Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 21-06-2011 20:46:12

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

premiers modulo 12: étapr 1

Suite aux difficultés rencontrés dans l'énigme Premiers modulo 12.
J'ai décidé de retarder l'affichage des réponses et de découper le problème.

Soit k>0 un entier non divisible par 3 montrer que 4k²+3 est égal à 7 modulo 12.



Annonces sponsorisées :

Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 21-06-2011 21:01:25

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

premiers modulo 12: érape 1

Soit [latex]k>0[/latex] un entier non divisible par 3. Alors [latex]k[/latex] est de la forme [latex]3l+1[/latex] ou [latex]3l+2[/latex] avec [latex]l[/latex] un entier [latex]\ge 0[/latex].

Si [latex]k=3l+1[/latex] :
[TeX]4k^2+3
=4(3l+1)^2+3
=4(9l^2+6l+1)+3
=12(3l^2+2l)+7[/TeX]
Si [latex]k=3l+2[/latex] :
[TeX]4k^2+3
=4(3l+2)^2+3
=4(9l^2+12l+4)+3
=12(3l^2+4l+1)+7[/TeX]
Ainsi 4k²+3 est égal à 7 modulo 12.

 #3 - 21-06-2011 21:29:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Premmiers modulo 12: étape 1

k étant non divisible par trois, il s'ecrit soit 3n+1, soit 3n+2, avec n entier.

4(3n+1)²+3=36n²+24n+7
4(3n+2)²+3=36n²+24n+19=36n²+24n+12+7

donc k est égal à 7 modulo 12


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 21-06-2011 22:52:28

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Premiers moduulo 12: étape 1

k = 1 ou 2 modulo 3
donc k² = 2*2 ou 1*1 = 1 modulo 3
par suite 4k² +3 = 4*1 +3 modulo 3*4

finalement on a bien 4k²+3 = 7 modulo 12

 #5 - 22-06-2011 07:15:59

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

Premiers moduo 12: étape 1

K vaut 1,2,4,5,7,8,10 ou 11 modulo 12
K^2 vaut 1 ou 4 modulo 12
4k^2 vaut 4 modulo 12
Et donc 4k^2+3 vaut 7 modulo 12

 #6 - 22-06-2011 09:54:20

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

peemiers modulo 12: étape 1

[TeX]4k^2+3\equiv7\ \text{modulo} \ 12[/latex]  équivaut à [latex]12[/latex] divise [latex]4k^2-4[/TeX]
c'est à dire [latex]12 [/latex] divise [latex]4(k-1)(k+1)[/latex].

Il est clair que [latex]4[/latex] divise ce  produit.
Et, puisque [latex]3[/latex] ne divise pas [latex]k[/latex], [latex]3[/latex] divise soit [latex] k-1[/latex] soit [latex]k+1[/latex].
Donc [latex]3[/latex] divise aussi ce produit.

On termine en disant que [latex]3[/latex] et [latex]4[/latex] sont premiers entre eux pour justifier que[latex] 3\times4[/latex] divise  [latex]4(k-1)(k+1)[/latex].

 #7 - 22-06-2011 10:27:13

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

remiers modulo 12: étape 1

Etape 1 (la plus simple !) :

Un k non divisible par 3 vaut [latex]3n+1[/latex] ou [latex]3n+2[/latex]. Alors, [latex]4k^2+3[/latex] vaut une des deux valeurs suivantes :
[TeX]4(3n+1)^2+3=4(9n^2+6n+1)+3=12(3n^2+2n)+7

ou

4(3n+2)^2+3=4(9n^2+12n+4)+3=12(3n^2+4n+1)+7[/TeX]
Donc [latex]4k^2+3[/latex] est congru à 7 modulo 12.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 22-06-2011 15:58:04

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Prmiers modulo 12: étape 1

4k²+3 =  (2k)²-2²+7 =  4(k-1)(k+1)+7

et 3 divise (k-1)(k+1)

 #9 - 23-06-2011 14:13:49

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3771
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

premiers moduli 12: étape 1

Soit k>0 un entier non divisible par 3 montrer que 4k²+3 est égal à 7 modulo 12.

k non divisible par 3 => k peut s'écrire [latex]3k' \pm1[/latex]

Donc [latex]4k^2 = 4(3k' \pm1)^2 = 4(9k'^2 \pm6k'+1) = 12(3k'^2 \pm2k') + 4[/latex]

Donc 4k² est congru à 4 modulo 12.
Donc 4k² + 3 est congru à 7 modulo 12.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #10 - 27-06-2011 18:43:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

premiers modylo 12: étape 1

Yanyan a écrit:

Suite aux difficultés rencontrés dans l'énigme Premiers modulo 12.
J'ai décidé de retarder l'affichage des réponses et de découper le problème.

Soit k>0 un entier non divisible par 3 montrer que 4k²+3 est égal à 7 modulo 12.

Moi, je ne comprends toujours pas ce qui pose problème dans les démonstrations du post initial.

 #11 - 27-06-2011 18:51:46

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

Premiers modulo 12 :étape 1

@gwen27: sur le post initial, tu montres juste que 4k^2+3 est congru à 7 modulo 12, alors que la question est de montrer qu'un de ses diviseurs, et de surcroît un de ses diviseurs premiers, est congru à 7 modulo 12 lui aussi

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete