Bon en fait je n'ai pas trouvé de temps pour réfléchir plus avant mais je peux quand même faire part de mes doutes .

Dans l'affaire personne ne parle sauf Alain après certain temps ou un temps certain ( comme le fût du canon pour les connaisseurs ) . Bref on peut tout supposer sur les raisonnement des trois enfants dans le style machin a compris que l'autre ne pouvait pas répondre car il avait vu ...

Le problème est bien plus limpide si on considère que B et C déclarent ne rien pouvoir conclure . On peut aussi avec un grand pragmatisme dire que si A prend la parole et pas les autres c'est qu'il n'a pas le même numéro qu'eux et comme le choix se fait entre 5 , 7 et 11 , on a très vite choisi 11 ( mais c'est prendre le problème à l'envers ) .

J'ai pu raté l'essenciel et alors j'attends la solution avec impatience

Vasimolo

Je trouve une réponse "bizarre"...

Alain voit 5 et 7. Pour former un triangle (que je suppose non plat), x doit être compris strictement entre 2 et 12.
De plus x est entier et premier. Les possibilités sont donc: 3, 5, 7 et 11.
Les périmètres correspondants sont: 15, 17, 19 et 23. Le premier n'est pas premier et ne convient donc pas.
Il reste 5, 7 et 11 pour x.

Voici ou se trouve mon "doute". On dit que les 3 enfants sont tous 3 champions de logique. Or seul Alain parle. Pour moi cela exclut d'office 5 et 7.
En effet, si x vaut 5: Alain voit 5 et 7 mais Bernard aussi. Alain et Bernard sont exactement dans la même situation et donc soit parlent tous les 2 soit aucun ne parle.
De même si x vaut 7: Alain voit 5 et 7 mais Charles aussi. Donc soit Alain et Charles parlent, soit aucun des 2.

Or seul Alain parle. Pour moi cela veut dire que x vaut 11.

Mais ça semble trop simple. Pourtant ça me semble raisonnablement logique...

Je doute, je doute...

J'ai lu attentivement toutes vos réponses, et je le rends compte encore une fois que l'on énoncé aurait dû être un peu plus précis.
J'aurais dû formuler la question ainsi :

"Au bout d'un long silence, Alain s'apprête à prendre la parole pour annoncer qu'il a deviné son nombre. Que dit-il ? Les 2 autres devinent-ils également deviner leur nombre, avant ou en même temps qu'Alain ?"

En effet, le fait que l'on sache qu'Alain soit le seul à parler interdit qu'il puisse avoir un nombre identique à l'un des 2 autres, comme l'ont très justement remarqué gwen, Vasimolo et confrères.

Mais si on se place dans la tête d'Alain avant qu'il parle, alors le problème change quelque peu.
Je vous renvoie aux excellentes démonstrations de gasole et Tromaril, gwen également. On pouvait montrer que si personne ne parle infant un long moment, c'est que nécessairement Alain a le nombre 11. Les 2 autres sont également incapables de deviner leur nombre avant ou en meme temps qu'Alain, en voyant 11 et 7 pour Bernard, et 11 et 5 pour Charles.

Merci pour votre participation et vos remarques toujours pertinentes !