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 #1 - 05-02-2011 21:21:30

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

déplacement sur une portion de gtille



Le site où j'ai trouvé l'enigme propose une réponse qui n'est pas la mienne...
Donc, j'attends une réponse, et une démonstration.

Je vous proposerai ma démonstration également à la fin, histoire de voir où je me suis planté smile



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 #2 - 05-02-2011 22:48:34

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

déplacemenr sur une portion de grille

mmhhh processus markovien... matrice markovienne 15x15... à la puissance 9... bon, on verra plus tard.

 #3 - 06-02-2011 00:58:21

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Déplacemment sur une portion de grille

même à la main, ça va être fastidieux de propager ces probabilités de case en case... demain peut être smile

 #4 - 06-02-2011 01:36:27

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

déplacement sur une portion de frille

A chaque case, j'associe sa distance par rapport au centre. Celle-ci va de 0 pour la case du centre à 3 pour les 8 cases extrémales.

Soit P(i,j) la proba que le pion passe d'une case à distance i à une case de distance j en un coup. (On peut se permettre cette méthode car le tablier est symétrique)
Alors:
P(0,1)=1    ,    P(1,2)=2/3 ,    P(2,3)=2/3 ,
P(1,0)=1/3 ,    P(2,1)=1/3 ,    P(3,2)=1    .

Soit Q(i,j) la proba que le pion passe d'une case à distance i à une case de distance j en 2 coups.
Alors:
Q(0,0)=1/3 ,    Q(0,2)=2/3 ,
Q(2,0)=1/9 ,    Q(2,2)=8/9 .

Soit R(i,j) la proba que le pion passe d'une case à distance i à une case de distance j en 4 coups.
Alors:
R(0,0)=15/81 ,    R(0,2)=66/81 ,
R(2,0)=11/81 ,    R(2,2)=70/81 .
Pour calculer R, on peut faire les calculs à la main ou considérer Q et R comme des matrices (alors R=Q²).

Soit S(i,j) la proba que le pion passe d'une case à distance i à une case de distance j en 8 coups.
Alors:
S(0,0)=951/6561 ,    S(0,2)=5610/6561 ,
S(2,0)=935/6561 ,    S(2,2)=5626/6561 .
(J'ai calculé S par S=R²).

L'important ici est S(0,2). On a 5610 chances sur 6561 d'être à distance de 2 au 8ème coup.
On en déduit qu'on a une proba de (5610/6561)*(2/3) d'être à distance de 3 au 9ème coup.

Comme le problème est symétrique et que 8 cases sont à une distance de 3, on a donc que la proba d'être sur la case marquée d'une croix au bout de 9 coups est de:
(5610/6561)*(2/3)*(1/8)
=11220/157464
=935/13122


Ce problème est intéressant mais finalement très calculatoire une fois la méthode comprise.

 #5 - 06-02-2011 09:27:35

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Déplacement usr une portion de grille

Bon, avec l'aide de scilab, je trouve : 443/13122, soit environ 0.0337601.

Explication (plus d'info ici) :

soit [latex]x_i[/latex] une variable aléatoire, telle que [latex]x_i = j[/latex] signifie "se trouver en [latex]j[/latex] à l'étape [latex]i[/latex]"

soit P la matrice 15x15 telle que [latex]P(i,j) = P(x_1 = j | x_0 = i)[/latex] (probabilité de se trouver en [latex]j[/latex] à l'étape 1 sachant qu'on était en [latex]i[/latex] à l'étape 0.

on montre par récurrence que [latex]P^n(i,j) = P(x_n = j | x_0 = i)[/latex], et ce qui nous intéresse est donc [latex]p = P^{9}(i_0,j_0)[/latex] où [latex]i_0[/latex] et [latex]j_0[/latex] désigne respectivement la case de départ et celle d'arrivée.

on calcule [latex]P^9[/latex], et on tire [latex]p = \frac{935}{13122}[/latex] (merci pour la correction de la matrice).

Pour info, voici ma matrice P (en fait 6*P pour éviter les décimales) sachant que j'ai numéroté les cases de gauche à droite et de haut en bas, de 1 à 15, ce qui m'importe à la fin est [latex]P^9(8,1)[/latex] :

-->6*P =

    0.    0.    0.    6.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    0.    6.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    6.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 
    2.    0.    2.    0.    0.    0.    2.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 
    0.    2.    0.    0.    0.    2.    0.    0.    2.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    0.    6.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    2.    0.    0.    0.    2.    0.    0.    2.    0.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.    3.    0.    3.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    0.    2.    0.    0.    2.    0.    0.    0.    2.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    6.    0.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.    2.    0.    0.    2.    0.    0.    0.    2.    0. 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    2.    0.    0.    0.    2.    0.    2. 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    6.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    6.    0.    0.    0.    0. 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    6.    0.    0.    0.

 #6 - 06-02-2011 10:12:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Déplacement sur une oprtion de grille

136 chances sur 1968 soit 6,91 % de chances

 #7 - 06-02-2011 10:19:46

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

déplacement sur une portipn de grille

935/13122
est ma reponse!
Je ne sais pas trop mais je sais que
http://homepage.hispeed.ch/FSJM/documen … nses_F.pdf
mais quelle est ta reponse?


Un promath- actif dans un forum actif

 #8 - 06-02-2011 10:51:47

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Déplacement sur une ortion de grille

Bonjour et merci pour vos réponses.
J'ai procédé comme Irmo avec des matrices 4x4, vu la symétrie du problème, au lieu d'utiliser des matrices de transition 15x15.
J'ai donc trouvé une proba de 3740/6561, mais pour la zone située à distance 3.

J'ai oublié de diviser par 8, ce qui donne le bon résultat,à savoir 935/13122 !!!!! big_smile

C'est un problème ffjm, il y a les feuilles de résultats. Mais j'essaye toujours de le faire avant. La en l'occurence je ne comprenais pas trop pourquoi j'étais si loin du résultat !  tongue

Merci à tous pour votre participation ! smile

 #9 - 06-02-2011 10:52:43

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

déplacement sur une portion fe grille

Gasole, ton erreur vient surement du fait qu'un coeff de ta matrice est mal placé.
A savoir que tu devrais avoir P(1,4)=6 et P(1,5)=0, et non l'inverse.

 #10 - 06-02-2011 11:11:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

déplacement sur une portion de grilme

Juste pour savoir, pourquoi ça ne marche pas comme ça ?
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-grilleproba.jpg

Parce que avec le résultat de 0,03... multiplié par 8 + celui d'une case adjacente au point de départ (multiplié par 2) , Je n'arrive pas à 100 %.

 #11 - 06-02-2011 12:23:01

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

déplacement sir une portion de grille

Gwen, cela ne marche pas deja lors du passage du 2 au 3
La case du milieu débouche sur l'une des deux à coté avec proba 1/2
Tandis que les 1 donnent des 1/3 pour les trois cases voisines
Or toi tu affectes à chaque fois le coeff 1.
Je ne sais pas si c'est clair...

 #12 - 06-02-2011 12:42:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Déplacement sur une portion de grilel

Non, ce n'est pas clair. A chaque étape, je compte les possibilités d'arriver dans chaque case. Pas de proba, juste des sommes.

Etape 3 : A partir des 8 possibilités de placement du point à l'étape 2 , il y a 16 possibilités de placement à l'étape 3, toutes équiprobables. Simplement, 4 d'entre elles tombent dans la même case.

En faisant un arbre de tous les déplacements possibles en trois mouvements, je tombe pile poil sur le même compte

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-arbregrille.jpg

 #13 - 06-02-2011 13:02:08

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Déplacement sur une ortion de grille

Exact Toni... chuis pas doué pour ce qui requiert de la méticulosité smile

maintenant, à la main, j'aurais pas fait comme ça, j'aurais propagé les probas de case en case (ça permet au-delà de certaines étapes de négliger celles qui sont trop loin).

 #14 - 06-02-2011 13:36:51

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Déplacement sur une protion de grille

@Gwen : d'une part, tes 4 dans la grille 3 auraient dû être des 6 (je pense). D'autre part, et c'est de loin le plus important, tu ne cherches pas a calculer la bonne proba.

La proba demandée est "en partant de telle case, quelle est la proba d'arriver a la case en plein milieu après neuf coups ?"

Celle que tu calcules est "sachant qu'on est arrivé au centre après neuf coups, quelle est la proba qu'on soit parti de telle case ?"


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 06-02-2011 14:35:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Déplacement sur nue portion de grille

Bon, je crois que je commence à comprendre , mais ça me dépasse. Au moins maintenant je sais que j'ai faux. Mais je ne vais pas plus loin.

 #16 - 06-02-2011 14:59:32

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Déplacement sur une portio de grille

Non, je pense que les 4 auraient du être des 5 wink
Les probas pour les 8 cases du bord sont des 1/18
et en refaisant le calcul au milieu on a des 5/18

 #17 - 06-02-2011 15:07:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

éDplacement sur une portion de grille

C'est plus comme ça ?
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-probagrille2.jpg

Je croise les doigts pour savoir si j'ai compris... Sinon je vais me borner aux cryptos et laisser tomber les probas.

Edit: Désolé mais j'aime bien comprendre.

 #18 - 06-02-2011 15:13:13

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Déplacement sur une portin de grille

c'est bon ça gwen... c'est ce que je voulais dire par propager les probas, note que les 3/4 des données se déduisent par symétrie.

 #19 - 06-02-2011 15:43:19

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Déplacement sur une portion dee grille

Merci. Bon, je n'irai pas jusqu'à 9 mais je suppose que ça me donnera 0, 03.... dans la case X

 #20 - 06-02-2011 15:50:55

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Déplacement usr une portion de grille

oui gwen wink

 #21 - 06-02-2011 17:13:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Déplacement sur une oprtion de grille

Toujours pas persuadé... Pour moi il aurait fallu propager les probas en partant de la case de départ, pas en partant de celle d'arrivée... Sinon on ne calcule pas la même proba.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 06-02-2011 17:51:47

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

déplacement sur une portion fe grille

Eh oui mathias, c'est bien ce que Gwen fait dans sa dernière version non ?

 #23 - 06-02-2011 17:57:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

éplacement sur une portion de grille

Wouoh p*tain, en fait c'est moi qui comprenais le problème a l'envers lol

Désolé d'être une tâche big_smile Ce que tu fais est bon, Gwen !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 06-02-2011 18:31:59

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

déplacement sue une portion de grille

La réponse de Promath me convient. La (tentative de) réponse de gwen est très séduisante.
Puis-je tenter de réconcilier les deux ainsi :

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Deplacement-grille.jpg

 #25 - 07-02-2011 09:39:43

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

déplacement sur une portion fe grille

Très bien jackv !
En fait, l' "apport" de la case du milieu est à multiplier par 3/2, vu que c'est la seule qui a 2 cases voisines, et non 3. smile

 

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