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#1 - 10-01-2013 22:29:59
- shadock
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Géométrie opur les nuls (12)
Allez une valeur sur cette fois ci,
Soit un triangle du plan, montrer que l'on peut toujours trouver quatre points sur ses côtés, qui forment un carré.
Amusez vous bien, et soyez imaginatif, un dessin suffit comme démo... Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#2 - 10-01-2013 22:40:49
- Franky1103
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Géométrie pour les nuls (12
Je ne sais pas dessiner sur ce site Un carré a 4 sommets et un triangle 3. Donc 2 sommets du carré seront sur un même côté du triangle (je prends le plus grand). Je fais "coulisser" ces 2 points sur ce grand côté jusqu'à ce qu'avec les 2 autres points, on obtienne un rectangle (et on sais toujours le faire). Enfin je rétrécis ou élargis ce rectangle (dont l'autre dimension varie dans le sens opposé) jusqu'à former un carré.
#3 - 10-01-2013 22:50:44
- Vasimolo
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Géométrie pour les nul s(12)
C'est un grand classique mais amusant
Un exercice moins drôle : sur une boucle , il existe toujours quatre points formant un carré ( ne cherche pas trop longtemps le problème est toujours ouvert !!! )
Vasimolo
#4 - 11-01-2013 01:43:05
- dylasse
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Géommétrie pour les nuls (12)
On remarque tout d'abord qu'un triangle a toujours au moins une hauteur dont la base appartient au coté. Pour s'en convaincre, on remarque qu'un triangle a toujours au moins 2 angles aigus, la hauteur issue de l'autre sommet coupe la base à l'intérieur du triangle.
Appelons A ce sommet, B et C les 2 autres sommets et H le pied de la hauteur. Prenons M un point de BH et construisons le rectangle MNOP où N appartient à AB avec MN ortho à BC, O appartient à AC et NO ortho à MN et enfin P appartient à BC et OP ortho à BC.
Lorsque M parcours BH, le rectangle passe de la limite où il est réduit au segment BC jusqu'à l'autre limite où il est réduit à AH. Ces 2 cas limites sont 2 rectangles orientés à 90°. Il existe donc un point de BH pour lequel le rectangle est un carré (car la fonction longueur (MN) - longueur (MP)) est une fonction continue)...
Sinon, on peut faire un dessin
#5 - 11-01-2013 01:54:38
- titoufred
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Géoémtrie pour les nuls (12)
Un coté du triangle est appelé base (on dira que cette base est horizontale). On considère l'ensemble des rectangles qui ont 2 sommets sur la base et 1 sommet sur chacun des 2 autres cotés. Parmi ces rectangles, on passe continument d'un rectangle aplati horizontal à un rectangle aplati vertical, et donc on passe par un carré à un moment.
#6 - 11-01-2013 09:52:02
- masab
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Géométrie pour les nuls 12)
On trace un petit carré dans l'angle B. La droite bleue permet de construire le point S. A partir de S on construit un carré dont les 4 sommets sont sur les côtés du triangle.
Cette énigme admet plusieurs solutions.
#7 - 11-01-2013 17:20:48
- shadock
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féométrie pour les nuls (12)
Que des bonnes réponses pour le moment @Vasimolo je ne savais pas c'est curieux
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#8 - 11-01-2013 18:18:26
- nodgim
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Géométrie pourr les nuls (12)
Ben oui, ça parait évident. On trace une parallèle à la base du triangle qui coupe les 2 autres cotés. Aux 2 intersections, on projette les hauteurs et ça va former un rectangle. Selon la hauteur de la parallèle, le rectangle peut passer de plus long que large à plus large que long. Donc on peut toujours obtenir un carré.
#9 - 11-01-2013 22:39:06
- Jackv
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Géométrie poru les nuls (12)
On peut même en construire 3 !
Ce que l'on ne peut faire sur un triangle amblygone ( ou obtusangle si vous préférez) qu'à la condition pour 2 d'entre eux d'accepter que l'un des sommets du carré se situe sur le prolongement de l'un ou l'autre des petits cotés.
#10 - 12-01-2013 15:43:06
- masab
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Géomértie pour les nuls (12)
Voici un triangle ABC avec les 6 carrés inscrits tracés !
#11 - 12-01-2013 16:07:20
- shadock
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Géométrie pour les nuls (112)
Encore des bonnes que réponses, @masab les quatres points sont sur le triangles pas sur des prolongement des côtés, mais sinon c'est juste
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#12 - 12-01-2013 16:12:57
- gwen27
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Géométrie pou rles nuls (12)
En prenant comme base le plus grand côté, il suffit de faire descendre une parallèle à ce côté depuis le sommet opposé jusqu'à ce que sa largeur (croissante ) soit égale à sa hauteur (décroissante ) .
Ca devrait marcher avec tous les côtés dont les angles adjacents n'excèdent pas 90°
#13 - 12-01-2013 16:32:37
- golgot59
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géométrie piur les nuls (12)
Soit un triangle.
Tracer la parallèle au plus grand côté passant par le milieu des 2 autres côtés. Cette droite est parallèle au plus grand côté. Tracer ensuite les perpendiculaires à cette droite passant par les 2 milieux précédemment mentionnés.
Ces deux droites ainsi que les deux droites parallèles précédentes forment un rectangle.
Il suffit ensuite de déplacer la droite qui passe par les milieux vers la base ou vers le sommet du triangle pour faire varier les longueurs des côtés du rectangle et s'arrêter lorsqu'elle sont égales.
Je ne sais pas si ça suffit comme démonstration...
#14 - 13-01-2013 10:27:53
- masab
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Géométrie pour les nusl (12)
Voici une figure avec les 3 carrés inscrits intérieurs au triangle
#15 - 14-01-2013 19:51:38
- shadock
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Géométrie pour les nuls (21)
Je pense que je n'ai pas besoin de mettre de correction tout est juste.
Shadock
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#16 - 14-01-2013 21:52:22
- Franky1103
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Géométrie our les nuls (12)
Question (à laquelle que je ne sais pas répondre): Les trois carrés (bleu, vert et rouge) des dessins de Jackv et de masab ont-ils la même valeur de leur côté ?
Edit: orthographe modifiée
#17 - 14-01-2013 22:32:58
- Vasimolo
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Géométrie pour ls nuls (12)
Pas du tout et la recherche du plus grand est un bel exercice loin d'être évident
Vasimolo
#18 - 16-01-2013 11:51:08
- masab
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géométrie pour les nyls (12)
On considère un triangle ABC. On considère le carré ayant un côté sur la droite (BC), un sommet sur le segment [AB] et un autre sommet sur le segment [AC]. On note [latex]\alpha[/latex] le côté de ce carré, on note a=BC et on note S l'aire du triangle ABC. Alors on a [TeX]\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{a} + \frac{a}{2S} = \frac{1}{a} + \frac{1}{h_A}[/TeX] En particulier [latex]\alpha[/latex] ne dépend que de a et de la hauteur h_A issue de A .
#19 - 16-01-2013 18:10:46
- nodgim
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Géomtrie pour les nuls (12)
Vasimolo a écrit:C'est un grand classique mais amusant
Un exercice moins drôle : sur une boucle , il existe toujours quatre points formant un carré ( ne cherche pas trop longtemps le problème est toujours ouvert !!! )
Vasimolo
Une boucle pas forcément convexe ?
#20 - 16-01-2013 19:07:32
- Vasimolo
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Géomtérie pour les nuls (12)
Tout à fait Thierry ( qu'il repose en paix )
Vasimolo
#21 - 16-01-2013 20:29:12
- golgot59
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Géométrrie pour les nuls (12)
J'y ai réfléchi depuis deux jours, c'est tendu à justifier !!
#22 - 17-01-2013 14:46:26
- masab
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Géométrie poour les nuls (12)
L'assertion "sur une boucle , il existe toujours quatre points formant un carré" est démontrée si la courbe possède une tangente en tout point et si cette dernière varie continûment ; autrement dit si la courbe est de classe C1.
#23 - 17-01-2013 14:57:51
- halloduda
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Géométrei pour les nuls (12)
Le dessin suffit, c'est la construction classique
#24 - 17-01-2013 15:50:31
- Franky1103
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Géométrie pour les nuls (112)
masab a écrit:[latex]\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{a} + \frac{a}{2S} = \frac{1}{a} + \frac{1}{h_A}[/latex]
Pour [latex]{h_A} = \frac{2S}{a}[/latex] j'ai compris. Mais d'où sors tu la première égalité ?
#25 - 17-01-2013 17:47:58
- masab
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Géométrie our les nuls (12)
Pour prouver la 1ère égalité, il suffit d'écrire que l'aire de ABC est égale à l'aire du carré plus l'aire de 3 triangles. Avec les notations de ma 1ère figure [TeX]Aire(ATS)=S(\alpha/a)^2[/TeX] [TeX]Aire(BTU)+Aire(CSV)=S(\alpha/h_A)^2[/TeX] d'où [TeX]\alpha^2+S(\alpha/a)^2+S(\alpha/h_A)^2=S[/TeX] Or [TeX]h_A=2S/a[/TeX] etc
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