Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 12-02-2011 09:07:31

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Cette suite convege

L'expression [latex]\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{x=1}^n \frac {[x*ent({\frac n x})]} {n^2}[/latex] a une valeur remarquable. Quelle est-elle ?
([latex]ent[/latex]="partie entière de")

Formule corrigée après erreur, merci toni77
Spoiler : [Afficher le message] Je n'ai pas pu trouver le résultat sur internet.



Annonces sponsorisées :

 
Réponse :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 12-02-2011 09:42:53

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Cette suite conerge

La limite vaut [latex]+\infty[/latex] !
[TeX]x\geq 1,\quad Ent(\frac{n}{x})\geq 1[/TeX]
Donc le terme général est supérieur à 1, et S(n) est supérieur à n, qui tend vers l'infini...

 #3 - 12-02-2011 09:45:34

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Cette suite converrge

On a l'égalité suivante:
[TeX]\sum_{x=1}^{n}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}=\sum_{i=1}^{+\infty}\bigg(\sum_{x=ent(\frac{n}{i+1})+1}^{ent(\frac{n}{i})}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}\bigg)
[/TeX]
Ceci permet de contrôler la valeur de [latex]ent(\frac{n}{x})[/latex].

On a:
[TeX]\bigg(\sum_{x=ent(\frac{n}{i+1})+1}^{ent(\frac{n}{i})}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}\bigg)
=\bigg(\sum_{x=ent(\frac{n}{i+1})+1}^{ent(\frac{n}{i})}\frac{x.i}{n^2}\bigg)
=\frac{i}{n^2}\bigg(\sum_{x=ent(\frac{n}{i+1})+1}^{ent(\frac{n}{i})}x\bigg)
=\frac{i}{n^2}\bigg(\frac{ent(\frac{n}{i+1}+1)+ent(\frac{n}{i})}{2}\bigg)(ent(\frac{n}{i})-ent(\frac{n}{i+1}))
\rightarrow_{n\rightarrow+\infty}\frac{2i+1}{2i(i+1)^2}=\frac{1}{2(i+1)^2}+\frac{1}{2i(i+1)}
[/TeX]
Ainsi:
[TeX]\sum_{x=1}^{n}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}\rightarrow_{n\rightarrow+\infty}\sum_{i=1}^{+\infty}\bigg(\frac{1}{2(i+1)^2}+\frac{1}{2i(i+1)}\bigg)
[/TeX]
Pour justifier de cette convergence, on peut utiliser un théorème de convergence dominée.

Sinon on calcule pas trop difficilement les 2 dernières sommes:
[TeX]\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{2(i+1)^2}=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}
[/TeX]
et:
[TeX]\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{2i(i+1)}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{+\infty}\bigg(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\bigg)=\frac{1}{2}
[/TeX]
Donc le résultat est:
[TeX]\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{x=1}^{n}\frac{x.ent(\frac{n}{x})}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}
[/TeX]
Y a-t-il plus court comme démo?

 #4 - 12-02-2011 11:44:37

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

cette syite converge

Bon il semble que la réponse soit Pi²/12 mais ca ne fonctionne pas dans la case.

 #5 - 12-02-2011 11:55:55

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Cette suite convergee

mitsuidewi smile

irmo322 smile

 #6 - 12-02-2011 12:53:21

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Cette suite convergee

[TeX]
S_n=\sum\limits_{k=1}^n\quad\quad\sum\limits_{x=Ent(\frac{n}{k+1})+1}^{Ent(\frac{n}{k})}\quad\frac{xEnt(\frac{n}{x})}{n^2}\\ \\
S_n=\sum\limits_{k=1}^n\quad\quad\sum\limits_{x=Ent(\frac{n}{k+1})+1}^{Ent(\frac{n}{k})}\quad\frac{xk}{n^2}\\ \\
S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\left(\frac{Ent(\frac{n}{k})(Ent(\frac{n}{k})+1)}{2n^2}-\frac{Ent(\frac{n}{k+1})(Ent(\frac{n}{k+1})+1)}{2n^2}\right)\\ \\
S_n=\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{Ent(\frac{n}{k})(Ent(\frac{n}{k})+1)}{2n^2}\right)-n\frac{Ent(\frac{n}{n+1})(Ent(\frac{n}{n+1})+1)}{2n^2}\\ \\
S_n=\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{Ent(\frac{n}{k})(Ent(\frac{n}{k})+1)}{2n^2}\right)-\frac{Ent(\frac{n}{n+1})(Ent(\frac{n}{n+1})+1)}{2n}\\ \\
[/TeX]
Or :
[TeX]\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{Ent(\frac{n}{n+1})(Ent(\frac{n}{n+1})+1)}{2n}=0[/latex], car [latex]\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}Ent(\frac{n}{n+1})=1[/TeX]
Donc, [latex]\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}S_n=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{Ent(\frac{n}{k})(Ent(\frac{n}{k})+1)}{2n^2}[/latex]

De plus, pour n assez grand, on a [latex]Ent(\frac{n}{k})\approx \frac{n}{k}[/latex]

Donc, sans détailler plus, on a :
[TeX]\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}S_n=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{2k^2}=\fbox{\frac{\pi^2}{12}^}[/TeX]

 #7 - 12-02-2011 17:31:55

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Cettte suite converge

J'avais envie de dire 1, mais après réflexion :
- pour x=1 : le numérateur vaut n
- pour x=2 : il vaut n ou n-1
- pour x=3 : il vaut n ou n-1 ou n-2
...
- pour x=k : il vaut n ou n-1 ou n-2 ou ... n-k+1
...
- pour x=n : il vaut n

Donc le numérateur devrait se moyenner sur n(n+1)/2.

D'où une limite qui devrait tendre vers 1/2, non ? roll


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #8 - 12-02-2011 18:25:16

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Cette suite conerge

Il doit y avoir un truc que je ne sais pas (ou plus) et qui me manque, j'arrive pas à encadrer mieux qu'entre 1/2 et 1. J'ai amélioré à une borne sup de 1/2+3/8 mais c'est tout, il me manque une estimation du nombre de diviseurs de n... ou autre chose. Trop compliqué pour moi smile

 #9 - 12-02-2011 18:46:12

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Cette suite converg

La limite cherchée est [latex]\frac{\pi^2}{12}[/latex]

J'introduis pour ça la fonction f suivante continue sur [0;1]:
[TeX]f : x \rightarrow x\lfloor {\frac1x}\rfloor [/latex] pour x > 0
[latex]f(0)=1[/TeX]
Je remarque ensuite que :
[TeX]S(n)=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^nx\lfloor \frac nx\rfloor = \frac1n\left ( \sum_{k=0}^nf(k) - 1 \right )[/TeX]
C'est une somme de Riemann, donc la limite est [latex]I=\int_0^1f(t)dt[/latex]
Je vais calculer [latex]I_n=\int_{\frac1n}^1f(t)dt[/latex] et faire tendre n vers l'infini
Changement de variable [latex]t=\frac1u[/latex] :
[TeX]I_n=\int_1^{+\infty}\frac{\lfloor u \rfloor}{u^3}du[/TeX]
Je découpe l'intégrale en somme d'intégrales, pour faire sortir la partie entière :
[TeX]I_n=\sum_{k=1}^nk\int_k^{k+1}\frac{du}{u^3}[/TeX]
[TeX]I_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}2\left (\frac1{k^2} - \frac1{(k+1)^2 \right )[/TeX]
On coupe en 2, changement d'indice sur la seconde somme :
[TeX]I_n=\frac12\left ( \sum_{k=1}^n\frac1k - \sum_{k=2}^{n+1}\frac{k-1}{k^2} \right )[/TeX]
Les sommes se simplifient, il reste :
[TeX]I_n=\frac12\left ( \sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k^2}-\frac1{n+1} \right )[/TeX]
On sait que [latex]\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^n \frac1{k^2} = \frac {\pi^2}{6}[/latex]

Donc au final [latex]I=\frac{\pi^2}{12}[/latex], qui est la limite cherchée !

On peut faire plus simple ? J'imagine que oui ...

 #10 - 15-02-2011 11:03:55

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Cette suite convereg

Oui, c'est bien [latex]\frac {{\pi}^2} {12}[/latex].
Félicitations à ceux qui ont trouvé, et surtout à ceux qui ont donné une démonstration.

Spoiler : [Afficher le message] Je n'avais que la réponse, pas la démonstration

 #11 - 15-02-2011 11:29:40

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Cette suitee converge

En effet, bravo ! Quand j'aurais une série difficile à calculer, je saurai où demander... hallucinant cet avatar de la série harmonique, pi est vraiment partout...

 #12 - 15-02-2011 11:47:30

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

cette syite converge

Bien joué pour la démo!!
Moi j'avais trouvé en écrivant un programme.
Sur le papier je n'avais réussi qu'à encadrer la réponse entre 1/2 et 1 ... pas très fameux.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete