J'ai corrigé la définition de $a_0$, pas indispensable, mais potentiellement utile !

Ce sont les nombres de Catalan.
Ils servent dans beaucoup de domaines différents.
C'était intéressant de se replonger dedans.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan
http://oeis.org/A000108

La définition donnée est légèrement différente...

Tiens tiens ! L'expression qui définit a_n ressemble aux coefficients du carré d'un polynôme de coefficients a_i... je vais y réfléchir. En revanche, aucune idée relative à du dénombrement.

Tu veux parler d'un produit de Cauchy ? pfff j'ai jamais fait ça moi avec mon petit niveau bac+2 en math...merci wikipedia !
'tain vous me faites faire de ces trucs les gars !

Mes souvenirs sur les séries entières sont très lointains, mais si je néglige le pb de convergence, ça me donne quelque chose comme ça :

Soit f(x)=$\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$
$$f(x)^2=f(x)-x$$
donc $f(x)=\frac {1+/-\sqrt{1-4x}}{2}$
On retient$f(x)=\frac {1-\sqrt{1-4x}}{2}$ parce que ça s'annule en zéro.
Après de laborieux calculs sur le développement de $(1-4x)^{1/2}$ on obtient $c_n=2\frac{(2n-3)!}{(n-2)!n!}$

T'as pas vu mes brouillons

ça fait donc $c_n=\frac 1 n C_{2n-2}^{n-1}$

@dhrm77: c'est bien ça

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] La définition de la suite ressemble fortement à un produit de Cauchy... Si on mettait la fonction définie par la série entière $f(x)=\sum_{n\ge0}^{+\infty}a_nx^n$ au carré ? On trouve une relation sur f qui permet de la calculer

Il y a surement de belles démonstrations (encore cachées).
J'ai trouvé 2 liens intéressants néanmoins que je souhaite partager:
http://homepages.ulb.ac.be/~sfiorini/ma … /demos.pdf
et
http://www.les-mathematiques.net/phorum … 187,636203

Tiens j'ai oublié de clore ce sujet sur les nombres de Catalan, qu'il fallait donc reconnaître.

On utilise ici les séries entières pour trouver une formule pour $a_n$, en remarquant que la définition de $a_n$ fait penser à un produit de Cauchy.
Je ne vais pas refaire la démo, certains l'ont très bien fait.
On arrive à :
$$a_n=\frac 1 n C_{2n-2}^{n-1}$$
On arrive au résultat suivant : $a_n=$
Les $a_n$ ne sont pas exactement les nombres de Catalan, ils sont décalés d'un indice. En revanche, cette définition de $a_n$ permet de donner le nombre de parenthésages d'une expression à n éléments
Exemple : (x*y)*z et x*(y*z) pour a_3=2

La page Wikipédia sur les nombres de Catalan vous en apprendra beaucoup sur leurs nombreuses applications.