Enigme Dénombrement sur échiquier @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous.

Dans un tableau de 6 colonnes numérotées (c=1 à 6) et 7 lignes (l=1 à 7), on place 21 jetons non numérotés: 3 par ligne et c par colonne.

Combien de combinaisons sont possibles ?

C'est le cas particulier d'un problème posé par un étudiant sur un site voisin qui n'a pas pour l'instant obtenu de réponse: question générale pour c colonnes et l lignes.
Peut être existe t il une méthode générale ?

Bon amusement

Franky1103 · #2

Bonjour,
Est qu'on place un seul jeton par intersection ligne / colonne ? Ou peut on en placer plusieurs ?
Bonne journée.
Frank

gwen27 · #3

Je pense qu'il existe 20 manière de positionner les jetons sur une ligne.

Avec les arrangements : 6!/(3! * 3!)

Cela laisse 20^7 = 1 280 000 000 de positions possibles.

Dans le cas général de n jetons sur l lignes et c colonnes

je verrais bien [ c! / (c! (c-n)!) ]^l

NickoGecko · #4

Bonjour

Il y un détail qui me gêne dans l'énoncé, c'est le "c par colonne", car il me semble que cette quantité puisse ne pas être constante, en tous cas dans le cas de la répartition de 21 pions sur 6 colonnes ....

Dans le cas particulier de l'énoncé :

7 lignes et 6 colonnes
21 pions
3 pions par ligne
on considère donc qu'il puisse y avoir un nombre variable de pions par colonne....

Il y a C(6,3) = 20 possibilités de placer 3 pions sur 6 cases d'une ligne

Rq :

Rq2 : dans les 20 possibilités (de 3 parmi 7), chaque "position" est représentée 10 fois si l'on regarde en colonnes :

Il y ensuite 20^7 = 1 280 000 000 possibilités d'arranger 7 configurations parmi les 20

Dans le cas général, il peut être intéressant d'étudier, quand le nombre de pions est un multiple du nombre de lignes, le cas où l'on doive répartir un nombre identique de pions par colonne !
Cela réduirait alors le nombre de combinaisons possibles.

A suivre ...!

nodgim · #5

@Nicko: ton tableau est bien renseigné, il permet de voir qu'il y a qq chose de pas compris, ou que j'ai mal expliqué: il faut bien 1 pion dans la colonne 1, 2 dans la colonne 2, ...et 6 dans la colonne 6, ce qui fait bien 6*7/2=21 pions en tout. Et donc comme il y a 7 lignes, il faut 3 pions par ligne.
Voilà, j'espère que ça va aller mieux maintenant.

NickoGecko · #6

Bonjour !

Merci pour la précision ! (c'était clair en fait, à la relecture !)

De ce fait, il me semble qu'un seul motif de base corresponde :

Le nombre de possibilités est alors donné par le nombre d'arrangements des lignes de ce motif, or on remarque que les 4 dernières lignes sont identiques.

Donc je pense que le calcul revient à déterminer les arrangements de 3 lignes parmi 7, soit A(7,3) = 7! / 4! = 210

Si le raisonnement et le calcul sont OK, à suivre pour la généralisation !

A+

godisdead · #7

NickoGecko, je me trompe peut-etre car je n'ai pas tout compris au problème, mais je pense qu'il n'y a pas qu'un seul motif de base.
Rien qu'avec la colonne 3 et 4, tu dois pouvoir les "mixées"
Ex : Ligne 1 x x 0 x 0 0
et Ligne 4 0 0 X 0 X X
Pourtant, ça ne change pas le nombre de X par colonne et par ligne.

NickoGecko · #8

Ah oui ! tu as raison !

Il faut donc repartir des 20 possibilités et voir comment cela se passe !

Je recreuse !

nodgim · #9

godisdead a écrit:
NickoGecko, je me trompe peut-etre car je n'ai pas tout compris au problème, mais je pense qu'il n'y a pas qu'un seul motif de base.
Rien qu'avec la colonne 3 et 4, tu dois pouvoir les "mixées"
Ex : Ligne 1 x x 0 x 0 0
et Ligne 4 0 0 X 0 X X
Pourtant, ça ne change pas le nombre de X par colonne et par ligne.

Je confirme bien cette remarque.
Qu'est ce qui n'est pas encore compris ?

NickoGecko · #10

Bonjour,

Pour moi c'est clair, mais je suis allé trop vite en besogne en prétendant qu'il n'y avait qu'un seul "motif" possible.

godisdead m'a ouvert les yeux sur la question !

Donc mon (avant-)dernier post est à reprendre ....

Sinon, nodgim, as-tu une solution ou une réflexion amorcée de ton côté ?, si il s'agit d'une question "non résolue" sur un site voisin ....

A+

nodgim · #11

Pour NickoGecko:
Oui j'ai trouvé le dénombrement, mais la méthode ne peut être appliquée dans le cas général.
Il y a une astuce qui permet de réduire singulièrement le nombre de calculs à faire.

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#1 - 25-09-2011 12:48:09

Dnéombrement sur échiquier

#0 Pub

#2 - 28-09-2011 11:19:03

Dénombreement sur échiquier

#3 - 28-09-2011 11:59:32

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Dénmobrement sur échiquier

godisdead a écrit:

#10 - 30-09-2011 06:54:28

dénombrement sur échiquirr

#11 - 30-09-2011 17:37:39

Dénombrement sur échiquierr

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