Un polynôme d'ordre N possède N solutions complexes. Ces solutions le caractérisent à un facteur près.

on pose G(X) = P(X) -X^2 qui reste d'ordre 9 et s'annule pour X = 1, 2, .., 9 soit 9 solutions

donc G(X) = alpha*(X-1)(X-2)(X-3)...(X-9)


P(X) = G(X) + X^2

par identification du coefficient d'ordre le plus élevé, alpha=1.

P(10) = G(10) + 100 =  362880 + 100 = 362980

362980

=9!+100
=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)+x² pour x=10

Je vais commencer par répondre à la question du titre.

Non car :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont solutions de :
$$X^9+a_{8}X^8+a_{7}X^7+a_{6}X^6+a_{5}X^5+a_{4}X^4+a_{3}X^3+(a_{2}-1)X^2+a_{1}X+a_{0}=0$$
Comme un polynôme de degré 9 ne possède au maximum que 9 racines, 10 ne peut pas également être solution de sorte que P(10) ne peut pas être égale à 100.

Je cherche pour la suite sans devoir résoudre un système de 9 équations à 9 inconnues.

On pose $Q(X) = P(X) - X^2$. Q est un polynôme unitaire de degré 9, et chaque entier de 1 a 9 est racine de ce polynôme. Donc :
$$Q(X) = (X-1)(X-2)...(X-9)$$
Donc :
$$P(X) = X^2 + (X-1)(X-2)...(X-9)$$
Alors on calcule $P(10) = 100 + 9! = 362980$.

Mathias rejoins le groupe de tête !

Les autres ont la bonne réponse mais l'arsenal employé est un peu excessif

362980

J'ai commencé par un raisonnement un peu excessif puis j'ai cherché plus simple. Espérons que mon raisonnement ne sera pas jugé excessif.
$$P(X)-X^2[/latex] est un polynôme de degré au plus 9 et qui a donc au plus 9 racines. Or on en connait 9 (1, 2, ...9), c'est à dire toutes. On peut donc écrire [latex]P(X)-X^2=k(X-1)(X-2)...(X-9)[/latex]. Or [latex]P(X)-X^2=X^9+...+(a_2-1)X^2+a_1X+a_0$$
L'égalisation est coefficients de degré 9 nous donne k=1 et donc:
$$P(X)=(X-1)(X-2)...(X-9)+X^2$$
et donc P(10)=9!+100=362980 validé par la case réponse.

J'aimais bien aussi mon raisonnement excessif mais bon, ...

Merci pour cette énigme.

EDIT: Je viens de me rendre compte d'un corollaire intéressant:
Le polynôme P ne peut avoir comme image d'un entier son carré pour aucun autre entier. (Pas facile à écrire comme phrase).
De même, un polynôme de degré n (n>=2) ne peut avoir pour image d'un entier son carré qu'au maximum n fois et même: un polynôme de degré n ne peut avoir pour image d'un entier sa puissance m-ième (m<n) qu'au plus n fois.
Amusant...

Bravo à Looping et aussi à Rivas malgré ses excès d'excessifs .

Je persiste et signe le résultat s'obtient sans autre outil que le cerveau dont nous disposons tous , d'une feuille , d'un crayon et de quelques minutes de calculs .

On peut bien sûr trouver amusant de résoudre un système de 9 équations à 9 inconnues ou autres monstruosités

Vasimolo

Q(x) = P(x)-x^2 a 9 racines : 1, 2, ... 9 et Q(x) est de degré 9
Q(x) = (x-1)(x-2)...(x-9)
P(x) =  (x-1)(x-2)...(x-9) + x^2
P(10) = 9!+100

En posant Q(X) = P(X)-X², on obtient un polynôme unitaire de degré 9 vérifiant:
Q(1)=Q(2)=…=Q(8)=Q(9)=0.
Par le théorème de d'Alembert-Gauss, on en déduit que ce polynôme se factorise en R(X) (X-1) … (X-9); comme il est de degré 9, R(X) est un polynôme constant.
Par unitarité de Q(X), R(X)=1.

On en déduit que Q(10)=(10-1)…(10-9)=9!; et donc P(10)=Q(10)+10²=9!+100=362980.

Soit Q(x) = P(x) -x^2

les racines de Q sont 1 2 3....... 9
donc Q(10) = (10-1)*(10-2).....(10-9)= 9!
P(10) = 100 + 9!

trés joli

Beaucoup de bonnes réponses

Comme souvent avec les polynômes il suffit de prendre le problème par le bon bout . Q(X)=P(X)-X² est un polynôme unitaire de degré 9 dont les racines sont 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 9 c'est à dire que Q(X)=(X-1)(X-2)...(X-9) alors P(10)=Q(10)+10²= 9!+100 = 362 980 .

Merci pour la participation

Vasimolo

Ah ben oui!
J'ai fait la moitié du chemin.

Très joli problème.