la suite ? (Réponse final).

Bravo aussi à Gwen big_smile

 #15 - 24-02-2011 09:54:14

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Quelle est la sute ? (Réponse finale).

J'ai ajouté une 13ème valeur et un nouvel indice.

 #16 - 25-02-2011 16:01:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3363
Lieu: 94110

Quellle est la suite ? (Réponse finale).

J'ai ajouté le 14ème et dernier terme.

 #17 - 25-02-2011 22:53:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

Quelle est la suite (Réponse finale).

Cette suite fait référence au nombre de chances pour qu'un pion se déplaçant
sur une grille partielle occupe une position donnée au bout de N déplacements à partir de la case centrale de la grille.
La figure suivante illustre ces chances pour les coups de 1 à 9 : c'est le rapport entre le nombre en rouge et le dénominateur situé sous chaque dessin ; à chaque coup, ce dénominateur est multiplié par 3.

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Deplacement_grille.jpg

Il est aisé de voir que le numérateur vaut :
- pour un coup pair : [latex]u_n = 6 * u_{n-2} + u_{n-1}[/latex]

- pour un coup impair : [latex]u_n = 3 * u_{n-2} +2 * u_{n-1}[/latex]

Le 15ème terme de la suite (correspondant au numérateur du 14ème déplacement) vaut donc 683263.

Encore un grand bravo à tous ceux qui ont participé et ont réalisé globalement un sans faute, en trouvant presque à chaque fois une manière différente de l'exprimer.

 

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(1) — Quel est la suite de 4 (1) — Quelle est la particularite de cette suite : 5 2 8 9 4 7 6 3 1 0 (1) — Soluce enigme quelle est la particularite de cette suite (1) — Quelle est la particularitede cette suite 528947 (1) — 5289476310 la particularite de la suite (1) — Quel est la site (1) — 5289 enigme (1) — Quelle est la logique de cette serie ? 5289476310 (1) — Suite logique de 5289476310 (1) — Quelle est la particularite de cette suite 5289 (1) — Soluce enigme suite 1a10 (1) — Enigme illustree (1) — Quel est la suite des (1) — 1 a 10 particularite suite (1) — Quelle est la particularite de cette suite : 5 2 8 9 4 7 61 0 (1) — Particularite 528947 (1) — Quelle est la particularite de cette suite 5289476310 (1) — Algo allumettes (1) — Quelle est la partucularite de cette suite 5289 (1) — Quelle est la particularite de cette suite : 5 2 8 9 4 7 6 3 1 0 plus explication (1) — Solution enigme particularite suite chiffres 5289476310 (1) — Cave aux enigmes particularite de cette suite 5289 (1) — Quelle est la particularite de cette suite : 5 2 8 9 4 7 6 3 1 (1) — Quel est la paticularite de cette suite:5289476310 (1) — Quel est la particularite de cette suite 5 (1) — Enigme quelle est la particularite de cette suite (1) — Reponse enigme 5289476310 (1) — Quelle est la suit suivant (1) — Quelle est la particularite de cette suite s 2 (1) — Particularite de la suite 5 2 8 9 (1) — Cave au enigme etrange suite (1) — Particularite de cette suite 5 (1) — La particularite de 5-2-8-9-4-7-6-3-1-0 (1) — Trouver le plus grand nombre en deplacant 2 allumettes (1) — Quelle est la suite des nombres1.11.132.1716 (1) — Quelle est la particularite de cette suite 5 2 8 9 4 (1) — Suite logique figures (1) — La particularite de la suite (1) — Particularire de la suite 528 (1) — Enigme quelle est la particularite de cette suite 5289476310 (1) — Quelle est la particularite de cette suite : 5289476310 solution (1) — Quel est la suite de 24 (1) — Suite 528947631o (1) — Quel est la particularite 5289 (1) — Quelle est la particularite de cette suit 5289476310 (1) — Enigme de 1 a 10 5289 (1) — La particularite de cette suite 5 2 8 9 4 7 6 3 1 0 (1) —

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