Enigmes

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 #1 - 15-05-2011 23:56:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le carré de 1 0?

Une petite énigme sans prétention inspirée d'un vieil exercice de terminale smile

[latex]P(X) = X^9+a_8X^8+a_7X^7+...+a_1X+a_0[/latex] est un polynôme unitaire de degré 9 .

Il vérifie : [latex]P(1)=1[/latex] , [latex]P(2)=4[/latex] , [latex]P(3)=9[/latex] , [latex]P(4)=16[/latex] , ... , [latex]P(9)=81[/latex] .

Mais que peut bien valloir [latex]P(10)[/latex] ????

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : Les calculs se font aisément à la main , alors grosse artillerie s'abstenir big_smile



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 #2 - 16-05-2011 00:24:54

Cédric-29
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 17

Le carr éde 10 ?

Un polynôme d'ordre N possède N solutions complexes. Ces solutions le caractérisent à un facteur près.

on pose G(X) = P(X) -X^2 qui reste d'ordre 9 et s'annule pour X = 1, 2, .., 9 soit 9 solutions

donc G(X) = alpha*(X-1)(X-2)(X-3)...(X-9)


P(X) = G(X) + X^2

par identification du coefficient d'ordre le plus élevé, alpha=1.

P(10) = G(10) + 100 =  362880 + 100 = 362980

 #3 - 16-05-2011 02:18:19

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Le carér de 10 ?

Soit [latex]Q(X)=P(X)-X^2[/latex] alors [latex]Q(X)=(X-1)(X-2)....(X-9)[/latex] d'où [latex]Q(10)=9.8....1=9![/latex] et [latex]P(10)=9!+10^2=362980[/latex]


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #4 - 16-05-2011 10:04:40

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Le carré de 0 ?

362980

=9!+100
=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)+x² pour x=10

 #5 - 16-05-2011 10:38:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le caré de 10 ?

Déjà trois ( bonnes ) réponses smile

Vasimolo

 #6 - 16-05-2011 10:48:31

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

me carré de 10 ?

Je vais commencer par répondre à la question du titre. smile

Non car :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont solutions de :
[TeX]X^9+a_{8}X^8+a_{7}X^7+a_{6}X^6+a_{5}X^5+a_{4}X^4+a_{3}X^3+(a_{2}-1)X^2+a_{1}X+a_{0}=0[/TeX]
Comme un polynôme de degré 9 ne possède au maximum que 9 racines, 10 ne peut pas également être solution de sorte que P(10) ne peut pas être égale à 100.

Je cherche pour la suite sans devoir résoudre un système de 9 équations à 9 inconnues.

 #7 - 16-05-2011 11:28:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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le carté de 10 ?

Bonjour,
Aurais-je dû m'abstenir ?
Tout dépend si Excel est considéré comme "grosse artillerie" !!!
On peut en effet faire pas mal de choses sur des matrices avec Excel.
J'ai calculé ai = det(Ai) / det(A), Ai étant la matrice A dans laquelle j'ai remplacé la colonne i par la colonne i^2 - i^9.
J'obtiens tous mes ai et je calcule "bêtement" P(10).
Au final, je trouve P(10) = 362980 qui est validé par la case-réponse.
Mais j'ai bien conscience que ma solution n'est pas dans l'esprit du site.
Je continue donc à chercher une solution "plus élégante", en remarquant que
P(10) = (10-1)! + 10^2 (mais sans savoir s'il faut aller dans cette direction).
Bonne journée.
Frank

 #8 - 16-05-2011 14:17:44

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Le crré de 10 ?

On pose [latex]Q(X) = P(X) - X^2[/latex]. Q est un polynôme unitaire de degré 9, et chaque entier de 1 a 9 est racine de ce polynôme. Donc :
[TeX]Q(X) = (X-1)(X-2)...(X-9)[/TeX]
Donc :
[TeX]P(X) = X^2 + (X-1)(X-2)...(X-9)[/TeX]
Alors on calcule [latex]P(10) = 100 + 9! = 362980[/latex].


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 16-05-2011 15:10:48

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Lee carré de 10 ?

P(10)=362980
Mais j'ai malheureusement sorti la grosse artillerie en calculant les [latex]a_k[/latex] par un pivot de Gauss (merci Excel ...)

Sans grosse artillerie, avec des histoires de modulo, je n'arrivai qu'à :
P(10)=20(18k+5)

Si un pivot de Gauss est de la grosse artillerie (ce que j'estime !), alors je ne vois toujours pas de manière élégante de montrer ce résultat smile Je vais réfléchir !

 #10 - 16-05-2011 16:52:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Le carré de 100 ?

Mathias rejoins le groupe de tête !

Les autres ont la bonne réponse mais l'arsenal employé est un peu excessif lollollol

 #11 - 16-05-2011 17:19:31

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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le varré de 10 ?

J'ai la bonne réponse ??? Et mon arsenal est trop excessif ???

MUF! J'ai rien fait.

Je peux juste dire que P(10) > 100.

 #12 - 16-05-2011 18:50:01

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

le carré se 10 ?

362980

J'ai commencé par un raisonnement un peu excessif puis j'ai cherché plus simple. Espérons que mon raisonnement ne sera pas jugé excessif. smile
[TeX]P(X)-X^2[/latex] est un polynôme de degré au plus 9 et qui a donc au plus 9 racines. Or on en connait 9 (1, 2, ...9), c'est à dire toutes.

On peut donc écrire [latex]P(X)-X^2=k(X-1)(X-2)...(X-9)[/latex].

Or [latex]P(X)-X^2=X^9+...+(a_2-1)X^2+a_1X+a_0[/TeX]
L'égalisation est coefficients de degré 9 nous donne k=1 et donc:
[TeX]P(X)=(X-1)(X-2)...(X-9)+X^2[/TeX]
et donc P(10)=9!+100=362980 validé par la case réponse.

J'aimais bien aussi mon raisonnement excessif mais bon, ... smile

Merci pour cette énigme.

EDIT: Je viens de me rendre compte d'un corollaire intéressant:
Le polynôme P ne peut avoir comme image d'un entier son carré pour aucun autre entier. (Pas facile à écrire comme phrase).
De même, un polynôme de degré n (n>=2) ne peut avoir pour image d'un entier son carré qu'au maximum n fois et même: un polynôme de degré n ne peut avoir pour image d'un entier sa puissance m-ième (m<n) qu'au plus n fois.
Amusant...

 #13 - 16-05-2011 19:24:22

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1986
Lieu: Paris

Le caarré de 10 ?

Je pense qu'il faut passer par P(0)=-9! et P(10)+P(0)=100
Mais je n'arrive à montrer aucun des 2 lol

EDIT

Il suffit que je poste ce message pour que je tilte smile

Donc si je considère le polynôme Q suivant, unitaire :
[TeX]Q(X)=\prod_{k=1}^9(X-k)+X^2[/TeX]
On voit que [latex]Q(k)=P(k)=k^2[/latex] pour tout k entier compris entre 1 et 9.
Q-P est donc un polynôme de degré au plus 8 et comptant 9 racines, il est donc nul.

Et finalement :
[TeX]P(X)=\prod_{k=1}^9(X-k)+X^2[/TeX]
Et du coup [latex]P(10)=9!+100=362980[/latex]

Amusant smile

 #14 - 16-05-2011 23:17:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le ccarré de 10 ?

Bravo à Looping et aussi à Rivas malgré ses excès d'excessifs .

Je persiste et signe le résultat s'obtient sans autre outil que le cerveau dont nous disposons tous , d'une feuille , d'un crayon et de quelques minutes de calculs .

On peut bien sûr trouver amusant de résoudre un système de 9 équations à 9 inconnues ou autres monstruosités big_smile

Vasimolo

 #15 - 16-05-2011 23:56:29

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Le carré e 10 ?

Vasimolo a écrit:

Je persiste et signe le résultat s'obtient sans autre outil que le cerveau dont nous disposons tous

Tous, tous, c'est vite dit...

 #16 - 17-05-2011 08:34:08

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

le carré dr 10 ?

Q(x) = P(x)-x^2 a 9 racines : 1, 2, ... 9 et Q(x) est de degré 9
Q(x) = (x-1)(x-2)...(x-9)
P(x) =  (x-1)(x-2)...(x-9) + x^2
P(10) = 9!+100

 #17 - 17-05-2011 17:29:43

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

le varré de 10 ?

Bonjour,
J'ai trouvé la réponse avec la grosse artillerie Excel (indiquée plus haut).
Mais je cherche toujours une solution plus élégante et franchement je cale !!!
Je cherche la continuité sur x=10 de P(x), polynôme de degré 9 ayant au moins (et à mon avis exclusivement) 9 points communs avec la parabole Q(x)=x².
C'est une énigme plutôt surprenante: vivement l'expiration du délai.
Bonne journée.
Frank

 #18 - 17-05-2011 20:49:53

/dev/hda1
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 1

ke carré de 10 ?

En posant Q(X) = P(X)-X², on obtient un polynôme unitaire de degré 9 vérifiant:
Q(1)=Q(2)=…=Q(8)=Q(9)=0.
Par le théorème de d'Alembert-Gauss, on en déduit que ce polynôme se factorise en R(X) (X-1) … (X-9); comme il est de degré 9, R(X) est un polynôme constant.
Par unitarité de Q(X), R(X)=1.

On en déduit que Q(10)=(10-1)…(10-9)=9!; et donc P(10)=Q(10)+10²=9!+100=362980.

 #19 - 17-05-2011 23:04:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le carré d 10 ?

Deux nouvelles bonnes réponses smile

@ Racine , si , si , mais certains l'économise lollollol

Vasimolo

 #20 - 18-05-2011 08:10:03

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

e carré de 10 ?

Soit Q(x) = P(x) -x^2

les racines de Q sont 1 2 3....... 9
donc Q(10) = (10-1)*(10-2).....(10-9)= 9!
P(10) = 100 + 9!

trés joli

 #21 - 18-05-2011 18:32:43

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

L ecarré de 10 ?

La bonne réponse étant 362980, il ne me reste plus qu'à la trouver smile
(sans inverser une matrice)

 #22 - 18-05-2011 23:31:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

L carré de 10 ?

Beaucoup de bonnes réponses smile

Comme souvent avec les polynômes il suffit de prendre le problème par le bon bout . Q(X)=P(X)-X² est un polynôme unitaire de degré 9 dont les racines sont 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 9 c'est à dire que Q(X)=(X-1)(X-2)...(X-9) alors P(10)=Q(10)+10²= 9!+100 = 362 980 .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 #23 - 19-05-2011 08:37:57

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Le carréé de 10 ?

Bonjour,
Et, comme souvent, quand on a la réponse sous les yeux, on se dit: "mais bien sûr, c'est évident, comment n'y ai-je pas pensé !?!".
Vraiment une très bel énigme: merci.
Bonne journée.
Frank

 #24 - 19-05-2011 09:58:55

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Le caré de 10 ?

Ah ben oui!
J'ai fait la moitié du chemin.

Très joli problème.

 #25 - 19-05-2011 11:08:43

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Le caré de 10 ?

Tu avais raison, même mon cerveau pouvait sortir ça. Ça m'apprendra à ne pas faire les énigmes maths car c'est vraiment une jolie solution.

 

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