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 #1 - 21-02-2011 18:23:06

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

qielle est la suite ? (réponse finale).

Quelle est la 15ème valeur de cette suite ?
0, 1, 1, 5, 11, 37, 103, 317, 935, 2821, 8431, 25325, 75911, 227797, ...
(le premier terme étant la valeur 0).

Tous les jours j'ajouterai un indice et un terme supplémentaire à cette suite.
N'hésitez pas à me faire part de vos réflexions ou de vos questions, même si vous n'avez pas réussi à valider la case réponse.

Spoiler : [Afficher le message] Merci à toni77 et à gwen27 pour leur aide involontaire dans la définition de cette énigme.

Spoiler : [Afficher le message] Les différents termes peuvent être trouvés grâce à cette formule :
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Suite_deplacement.gif
Merci à Memento pour me l'avoir indiquée.


Spoiler : [Afficher le message] ... mais pour ma part je préfère utiliser 2 formules toutes simples, l'une pour les termes pairs, l'autre pour les termes impairs.

Spoiler : [Afficher le message] La case 1 a un certain rapport avec les termes impairs, la case 2 avec les termes pairs (ou bien le contraire, cela dépend d'où on commence la numérotation !).
                   http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Suite_deplacement.jpg


Spoiler : [Afficher le message] La figure précédente illustre l'énigme http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8203  de tony77.



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 #2 - 21-02-2011 19:25:50

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

quelle est la suote ? (réponse finale).

Code:

0,1,1,5,11,37,103,317,935,2821,8431,25325,75911,227797,683263,2049917,6149495,18448741,55345711,166037645,498111911,...

Pour le 15éme nombre, c'est donc 683263.

J'ai finalement trouvé la formule, il s'agit de:
[TeX]\ u(0)=0
\ u(n) = \left\{
\begin{array}
3*u(n-1)-2^{n/2} & \quad \mbox{si $n$ est pair}\\
3*u(n-1)+2^{(n-1)/2} & \quad \mbox{si $n$ est impair}\\ \end{array} \right. \[/TeX]
Autrement dit:

Code:

0 0
1 1
2 1=3*1-2
3 5=3*1+2
4 11=3*5-4
5 37=3*11+4
6 103=3*37-8
7 317=3*103+8

 #3 - 21-02-2011 20:31:33

guilhem
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 60
Lieu: sur Tatouïne, chez Luke

Quelle est la uite ? (Réponse finale).

voila l'algo de la suite

Code:

print<0>
print<1>
print<1>
print<5>
print<11>
print<37>
print<103>
print<317>
print<935>
print<2821>
End

... Ok je sort
--------->

 #4 - 21-02-2011 20:35:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

quelle est la suite ? (répinse finale).

Il n'y a pas de quoi ! Il ne me reste plus qu'à comprendre pourquoi ce merci...

 #5 - 21-02-2011 22:39:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Quelle est la suite ? (Réponse fianle).

Bravo à Memento qui a validé le bon résultat ; il ne lui reste plus qu'à expliquer comment ...

 #6 - 22-02-2011 03:03:01

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

quelke est la suite ? (réponse finale).

693263 !
Chaque nombre est le triple du précédent, auquel on ajoute ou retranche alternativement les puissances de 2 :
0
3x1-2=1
3x1+2=5
3x5-4=11
3x11+4=37
3x37-8=103
3x103+8=317
3x317-16=935
3x935+16=2821
3x2821-32=8431
3x8431+32=25325
3x25325-64=75911
3x75911+64=227797
3x227797-128=683263

Peut-on exprimer les termes en fonction de n ? lol

EDIT
Après quelques calculs sur les suites des termes pairs et impairs, grace a la relation de récurrence ci dessus, je trouve :
[TeX]a_{2n}=\frac{3^{2n}-2^n}7
a_{2n+1}=\frac{3^{2n+1}+2^{n+2}}7[/TeX]
Le terme qui nous intéresse est le 15ème, soit [latex]a_{14}[/latex]

 #7 - 22-02-2011 10:07:07

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Quelle est la suite ?(Réponse finale).

0, 1, 1, 5, 11, 37, 103, 317, 935, 2821, ...

Je trouve:
[TeX]u_0=0, u_1=1[/TeX][TeX]u_{2n}=2*u_{2n-1}+3*u_{2n-2}-2^{n-1}[/TeX][TeX]u_{2n+1}=2*u_{2n}+3*u_{2n-1}[/TeX]
Je vérifie:
[TeX]u_2=2*1+3*0-1=1[/latex]: OK
[latex]u_3=2*1+3*1=5[/latex]: OK
[latex]u_4=2*5+3*1-2=11[/latex]: OK
[latex]u_5=2*11+3*5=37[/latex]: OK
[latex]u_6=2*37+3*11-4=103[/latex]: OK
[latex]u_7=2*103+3*37=317[/latex]: OK
[latex]u_8=2*317+3*103-8=935[/latex]: OK
[latex]u_9=2*935+3*317=2821[/latex]: OK

[latex]u_{10}=2*2821+3*935-16=8431[/TeX]
Je propose donc 8431 qui n'est pas validé.
Ma formule valide pourtant 8 termes successifs, est relativement simple.

 #8 - 22-02-2011 12:31:48

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

quelle est la quite ? (réponse finale).

Bravo à Memento big_smile qui me fourni une formule plus simple que celle qu'il m'avait indiquée au départ (et que j'ai reproduite en indice 2).

Bravo à LOOping big_smile qui reprend la même formule que la 2ème de Memento.

Presque bravo à Rivas wink qui propose une 3ème formule, mais qui n'a pas bien lu l'énoncé... Le contexte sera mieux défini dans un prochain indice.

Pour ma part, je pensais à une 4ème formulation, valable à partir du 3ème terme et qui me parait tout aussi simple ...

gwen27 : ton aide date du 6-2-11 ; je serai plus explicite dans un indice à venir.

 #9 - 22-02-2011 21:59:35

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Quelle est la suite ? (Réponse finaale).

Re-Bravo à LOOping big_smile qui trouve une 4ème formulation pour la même suite !


J'ai ajouté un indice et un onzième terme à la suite.

 #10 - 23-02-2011 09:46:33

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Quelle est la suite ? (Réposne finale).

Merci pour ton post Jackv, je n'ai en effet pas vu que l'on cherchait le 15ème terme.

Je continue donc:
[TeX]u_{11}=2*8431+3*2821=25325[/TeX]
[TeX]u_{12}=2*25325+3*8431-32=75911[/TeX]
[TeX]u_{13}=2*75911+3*25325=227797[/TeX]
[TeX]u_{14}=2*227797+3*75911-64=683263[/TeX]
Le 15ème terme est donc 683263, ce qui est validé par la case réponse.

Du coup, j'en profite pour donner une formule (par récurrence) qui fusionne les rang pairs et impairs:
[TeX]u_{n+2}=2*u_{n+1}+3*u_n-(1+(-1)^n)*2^{\dfrac{n}2-1}[/TeX]
C'est assez simple: le dernier terme à un coefficient qui vaut 0 pour les n impairs et 2 pour les n pairs, il suffit donc d'y ajouter la puissance de 2 que l'on désire derrière.

 #11 - 23-02-2011 10:05:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

quelle est la suite ? (réponse fonale).

683263

Aucun intérêt quand on a la formule.

 #12 - 23-02-2011 11:23:01

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Quellle est la suite ? (Réponse finale).

Bravo sans réserve à rivas big_smile qui en profite pour donner une 5ème formulation !
Et bravo aussi à halloduda smile qui trouve la réponse en contournant un peu le problème.

J'ai ajouté un nouvel indice et le 12ème terme de la suite.

 #13 - 23-02-2011 15:06:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Quelle est la suite ? (Réposne finale).

OK, compris, je trouve :

0, 1, 1, 5, 11, 37, 103, 317, 935, 2821, 8431 , 25325, 75911, 227797, 683263

(tu as du faire une erreur d'un rang dans l'indice) Non mais c'est pas fini d'éditer pendant que je poste !

Pour les rangs pairs:  Sn = S(n-1) + 6 S(n-2)
Pour les rangs impairs : Sn = 9 S(n-2)  - 2 ^(n/2)  Euh un petit bug dans la formule je crois mais c'est l'esprit

 #14 - 23-02-2011 19:27:52

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

Quelle ets la suite ? (Réponse finale).

Bravo aussi à Gwen big_smile

 #15 - 24-02-2011 09:54:14

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Qeulle est la suite ? (Réponse finale).

J'ai ajouté une 13ème valeur et un nouvel indice.

 #16 - 25-02-2011 16:01:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Quelle est la suite ? (Répone finale).

J'ai ajouté le 14ème et dernier terme.

 #17 - 25-02-2011 22:53:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

Quelle est la suite ? (Réponse fniale).

Cette suite fait référence au nombre de chances pour qu'un pion se déplaçant
sur une grille partielle occupe une position donnée au bout de N déplacements à partir de la case centrale de la grille.
La figure suivante illustre ces chances pour les coups de 1 à 9 : c'est le rapport entre le nombre en rouge et le dénominateur situé sous chaque dessin ; à chaque coup, ce dénominateur est multiplié par 3.

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Deplacement_grille.jpg

Il est aisé de voir que le numérateur vaut :
- pour un coup pair : [latex]u_n = 6 * u_{n-2} + u_{n-1}[/latex]

- pour un coup impair : [latex]u_n = 3 * u_{n-2} +2 * u_{n-1}[/latex]

Le 15ème terme de la suite (correspondant au numérateur du 14ème déplacement) vaut donc 683263.

Encore un grand bravo à tous ceux qui ont participé et ont réalisé globalement un sans faute, en trouvant presque à chaque fois une manière différente de l'exprimer.

 

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(1) — Quel est la suite de 4 (1) — Quel est la site (1) — 5289 enigme (1) — 5 2 8 particularite de cette suite9 4 7 6 3 1 0 quelle est la par (1) — Cave aux enigmes particularite de cette suite 5289 (1) — Quel est la suite des (1) — Quelle est la particularite de cette suite 5289 (1) — Soluce enigme suite 1a10 (1) — 1 a 10 particularite suite (1) — Quelle est la particularite de cette suite 5289476310 (1) — Quelle est la suit suivant (1) — Quelle est la particularite de cette suite : 5 2 8 9 4 7 61 0 (1) — Particularite 528947 (1) — Enigme illustree (1) — Algo allumettes (1) — Quelle est la particularite de cette suite : 5 2 8 9 4 7 6 3 1 (1) — Quelle est la particularite de cette suite : 5 2 8 9 4 7 6 3 1 0 plus explication (1) — Solution enigme particularite suite chiffres 5289476310 (1) — Quel est la paticularite de cette suite:5289476310 (1) — Reponse enigme 5289476310 (1) — Quelle est la partucularite de cette suite 5289 (1) — Quel est la particularite de cette suite 5 (1) — Enigme quelle est la particularite de cette suite (1) — Quelle est la particularite de cette suite s 2 (1) — Suite logique de 5289476310 (1) — Quel est la particularite de cztte suite 5 2 8 (1) — Quel est la suite de 24 (1) — Particularite de la suite 5 2 8 9 (1) — La particularite de 5-2-8-9-4-7-6-3-1-0 (1) — Trouver le plus grand nombre en deplacant 2 allumettes (1) — Quelle est la suite des nombres1.11.132.1716 (1) — Quelle est la particularite de cette suite 5 2 8 9 4 (1) — Suite logique figures (1) — Cave au enigme etrange suite (1) — Particularite de cette suite 5 (1) — Suite 528947631o (1) — Enigme quelle est la particularite de cette suite 5289476310 (1) — La particularite de cette suite 5 2 8 9 4 7 6 3 1 0 (1) — Quel est la particularite 5289 (1) — Quelle est la particularite de cette suit 5289476310 (1) — La particularite de la suite (1) — Particularire de la suite 528 (1) —

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