Soit [latex]k>0[/latex] un entier non divisible par 3. Alors [latex]k[/latex] est de la forme [latex]3l+1[/latex] ou [latex]3l+2[/latex] avec [latex]l[/latex] un entier [latex]\ge 0[/latex].

Si [latex]k=3l+1[/latex] :
[TeX]4k^2+3
=4(3l+1)^2+3
=4(9l^2+6l+1)+3
=12(3l^2+2l)+7[/TeX]
Si [latex]k=3l+2[/latex] :
[TeX]4k^2+3
=4(3l+2)^2+3
=4(9l^2+12l+4)+3
=12(3l^2+4l+1)+7[/TeX]
Ainsi 4k²+3 est égal à 7 modulo 12.

k = 1 ou 2 modulo 3
donc k² = 2*2 ou 1*1 = 1 modulo 3
par suite 4k² +3 = 4*1 +3 modulo 3*4

finalement on a bien 4k²+3 = 7 modulo 12

[TeX]4k^2+3\equiv7\ \text{modulo} \ 12[/latex]  équivaut à [latex]12[/latex] divise [latex]4k^2-4[/TeX]
c'est à dire [latex]12 [/latex] divise [latex]4(k-1)(k+1)[/latex].

Il est clair que [latex]4[/latex] divise ce  produit.
Et, puisque [latex]3[/latex] ne divise pas [latex]k[/latex], [latex]3[/latex] divise soit [latex] k-1[/latex] soit [latex]k+1[/latex].
Donc [latex]3[/latex] divise aussi ce produit.

On termine en disant que [latex]3[/latex] et [latex]4[/latex] sont premiers entre eux pour justifier que[latex] 3\times4[/latex] divise  [latex]4(k-1)(k+1)[/latex].

4k²+3 =  (2k)²-2²+7 =  4(k-1)(k+1)+7

et 3 divise (k-1)(k+1)

Yanyan a écrit:

Suite aux difficultés rencontrés dans l'énigme Premiers modulo 12.
J'ai décidé de retarder l'affichage des réponses et de découper le problème.

Soit k>0 un entier non divisible par 3 montrer que 4k²+3 est égal à 7 modulo 12.

Moi, je ne comprends toujours pas ce qui pose problème dans les démonstrations du post initial.