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#1 - 12-02-2011 09:07:31
- halloduda
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ette suite converge
L'expression [latex]\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{x=1}^n \frac {[x*ent({\frac n x})]} {n^2}[/latex] a une valeur remarquable. Quelle est-elle ? ([latex]ent[/latex]="partie entière de")
Formule corrigée après erreur, merci toni77 Spoiler : [Afficher le message] Je n'ai pas pu trouver le résultat sur internet.
#2 - 12-02-2011 09:42:53
- toni77
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Cette suit econverge
La limite vaut [latex]+\infty[/latex] ! [TeX]x\geq 1,\quad Ent(\frac{n}{x})\geq 1[/TeX] Donc le terme général est supérieur à 1, et S(n) est supérieur à n, qui tend vers l'infini...
#3 - 12-02-2011 09:45:34
- irmo322
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Cette suite convergge
On a l'égalité suivante: [TeX]\sum_{x=1}^{n}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}=\sum_{i=1}^{+\infty}\bigg(\sum_{x=ent(\frac{n}{i+1})+1}^{ent(\frac{n}{i})}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}\bigg) [/TeX] Ceci permet de contrôler la valeur de [latex]ent(\frac{n}{x})[/latex].
On a: [TeX]\bigg(\sum_{x=ent(\frac{n}{i+1})+1}^{ent(\frac{n}{i})}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}\bigg) =\bigg(\sum_{x=ent(\frac{n}{i+1})+1}^{ent(\frac{n}{i})}\frac{x.i}{n^2}\bigg) =\frac{i}{n^2}\bigg(\sum_{x=ent(\frac{n}{i+1})+1}^{ent(\frac{n}{i})}x\bigg) =\frac{i}{n^2}\bigg(\frac{ent(\frac{n}{i+1}+1)+ent(\frac{n}{i})}{2}\bigg)(ent(\frac{n}{i})-ent(\frac{n}{i+1})) \rightarrow_{n\rightarrow+\infty}\frac{2i+1}{2i(i+1)^2}=\frac{1}{2(i+1)^2}+\frac{1}{2i(i+1)} [/TeX] Ainsi: [TeX]\sum_{x=1}^{n}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}\rightarrow_{n\rightarrow+\infty}\sum_{i=1}^{+\infty}\bigg(\frac{1}{2(i+1)^2}+\frac{1}{2i(i+1)}\bigg) [/TeX] Pour justifier de cette convergence, on peut utiliser un théorème de convergence dominée.
Sinon on calcule pas trop difficilement les 2 dernières sommes: [TeX]\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{2(i+1)^2}=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2} [/TeX] et: [TeX]\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{2i(i+1)}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{+\infty}\bigg(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\bigg)=\frac{1}{2} [/TeX] Donc le résultat est: [TeX]\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{x=1}^{n}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}=\frac{\pi^2}{12} [/TeX] Y a-t-il plus court comme démo?
#4 - 12-02-2011 11:44:37
- mitsuidewi
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cette suite concerge
Bon il semble que la réponse soit Pi²/12 mais ca ne fonctionne pas dans la case.
#5 - 12-02-2011 11:55:55
- halloduda
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Cette suite conevrge
mitsuidewi 
irmo322 
#6 - 12-02-2011 12:53:21
- toni77
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Cette suiite converge
[TeX] S_n=\sum\limits_{k=1}^n\quad\quad\sum\limits_{x=Ent(\frac{n}{k+1})+1}^{Ent(\frac{n}{k})}\quad\frac{xEnt(\frac{n}{x})}{n^2}\\ \\ S_n=\sum\limits_{k=1}^n\quad\quad\sum\limits_{x=Ent(\frac{n}{k+1})+1}^{Ent(\frac{n}{k})}\quad\frac{xk}{n^2}\\ \\ S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\left(\frac{Ent(\frac{n}{k})(Ent(\frac{n}{k})+1)}{2n^2}-\frac{Ent(\frac{n}{k+1})(Ent(\frac{n}{k+1})+1)}{2n^2}\right)\\ \\ S_n=\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{Ent(\frac{n}{k})(Ent(\frac{n}{k})+1)}{2n^2}\right)-n\frac{Ent(\frac{n}{n+1})(Ent(\frac{n}{n+1})+1)}{2n^2}\\ \\ S_n=\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{Ent(\frac{n}{k})(Ent(\frac{n}{k})+1)}{2n^2}\right)-\frac{Ent(\frac{n}{n+1})(Ent(\frac{n}{n+1})+1)}{2n}\\ \\ [/TeX] Or : [TeX]\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{Ent(\frac{n}{n+1})(Ent(\frac{n}{n+1})+1)}{2n}=0[/latex], car [latex]\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}Ent(\frac{n}{n+1})=1[/TeX] Donc, [latex]\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}S_n=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{Ent(\frac{n}{k})(Ent(\frac{n}{k})+1)}{2n^2}[/latex]
De plus, pour n assez grand, on a [latex]Ent(\frac{n}{k})\approx \frac{n}{k}[/latex]
Donc, sans détailler plus, on a : [TeX]\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}S_n=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{2k^2}=\fbox{\frac{\pi^2}{12}^}[/TeX]
#7 - 12-02-2011 17:31:55
- fix33
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cette siite converge
J'avais envie de dire 1, mais après réflexion : - pour x=1 : le numérateur vaut n - pour x=2 : il vaut n ou n-1 - pour x=3 : il vaut n ou n-1 ou n-2 ... - pour x=k : il vaut n ou n-1 ou n-2 ou ... n-k+1 ... - pour x=n : il vaut n
Donc le numérateur devrait se moyenner sur n(n+1)/2.
D'où une limite qui devrait tendre vers 1/2, non ? 
Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
#8 - 12-02-2011 18:25:16
- gasole
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cette suiye converge
Il doit y avoir un truc que je ne sais pas (ou plus) et qui me manque, j'arrive pas à encadrer mieux qu'entre 1/2 et 1. J'ai amélioré à une borne sup de 1/2+3/8 mais c'est tout, il me manque une estimation du nombre de diviseurs de n... ou autre chose. Trop compliqué pour moi 
#9 - 12-02-2011 18:46:12
- L00ping007
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Cette suite converg
La limite cherchée est [latex]\frac{\pi^2}{12}[/latex]
J'introduis pour ça la fonction f suivante continue sur [0;1]: [TeX]f : x \rightarrow x\lfloor {\frac1x}\rfloor [/latex] pour x > 0 [latex]f(0)=1[/TeX] Je remarque ensuite que : [TeX]S(n)=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^nx\lfloor \frac nx\rfloor = \frac1n\left ( \sum_{k=0}^nf(k) - 1 \right )[/TeX] C'est une somme de Riemann, donc la limite est [latex]I=\int_0^1f(t)dt[/latex] Je vais calculer [latex]I_n=\int_{\frac1n}^1f(t)dt[/latex] et faire tendre n vers l'infini Changement de variable [latex]t=\frac1u[/latex] : [TeX]I_n=\int_1^{+\infty}\frac{\lfloor u \rfloor}{u^3}du[/TeX] Je découpe l'intégrale en somme d'intégrales, pour faire sortir la partie entière : [TeX]I_n=\sum_{k=1}^nk\int_k^{k+1}\frac{du}{u^3}[/TeX] [TeX]I_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}2\left (\frac1{k^2} - \frac1{(k+1)^2 \right )[/TeX] On coupe en 2, changement d'indice sur la seconde somme : [TeX]I_n=\frac12\left ( \sum_{k=1}^n\frac1k - \sum_{k=2}^{n+1}\frac{k-1}{k^2} \right )[/TeX] Les sommes se simplifient, il reste : [TeX]I_n=\frac12\left ( \sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k^2}-\frac1{n+1} \right )[/TeX] On sait que [latex]\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^n \frac1{k^2} = \frac {\pi^2}{6}[/latex]
Donc au final [latex]I=\frac{\pi^2}{12}[/latex], qui est la limite cherchée !
On peut faire plus simple ? J'imagine que oui ...
#10 - 15-02-2011 11:03:55
- halloduda
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Cette suite conerge
Oui, c'est bien [latex]\frac {{\pi}^2} {12}[/latex]. Félicitations à ceux qui ont trouvé, et surtout à ceux qui ont donné une démonstration.
Spoiler : [Afficher le message] Je n'avais que la réponse, pas la démonstration
#11 - 15-02-2011 11:29:40
- gasole
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Cette suite coonverge
En effet, bravo ! Quand j'aurais une série difficile à calculer, je saurai où demander... hallucinant cet avatar de la série harmonique, pi est vraiment partout...
#12 - 15-02-2011 11:47:30
- mitsuidewi
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eCtte suite converge
Bien joué pour la démo!! Moi j'avais trouvé en écrivant un programme. Sur le papier je n'avais réussi qu'à encadrer la réponse entre 1/2 et 1 ... pas très fameux.
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