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 #1 - 10-01-2013 22:29:59

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Géométrei pour les nuls (12)

Allez une valeur sur cette fois ci,

Soit un triangle du plan, montrer que l'on peut toujours trouver quatre points sur ses côtés, qui forment un carré.

Amusez vous bien, et soyez imaginatif, un dessin suffit comme démo...
Shadock smile



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 #2 - 10-01-2013 22:40:49

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Géométrie pour lles nuls (12)

Je ne sais pas dessiner sur ce site sad Un carré a 4 sommets et un triangle 3. Donc 2 sommets du carré seront sur un même côté du triangle (je prends le plus grand). Je fais "coulisser" ces 2 points sur ce grand côté jusqu'à ce qu'avec les 2 autres points,
on obtienne un rectangle (et on sais toujours le faire). Enfin je rétrécis ou élargis ce rectangle (dont l'autre dimension varie dans le sens opposé) jusqu'à former un carré.

 #3 - 10-01-2013 22:50:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

géométrie ppur les nuls (12)

C'est un grand classique mais amusant smile

Un exercice moins drôle : sur une boucle , il existe toujours quatre points formant un carré ( ne cherche pas trop longtemps le problème est toujours ouvert !!! )

Vasimolo

 #4 - 11-01-2013 01:43:05

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

géomérrie pour les nuls (12)

On remarque tout d'abord qu'un triangle a toujours au moins une hauteur dont la base appartient au coté. Pour s'en convaincre, on remarque qu'un triangle a toujours au moins 2 angles aigus, la hauteur issue de l'autre sommet coupe la base à l'intérieur du triangle.

Appelons A ce sommet, B et C les 2 autres sommets et H le pied de la hauteur.
Prenons M un point de BH et construisons le rectangle MNOP où N appartient à AB avec MN ortho à BC, O appartient à AC et NO ortho à MN et enfin P appartient à BC et OP ortho à BC.

Lorsque M parcours BH, le rectangle passe de la limite où il est réduit au segment BC jusqu'à l'autre limite où il est réduit à AH. Ces 2 cas limites sont 2 rectangles orientés à 90°.
Il existe donc un point de BH pour lequel le rectangle est un carré (car la fonction longueur (MN) - longueur (MP)) est une fonction continue)...

Sinon, on peut faire un dessin

 #5 - 11-01-2013 01:54:38

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Géométrie pour les nuls (1)2

Un coté du triangle est appelé base (on dira que cette base est horizontale). On considère l'ensemble des rectangles qui ont 2 sommets sur la base et 1 sommet sur chacun des 2 autres cotés. Parmi ces rectangles, on passe continument d'un rectangle aplati horizontal à un rectangle aplati vertical, et donc on passe par un carré à un moment.

 #6 - 11-01-2013 09:52:02

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Géométrie pour les nuls (1)

On trace un petit carré dans l'angle B.
La droite bleue permet de construire le point S.
A partir de S on construit un carré dont les 4 sommets sont sur les côtés du triangle.

http://www.prise2tete.fr/upload/masab-carre.jpg
Cette énigme admet plusieurs solutions.

 #7 - 11-01-2013 17:20:48

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Géométrie pour les nls (12)

Que des bonnes réponses pour le moment smile
@Vasimolo je ne savais pas c'est curieux yikes


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 #8 - 11-01-2013 18:18:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Géomérie pour les nuls (12)

Ben oui, ça parait évident.
On trace une parallèle à la base du triangle qui coupe les 2 autres cotés. Aux 2 intersections, on projette les hauteurs et ça va former un rectangle. Selon la hauteur de la parallèle, le rectangle peut passer de plus long que large à plus large que long. Donc on peut toujours obtenir un carré.

 #9 - 11-01-2013 22:39:06

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Gééométrie pour les nuls (12)

On peut même en construire 3 !
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Triangle.png
Ce que l'on ne peut faire sur un triangle amblygone ( ou obtusangle si vous préférez) qu'à la condition pour 2 d'entre eux d'accepter que l'un des sommets du carré se situe sur le prolongement de l'un ou l'autre des petits cotés.

 #10 - 12-01-2013 15:43:06

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Géométrie pour les nulss (12)

Voici un triangle ABC avec les 6 carrés inscrits tracés !
http://www.prise2tete.fr/upload/masab-carres6.jpg

 #11 - 12-01-2013 16:07:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Géométrie pour les nuuls (12)

Encore des bonnes que réponses, @masab les quatres points sont sur le triangles pas sur des prolongement des côtés, mais sinon c'est juste smile


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 #12 - 12-01-2013 16:12:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

géométrie pour les nums (12)

En prenant comme base le plus grand côté, il suffit de faire descendre une parallèle à ce côté depuis le sommet opposé jusqu'à ce que sa largeur (croissante ) soit égale à sa hauteur (décroissante ) .

Ca devrait marcher avec tous les côtés dont les angles adjacents n'excèdent pas 90°

 #13 - 12-01-2013 16:32:37

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

géométrie pour les nums (12)

Soit un triangle.

Tracer la parallèle au plus grand côté passant par le milieu des 2 autres côtés. Cette droite est parallèle au plus grand côté. Tracer ensuite les perpendiculaires à cette droite passant par les 2 milieux précédemment mentionnés.

Ces deux droites ainsi que les deux droites parallèles précédentes forment un rectangle.

Il suffit ensuite de déplacer la droite qui passe par les milieux vers la base ou vers le sommet du triangle pour faire varier les longueurs des côtés du rectangle et s'arrêter lorsqu'elle sont égales.

Je ne sais pas si ça suffit comme démonstration...

 #14 - 13-01-2013 10:27:53

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Géométrie pour les nulss (12)

Voici une figure avec les 3 carrés inscrits intérieurs au triangle
http://www.prise2tete.fr/upload/masab-carres3.jpg

 #15 - 14-01-2013 19:51:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

géométrie pour les nyls (12)

Je pense que je n'ai pas besoin de mettre de correction tout est juste.

Shadock smile


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 #16 - 14-01-2013 21:52:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Géométrie pour les nuls (1)

Question (à laquelle que je ne sais pas répondre):
Les trois carrés (bleu, vert et rouge) des dessins de Jackv et de masab ont-ils la même valeur de leur côté ?

Edit: orthographe modifiée sad

 #17 - 14-01-2013 22:32:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

géométriz pour les nuls (12)

Pas du tout et la recherche du plus grand est un bel exercice loin d'être évident smile

Vasimolo

 #18 - 16-01-2013 11:51:08

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

géométrie pour les nyls (12)

On considère un triangle ABC.
On considère le carré ayant un côté sur la droite (BC), un sommet sur le segment [AB] et un autre sommet sur le segment [AC]. On note [latex]\alpha[/latex] le côté de ce carré, on note a=BC et on note S l'aire du triangle ABC.
Alors on a
[TeX]\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{a} + \frac{a}{2S} = \frac{1}{a} + \frac{1}{h_A}[/TeX]
En particulier [latex]\alpha[/latex] ne dépend que de a et de la hauteur h_A issue de A .

 #19 - 16-01-2013 18:10:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Géométrie ppour les nuls (12)

Vasimolo a écrit:

C'est un grand classique mais amusant smile

Un exercice moins drôle : sur une boucle , il existe toujours quatre points formant un carré ( ne cherche pas trop longtemps le problème est toujours ouvert !!! )

Vasimolo

Une boucle pas forcément convexe ?

 #20 - 16-01-2013 19:07:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

géométrie pout les nuls (12)

Tout à fait Thierry ( qu'il repose en paix sad )

http://img803.imageshack.us/img803/5421/carrdansuneboucle.jpg

Vasimolo

 #21 - 16-01-2013 20:29:12

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

géométrie ppur les nuls (12)

J'y ai réfléchi depuis deux jours, c'est tendu à justifier !! yikes

 #22 - 17-01-2013 14:46:26

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Géométrie pour les nuls (12))

L'assertion "sur une boucle , il existe toujours quatre points formant un carré" est démontrée si la courbe possède une tangente en tout point et si cette dernière varie continûment ; autrement dit si la courbe est de classe C1.

 #23 - 17-01-2013 14:57:51

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

géométrie pour leq nuls (12)

Le dessin suffit, c'est la construction classique
http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-carr-triang.png

 #24 - 17-01-2013 15:50:31

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Géométri pour les nuls (12)

masab a écrit:

[latex]\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{a} + \frac{a}{2S} = \frac{1}{a} + \frac{1}{h_A}[/latex]

Pour [latex]{h_A} = \frac{2S}{a}[/latex] j'ai compris. Mais d'où sors tu la première égalité ?

 #25 - 17-01-2013 17:47:58

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Géométrie pour es nuls (12)

Pour prouver la 1ère égalité, il suffit d'écrire que l'aire de ABC est égale à l'aire du carré plus l'aire de 3 triangles. Avec les notations de ma 1ère figure
[TeX]Aire(ATS)=S(\alpha/a)^2[/TeX]
[TeX]Aire(BTU)+Aire(CSV)=S(\alpha/h_A)^2[/TeX]
d'où
[TeX]\alpha^2+S(\alpha/a)^2+S(\alpha/h_A)^2=S[/TeX]
Or
[TeX]h_A=2S/a[/TeX]
etc

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