J'ai corrigé la définition de [latex]a_0[/latex], pas indispensable, mais potentiellement utile !

Ce sont les nombres de Catalan.
Ils servent dans beaucoup de domaines différents.
C'était intéressant de se replonger dedans.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan
http://oeis.org/A000108

La définition donnée est légèrement différente...

Tiens tiens ! L'expression qui définit a_n ressemble aux coefficients du carré d'un polynôme de coefficients a_i... je vais y réfléchir. En revanche, aucune idée relative à du dénombrement.

Tu veux parler d'un produit de Cauchy ? pfff j'ai jamais fait ça moi avec mon petit niveau bac+2 en math...merci wikipedia !
'tain vous me faites faire de ces trucs les gars !

Mes souvenirs sur les séries entières sont très lointains, mais si je néglige le pb de convergence, ça me donne quelque chose comme ça :

Soit f(x)=[latex]\sum_{n=0}^\infty c_nx^n[/latex]
[TeX]f(x)^2=f(x)-x[/TeX]
donc [latex]f(x)=\frac {1+/-\sqrt{1-4x}}{2}[/latex]
On retient[latex]f(x)=\frac {1-\sqrt{1-4x}}{2}[/latex] parce que ça s'annule en zéro.
Après de laborieux calculs sur le développement de [latex](1-4x)^{1/2}[/latex] on obtient [latex]c_n=2\frac{(2n-3)!}{(n-2)!n!}[/latex]

T'as pas vu mes brouillons

ça fait donc [latex]c_n=\frac 1 n C_{2n-2}^{n-1}[/latex]

@dhrm77: c'est bien ça

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] La définition de la suite ressemble fortement à un produit de Cauchy... Si on mettait la fonction définie par la série entière [latex]f(x)=\sum_{n\ge0}^{+\infty}a_nx^n[/latex] au carré ? On trouve une relation sur f qui permet de la calculer

Il y a surement de belles démonstrations (encore cachées).
J'ai trouvé 2 liens intéressants néanmoins que je souhaite partager:
http://homepages.ulb.ac.be/~sfiorini/ma … /demos.pdf
et
http://www.les-mathematiques.net/phorum … 187,636203

Tiens j'ai oublié de clore ce sujet sur les nombres de Catalan, qu'il fallait donc reconnaître.

On utilise ici les séries entières pour trouver une formule pour [latex]a_n[/latex], en remarquant que la définition de [latex]a_n[/latex] fait penser à un produit de Cauchy.
Je ne vais pas refaire la démo, certains l'ont très bien fait.
On arrive à :
[TeX]a_n=\frac 1 n C_{2n-2}^{n-1}[/TeX]
On arrive au résultat suivant : [latex]a_n=[/latex]
Les [latex]a_n[/latex] ne sont pas exactement les nombres de Catalan, ils sont décalés d'un indice. En revanche, cette définition de [latex]a_n[/latex] permet de donner le nombre de parenthésages d'une expression à n éléments
Exemple : (x*y)*z et x*(y*z) pour a_3=2

La page Wikipédia sur les nombres de Catalan vous en apprendra beaucoup sur leurs nombreuses applications.