Soit $k>0$ un entier non divisible par 3. Alors $k$ est de la forme $3l+1$ ou $3l+2$ avec $l$ un entier $\ge 0$.

Si $k=3l+1$ :
$$4k^2+3 =4(3l+1)^2+3 =4(9l^2+6l+1)+3 =12(3l^2+2l)+7$$
Si $k=3l+2$ :
$$4k^2+3 =4(3l+2)^2+3 =4(9l^2+12l+4)+3 =12(3l^2+4l+1)+7$$
Ainsi 4k²+3 est égal à 7 modulo 12.

k = 1 ou 2 modulo 3
donc k² = 2*2 ou 1*1 = 1 modulo 3
par suite 4k² +3 = 4*1 +3 modulo 3*4

finalement on a bien 4k²+3 = 7 modulo 12

$$4k^2+3\equiv7\ \text{modulo} \ 12[/latex]  équivaut à [latex]12[/latex] divise [latex]4k^2-4$$
c'est à dire $12$ divise $4(k-1)(k+1)$.

Il est clair que $4$ divise ce  produit.
Et, puisque $3$ ne divise pas $k$, $3$ divise soit $k-1$ soit $k+1$.
Donc $3$ divise aussi ce produit.

On termine en disant que $3$ et $4$ sont premiers entre eux pour justifier que$3\times4$ divise  $4(k-1)(k+1)$.

4k²+3 =  (2k)²-2²+7 =  4(k-1)(k+1)+7

et 3 divise (k-1)(k+1)

Yanyan a écrit:

Suite aux difficultés rencontrés dans l'énigme Premiers modulo 12.
J'ai décidé de retarder l'affichage des réponses et de découper le problème.

Soit k>0 un entier non divisible par 3 montrer que 4k²+3 est égal à 7 modulo 12.

Moi, je ne comprends toujours pas ce qui pose problème dans les démonstrations du post initial.