Enigmes

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 #1 - 15-05-2011 23:56:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Le craré de 10 ?

Une petite énigme sans prétention inspirée d'un vieil exercice de terminale smile

[latex]P(X) = X^9+a_8X^8+a_7X^7+...+a_1X+a_0[/latex] est un polynôme unitaire de degré 9 .

Il vérifie : [latex]P(1)=1[/latex] , [latex]P(2)=4[/latex] , [latex]P(3)=9[/latex] , [latex]P(4)=16[/latex] , ... , [latex]P(9)=81[/latex] .

Mais que peut bien valloir [latex]P(10)[/latex] ????

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : Les calculs se font aisément à la main , alors grosse artillerie s'abstenir big_smile



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 #2 - 16-05-2011 00:24:54

Cédric-29
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 17

Le carré de 10

Un polynôme d'ordre N possède N solutions complexes. Ces solutions le caractérisent à un facteur près.

on pose G(X) = P(X) -X^2 qui reste d'ordre 9 et s'annule pour X = 1, 2, .., 9 soit 9 solutions

donc G(X) = alpha*(X-1)(X-2)(X-3)...(X-9)


P(X) = G(X) + X^2

par identification du coefficient d'ordre le plus élevé, alpha=1.

P(10) = G(10) + 100 =  362880 + 100 = 362980

 #3 - 16-05-2011 02:18:19

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Le carré dee 10 ?

Soit [latex]Q(X)=P(X)-X^2[/latex] alors [latex]Q(X)=(X-1)(X-2)....(X-9)[/latex] d'où [latex]Q(10)=9.8....1=9![/latex] et [latex]P(10)=9!+10^2=362980[/latex]


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #4 - 16-05-2011 10:04:40

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 494
Lieu: Ardèche

Lee carré de 10 ?

362980

=9!+100
=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)+x² pour x=10

 #5 - 16-05-2011 10:38:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

le careé de 10 ?

Déjà trois ( bonnes ) réponses smile

Vasimolo

 #6 - 16-05-2011 10:48:31

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Le carr éde 10 ?

Je vais commencer par répondre à la question du titre. smile

Non car :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont solutions de :
[TeX]X^9+a_{8}X^8+a_{7}X^7+a_{6}X^6+a_{5}X^5+a_{4}X^4+a_{3}X^3+(a_{2}-1)X^2+a_{1}X+a_{0}=0[/TeX]
Comme un polynôme de degré 9 ne possède au maximum que 9 racines, 10 ne peut pas également être solution de sorte que P(10) ne peut pas être égale à 100.

Je cherche pour la suite sans devoir résoudre un système de 9 équations à 9 inconnues.

 #7 - 16-05-2011 11:28:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Lee carré de 10 ?

Bonjour,
Aurais-je dû m'abstenir ?
Tout dépend si Excel est considéré comme "grosse artillerie" !!!
On peut en effet faire pas mal de choses sur des matrices avec Excel.
J'ai calculé ai = det(Ai) / det(A), Ai étant la matrice A dans laquelle j'ai remplacé la colonne i par la colonne i^2 - i^9.
J'obtiens tous mes ai et je calcule "bêtement" P(10).
Au final, je trouve P(10) = 362980 qui est validé par la case-réponse.
Mais j'ai bien conscience que ma solution n'est pas dans l'esprit du site.
Je continue donc à chercher une solution "plus élégante", en remarquant que
P(10) = (10-1)! + 10^2 (mais sans savoir s'il faut aller dans cette direction).
Bonne journée.
Frank

 #8 - 16-05-2011 14:17:44

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Le carré de 1 ?

On pose [latex]Q(X) = P(X) - X^2[/latex]. Q est un polynôme unitaire de degré 9, et chaque entier de 1 a 9 est racine de ce polynôme. Donc :
[TeX]Q(X) = (X-1)(X-2)...(X-9)[/TeX]
Donc :
[TeX]P(X) = X^2 + (X-1)(X-2)...(X-9)[/TeX]
Alors on calcule [latex]P(10) = 100 + 9! = 362980[/latex].


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 16-05-2011 15:10:48

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Le carré de 1 0?

P(10)=362980
Mais j'ai malheureusement sorti la grosse artillerie en calculant les [latex]a_k[/latex] par un pivot de Gauss (merci Excel ...)

Sans grosse artillerie, avec des histoires de modulo, je n'arrivai qu'à :
P(10)=20(18k+5)

Si un pivot de Gauss est de la grosse artillerie (ce que j'estime !), alors je ne vois toujours pas de manière élégante de montrer ce résultat smile Je vais réfléchir !

 #10 - 16-05-2011 16:52:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Le craré de 10 ?

Mathias rejoins le groupe de tête !

Les autres ont la bonne réponse mais l'arsenal employé est un peu excessif lollollol

 #11 - 16-05-2011 17:19:31

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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le caeré de 10 ?

J'ai la bonne réponse ??? Et mon arsenal est trop excessif ???

MUF! J'ai rien fait.

Je peux juste dire que P(10) > 100.

 #12 - 16-05-2011 18:50:01

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

lr carré de 10 ?

362980

J'ai commencé par un raisonnement un peu excessif puis j'ai cherché plus simple. Espérons que mon raisonnement ne sera pas jugé excessif. smile
[TeX]P(X)-X^2[/latex] est un polynôme de degré au plus 9 et qui a donc au plus 9 racines. Or on en connait 9 (1, 2, ...9), c'est à dire toutes.

On peut donc écrire [latex]P(X)-X^2=k(X-1)(X-2)...(X-9)[/latex].

Or [latex]P(X)-X^2=X^9+...+(a_2-1)X^2+a_1X+a_0[/TeX]
L'égalisation est coefficients de degré 9 nous donne k=1 et donc:
[TeX]P(X)=(X-1)(X-2)...(X-9)+X^2[/TeX]
et donc P(10)=9!+100=362980 validé par la case réponse.

J'aimais bien aussi mon raisonnement excessif mais bon, ... smile

Merci pour cette énigme.

EDIT: Je viens de me rendre compte d'un corollaire intéressant:
Le polynôme P ne peut avoir comme image d'un entier son carré pour aucun autre entier. (Pas facile à écrire comme phrase).
De même, un polynôme de degré n (n>=2) ne peut avoir pour image d'un entier son carré qu'au maximum n fois et même: un polynôme de degré n ne peut avoir pour image d'un entier sa puissance m-ième (m<n) qu'au plus n fois.
Amusant...

 #13 - 16-05-2011 19:24:22

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2010
Lieu: Paris

le xarré de 10 ?

Je pense qu'il faut passer par P(0)=-9! et P(10)+P(0)=100
Mais je n'arrive à montrer aucun des 2 lol

EDIT

Il suffit que je poste ce message pour que je tilte smile

Donc si je considère le polynôme Q suivant, unitaire :
[TeX]Q(X)=\prod_{k=1}^9(X-k)+X^2[/TeX]
On voit que [latex]Q(k)=P(k)=k^2[/latex] pour tout k entier compris entre 1 et 9.
Q-P est donc un polynôme de degré au plus 8 et comptant 9 racines, il est donc nul.

Et finalement :
[TeX]P(X)=\prod_{k=1}^9(X-k)+X^2[/TeX]
Et du coup [latex]P(10)=9!+100=362980[/latex]

Amusant smile

 #14 - 16-05-2011 23:17:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

le carré fe 10 ?

Bravo à Looping et aussi à Rivas malgré ses excès d'excessifs .

Je persiste et signe le résultat s'obtient sans autre outil que le cerveau dont nous disposons tous , d'une feuille , d'un crayon et de quelques minutes de calculs .

On peut bien sûr trouver amusant de résoudre un système de 9 équations à 9 inconnues ou autres monstruosités big_smile

Vasimolo

 #15 - 16-05-2011 23:56:29

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

e carré de 10 ?

Vasimolo a écrit:

Je persiste et signe le résultat s'obtient sans autre outil que le cerveau dont nous disposons tous

Tous, tous, c'est vite dit...

 #16 - 17-05-2011 08:34:08

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Le carré dee 10 ?

Q(x) = P(x)-x^2 a 9 racines : 1, 2, ... 9 et Q(x) est de degré 9
Q(x) = (x-1)(x-2)...(x-9)
P(x) =  (x-1)(x-2)...(x-9) + x^2
P(10) = 9!+100

 #17 - 17-05-2011 17:29:43

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2882
Lieu: Luxembourg

Le carré de 10

Bonjour,
J'ai trouvé la réponse avec la grosse artillerie Excel (indiquée plus haut).
Mais je cherche toujours une solution plus élégante et franchement je cale !!!
Je cherche la continuité sur x=10 de P(x), polynôme de degré 9 ayant au moins (et à mon avis exclusivement) 9 points communs avec la parabole Q(x)=x².
C'est une énigme plutôt surprenante: vivement l'expiration du délai.
Bonne journée.
Frank

 #18 - 17-05-2011 20:49:53

/dev/hda1
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 1

Lee carré de 10 ?

En posant Q(X) = P(X)-X², on obtient un polynôme unitaire de degré 9 vérifiant:
Q(1)=Q(2)=…=Q(8)=Q(9)=0.
Par le théorème de d'Alembert-Gauss, on en déduit que ce polynôme se factorise en R(X) (X-1) … (X-9); comme il est de degré 9, R(X) est un polynôme constant.
Par unitarité de Q(X), R(X)=1.

On en déduit que Q(10)=(10-1)…(10-9)=9!; et donc P(10)=Q(10)+10²=9!+100=362980.

 #19 - 17-05-2011 23:04:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Le carré de 0 ?

Deux nouvelles bonnes réponses smile

@ Racine , si , si , mais certains l'économise lollollol

Vasimolo

 #20 - 18-05-2011 08:10:03

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Le caré de 10 ?

Soit Q(x) = P(x) -x^2

les racines de Q sont 1 2 3....... 9
donc Q(10) = (10-1)*(10-2).....(10-9)= 9!
P(10) = 100 + 9!

trés joli

 #21 - 18-05-2011 18:32:43

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1583

lz carré de 10 ?

La bonne réponse étant 362980, il ne me reste plus qu'à la trouver smile
(sans inverser une matrice)

 #22 - 18-05-2011 23:31:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

le carré dz 10 ?

Beaucoup de bonnes réponses smile

Comme souvent avec les polynômes il suffit de prendre le problème par le bon bout . Q(X)=P(X)-X² est un polynôme unitaire de degré 9 dont les racines sont 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 9 c'est à dire que Q(X)=(X-1)(X-2)...(X-9) alors P(10)=Q(10)+10²= 9!+100 = 362 980 .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 #23 - 19-05-2011 08:37:57

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Le carréé de 10 ?

Bonjour,
Et, comme souvent, quand on a la réponse sous les yeux, on se dit: "mais bien sûr, c'est évident, comment n'y ai-je pas pensé !?!".
Vraiment une très bel énigme: merci.
Bonne journée.
Frank

 #24 - 19-05-2011 09:58:55

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 434

Le caré de 10 ?

Ah ben oui!
J'ai fait la moitié du chemin.

Très joli problème.

 #25 - 19-05-2011 11:08:43

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Le carré de 110 ?

Tu avais raison, même mon cerveau pouvait sortir ça. Ça m'apprendra à ne pas faire les énigmes maths car c'est vraiment une jolie solution.

 

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