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 #1 - 25-09-2011 12:48:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Dénombrement sur écchiquier

Bonjour à tous.

Dans un tableau de 6 colonnes numérotées (c=1 à 6) et 7 lignes (l=1 à 7), on place 21 jetons non numérotés: 3 par ligne et c par colonne.

Combien de combinaisons sont possibles ?

C'est le cas particulier d'un problème posé par un étudiant sur un site voisin qui n'a pas pour l'instant obtenu de réponse: question générale pour c colonnes et l lignes.
Peut être existe t il une méthode générale ?

Bon amusement



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 #2 - 28-09-2011 11:19:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

dénombrement syr échiquier

Bonjour,
Est qu'on place un seul jeton par intersection ligne / colonne ? Ou peut on en placer plusieurs ?
Bonne journée.
Frank

 #3 - 28-09-2011 11:59:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Dénombremnet sur échiquier

Je pense qu'il existe 20 manière de positionner les jetons sur une ligne.

Avec les arrangements : 6!/(3! * 3!)

Cela laisse 20^7 = 1 280 000 000 de positions possibles.

Dans le cas général de n jetons sur l lignes et c colonnes

je verrais bien  [ c! / (c! (c-n)!) ]^l

 #4 - 28-09-2011 13:03:21

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Dénombrement sur échiquieer

Bonjour

Il y un détail qui me gêne dans l'énoncé, c'est le "c par colonne", car il me semble que cette quantité puisse ne pas être constante, en tous cas dans le cas de la répartition de 21 pions sur 6 colonnes ....

Dans le cas particulier de l'énoncé :

7 lignes et 6 colonnes
21 pions
3 pions par ligne
on considère donc qu'il puisse y avoir un nombre variable de pions par colonne....

Il y a C(6,3) = 20 possibilités de placer 3 pions sur 6 cases d'une ligne

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-20combinaisons.jpg

Rq :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Cnp.png

Rq2 : dans les 20 possibilités (de 3 parmi 7), chaque "position" est représentée 10 fois si l'on regarde en colonnes :


Il y ensuite 20^7 =  1 280 000 000 possibilités d'arranger 7 configurations parmi les 20

Dans le cas général, il peut être intéressant d'étudier, quand le nombre de pions est un multiple du nombre de lignes, le cas où l'on doive répartir un nombre identique de pions par colonne !
Cela réduirait alors le nombre de combinaisons possibles.

A suivre ...!


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #5 - 28-09-2011 18:07:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Dénombremennt sur échiquier

@Nicko: ton tableau est bien renseigné, il permet de voir qu'il y a qq chose de pas compris, ou que j'ai mal expliqué: il faut bien 1 pion dans la colonne 1, 2 dans la colonne 2, ...et 6 dans la colonne 6, ce qui fait bien 6*7/2=21 pions en tout. Et donc comme il y a 7 lignes, il faut 3 pions par ligne.
Voilà, j'espère que ça va aller mieux maintenant.

 #6 - 29-09-2011 07:33:17

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Dénombremet sur échiquier

Bonjour !

Merci pour la précision ! (c'était clair en fait, à la relecture !)

De ce fait, il me semble qu'un seul motif de base corresponde :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-20combinaisons2.jpg

Le nombre de possibilités est alors donné par le nombre d'arrangements des lignes de ce motif, or on remarque que les 4 dernières lignes sont identiques.

Donc je pense que le calcul revient à déterminer les arrangements de 3 lignes parmi 7, soit A(7,3) = 7! / 4! =  210

Si le raisonnement et le calcul sont OK, à suivre pour la généralisation !

A+


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #7 - 29-09-2011 13:46:21

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

dénombrement sur échiquiee

NickoGecko, je me trompe peut-etre car je n'ai pas tout compris au problème, mais je pense qu'il n'y a pas qu'un seul motif de base.
Rien qu'avec la colonne 3 et 4, tu dois pouvoir les "mixées"
Ex : Ligne 1 x x 0 x 0 0
et   Ligne 4 0 0 X 0 X X
Pourtant, ça ne change pas le nombre de X par colonne et par ligne.

 #8 - 29-09-2011 14:36:10

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Dénombrement sur écchiquier

Ah oui ! tu as raison !

Il faut donc repartir des 20 possibilités et voir comment cela se passe !

Je recreuse !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #9 - 29-09-2011 17:23:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Dénombrement sur échhiquier

godisdead a écrit:

NickoGecko, je me trompe peut-etre car je n'ai pas tout compris au problème, mais je pense qu'il n'y a pas qu'un seul motif de base.
Rien qu'avec la colonne 3 et 4, tu dois pouvoir les "mixées"
Ex : Ligne 1 x x 0 x 0 0
et   Ligne 4 0 0 X 0 X X
Pourtant, ça ne change pas le nombre de X par colonne et par ligne.

Je confirme bien cette remarque.
Qu'est ce qui n'est pas encore compris ?

 #10 - 30-09-2011 06:54:28

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

dénombrelent sur échiquier

Bonjour,

Pour moi c'est clair, mais je suis allé trop vite en besogne en prétendant qu'il n'y avait qu'un seul "motif" possible.

godisdead m'a ouvert les yeux sur la question !

Donc mon (avant-)dernier post est à reprendre ....


Sinon, nodgim, as-tu une solution ou une réflexion amorcée de ton côté ?, si il s'agit d'une question "non résolue" sur un site voisin ....

A+


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #11 - 30-09-2011 17:37:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Dénombrement sur échiquie

Pour NickoGecko:
Oui j'ai trouvé le dénombrement, mais la méthode ne peut être appliquée dans le cas général.
Il y a une astuce qui permet de réduire singulièrement le nombre de calculs à faire.

 

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