J'ai réussi à trouver une disposition permettant de placer 4 figures de 20cm^2 chacune.

Spoiler : Réponse
1) Accolé à un côté du carré, on place un rectangle de longueur 10 cm et de largeur 2cm : A(Rectangle)=20 cm^2
2) On prend ensuite un losange dont les diagonales mesurent respectivement 8,945 et 4,472 cm. C'est un losange de côté 5 cm avec A(Losange)=20 cm^2. On le place tel que ses deux sommets aigus touchent repectivement le rectangle ci-avant et un sommet inoccupé du carré.
3) On dessine le triangle de la manière suivante : sa base est le côté du carré opposé au rectngle et un de ses cotés est confondu avec un côte du losange. La longeur de ce coté est telle que la hauteur du triangle mesure 4 cm. De fait A(Triangle)=10*4/2=20 cm^2.
4) Enfin, on dessine un disque d'aire A(Disque)=20 cm^2, c'est-à-dire de rayon r=2,523 cm, que l'on place entre le rectangle et le triangle, tangent au rectangle et à au côté libre du carré. Ce disque ne chevauche pas le triangle.



Cela n'a rien de mathématique, mais je pense qu'il est difficile de faire mieux. D'une part je n'ai pas trouvé d'autres dispositions pour caser 4 figures de 20 cm^2 sans chevauchement. D'autre part, il est clair que dans la configuration montrée ici, il est impossible d'augmenter la dimension d'une figure (et donc son aire) sans provoquer de chevauchements.