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 #1 - 18-03-2011 15:05:39

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Dénombremment... ou pas !

Déterminez [latex]a_n[/latex] en fonction de n, où [latex]a_n[/latex] est définie par la relation de récurrence ci-dessous :

(i) [latex]a_0=0[/latex] et [latex]a_1=1[/latex]
(ii) [latex]\forall n \ge 2[/latex], [latex]a_n=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}a_{n-k}[/latex]
(la définition de [latex]a_0=0[/latex] n'est pas indispensable, mais peut s'avérer utile !)

Question subsidiaire : que représente notamment [latex]a_n[/latex] en dénombrement ?

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] il serait judicieux de fabriquer une série entière ...

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] La définition de la suite ressemble fortement à un produit de Cauchy... Si on mettait la fonction définie par la série entière [latex]f(x)=\sum_{n\ge0}^{+\infty}a_nx^n[/latex] au carré ? On trouve une relation sur f qui permet de la calculer



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 #2 - 18-03-2011 15:51:41

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Dénombrementt... ou pas !

Tu viens de corriger le [latex]a_{n_k}[/latex], bien !
Pourquoi définir un [latex]a_0[/latex] ?


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 18-03-2011 16:03:01

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Dnéombrement... ou pas !

J'ai corrigé la définition de [latex]a_0[/latex], pas indispensable, mais potentiellement utile !

 #4 - 18-03-2011 17:03:18

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

dénombrement... oi pas !

a0=0
a1=1
a2=1
a3=2
a4=5
Ça ressemble à [latex]a_n=\frac {(2n-2)!}{(n-1)!n![/latex].
Au décalage de 1 près de n, ce sont les nombres de Segner ou nombres de Catalan.

Les liens suivants donnent des réponses à la question subsidiaire :
http://oeis.org/A000108
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan

 #5 - 18-03-2011 18:12:00

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Dénomberment... ou pas !

Ce sont les nombres de Catalan.
Ils servent dans beaucoup de domaines différents.
C'était intéressant de se replonger dedans.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan
http://oeis.org/A000108

La définition donnée est légèrement différente...

 #6 - 18-03-2011 18:20:19

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

Dénombrement... ou pas

@halloduda: oui !
@rivas : oui !

J'attends tjs une petite demo, si qqun se sent :-)

 #7 - 19-03-2011 12:07:27

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Dénombreement... ou pas !

Tiens tiens ! L'expression qui définit a_n ressemble aux coefficients du carré d'un polynôme de coefficients a_i... je vais y réfléchir. En revanche, aucune idée relative à du dénombrement.

 #8 - 19-03-2011 13:22:54

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Dénoombrement... ou pas !

@gasole: il y a de l'idée, pousse encore plus loin que les ********s !

 #9 - 19-03-2011 16:05:38

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Dénobmrement... ou pas !

Tu veux parler d'un produit de Cauchy ? pfff j'ai jamais fait ça moi avec mon petit niveau bac+2 en math...merci wikipedia !
'tain vous me faites faire de ces trucs les gars ! big_smile

 #10 - 19-03-2011 21:44:31

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

Dénombrement... ou paas !

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message]  il serait judicieux de fabriquer une série entière ...

 #11 - 19-03-2011 23:29:20

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

dénomvrement... ou pas !

Mes souvenirs sur les séries entières sont très lointains, mais si je néglige le pb de convergence, ça me donne quelque chose comme ça :

Soit f(x)=[latex]\sum_{n=0}^\infty c_nx^n[/latex]
[TeX]f(x)^2=f(x)-x[/TeX]
donc [latex]f(x)=\frac {1+/-\sqrt{1-4x}}{2}[/latex]
On retient[latex]f(x)=\frac {1-\sqrt{1-4x}}{2}[/latex] parce que ça s'annule en zéro.
Après de laborieux calculs sur le développement de [latex](1-4x)^{1/2}[/latex] on obtient [latex]c_n=2\frac{(2n-3)!}{(n-2)!n!}[/latex]

 #12 - 19-03-2011 23:32:02

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Dénnombrement... ou pas !

Oui Tromaril, pour quelqu'un qui a des lointains souvenirs, c'est plutôt très bien smile
Tu peux juste simplifier un peu ton expression en multipliant par 2n-2 numérateur et dénominateur.

 #13 - 20-03-2011 00:04:11

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

dénombrement... ou paq !

T'as pas vu mes brouillons big_smile

ça fait donc [latex]c_n=\frac 1 n C_{2n-2}^{n-1}[/latex]

 #14 - 20-03-2011 00:22:23

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2991
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énombrement... ou pas !

Ca m'a l'air d'etre les nombres catalans ou la solution au premier probleme de Schroeder,
selon OEIS


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 21-03-2011 02:05:02

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

dénombeement... ou pas !

@dhrm77: c'est bien ça smile

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] La définition de la suite ressemble fortement à un produit de Cauchy... Si on mettait la fonction définie par la série entière [latex]f(x)=\sum_{n\ge0}^{+\infty}a_nx^n[/latex] au carré ? On trouve une relation sur f qui permet de la calculer

 #16 - 21-03-2011 11:24:22

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

dénombrelent... ou pas !

Utilisons les séries génératrices.
[TeX]\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n=X+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k} X^n=(\sum_{n=0}^{\infty}a_n X^n)^2[/TeX][TeX]f(X)=X+(f(X))^2 [/TeX][TeX]\Delta=1-4X[/TeX][TeX]f(X)=\frac{1-(1-4X)^{\frac{1}{2}}}{2}[/TeX][TeX]a_n=-\frac{1}{2} \binom{0.5}{n}(-4)^n[/TeX]
Il est facile de simplifier cette expression en calculant le coefficient binomial généralisé...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #17 - 21-03-2011 18:13:53

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Dénombrement... uo pas !

Il y a surement de belles démonstrations (encore cachées).
J'ai trouvé 2 liens intéressants néanmoins que je souhaite partager:
http://homepages.ulb.ac.be/~sfiorini/ma … /demos.pdf
et
http://www.les-mathematiques.net/phorum … 187,636203

 #18 - 21-03-2011 18:19:16

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Dénombrement... ou pa !

Ton premier lien est la démo à laquelle je pensais smile

Pour le second lien, il faut d'abord intuiter la valeur de [latex]a_n[/latex] avant de pouvoir la montrer par récurrence, mais quand on connaît la valeur exacte des nombres de C******, c'est une démo originale !

 #19 - 26-03-2011 18:23:52

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Dénombrement... uo pas !

Tiens j'ai oublié de clore ce sujet sur les nombres de Catalan, qu'il fallait donc reconnaître.

On utilise ici les séries entières pour trouver une formule pour [latex]a_n[/latex], en remarquant que la définition de [latex]a_n[/latex] fait penser à un produit de Cauchy.
Je ne vais pas refaire la démo, certains l'ont très bien fait.
On arrive à :
[TeX]a_n=\frac 1 n C_{2n-2}^{n-1}[/TeX]
On arrive au résultat suivant : [latex]a_n=[/latex]
Les [latex]a_n[/latex] ne sont pas exactement les nombres de Catalan, ils sont décalés d'un indice. En revanche, cette définition de [latex]a_n[/latex] permet de donner le nombre de parenthésages d'une expression à n éléments
Exemple : (x*y)*z et x*(y*z) pour a_3=2

La page Wikipédia sur les nombres de Catalan vous en apprendra beaucoup sur leurs nombreuses applications.

 

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