En général, quand on veut une famille infinie d'entiers premiers entre eux deux à deux, il n'y a pas 36 solutions: il faut passer par le produit de tous les nombres existant et y ajouter un nombre premier avec chacun d'eux pour obtenir l'élément suivant.
On va donc définir U et P les deux suites suivantes
$$U_1 = 4.1^2+3 = 7\\ P_1 = U_1\\ P{n+1} = P_n.U_{n+1}\\ U_{n+1} = 4.P_n^2 + 3\\ $$
On vérifie que tout marche bien:
1) Pn ne doit pas être un multiple de 3
Par récurrence :
P1 = U1 = 7 et n'est pas un multiple de 3
Si Pn n'est pas un multiple de 3, alors Un+1 = 4Pn^2 + 3 n'est pas un multiple de 3, donc Pn+1 = Pn*Un+1 non plus, CQFD

2) Un+1 est premier avec tous les Ui avec i<n
Par construction: Pn est le produit de tous les Un. Aucun d'eux n'est multiple de 3 (car congrus à 7 modulo 12) et sont donc premiers avec 3.
Par conséquent, pour tout i; 4.Pn^2 est divisible par Ui et pour tout i, et 4Pn^2+3 est premier avec Ui


La suite Un contient donc une infinité d'entiers 4k^2+3 tous premiers entre eux.
Ils n'ont donc aucun facteur premier commun par définition, or chacun d'eux possède un facteur premier congru à 7 modulo 12.
Conclusion: chaque Un admet un facteur premier congru à 7 modulo 12, qui est par construction toujours différent; il en existe donc une infinité CQFD

Ce que je sais depuis un moment (bien avant que tu ne poses cette énigme) c'est que la fonction 4n²+-a est une usine à découvrir des nombres premiers.

Pour 4n²+3, n=1 donne 7. 7 divise 4n²+3 tous les n=7k+-1. Si on fait la liste des 4n²+3, on sait donc où sont ceux qui sont divisibles par 7.
De même, pour n=2, donne 19, on sait donc que pour les n=19+-2 la fonction est divisible par 19.
De test en test, on peut donc créer un crible comme pour celui des entiers naturels. Ce crible comporte toujours des cases vides (un peu long à prouver, mais je le prouve).
Comme 4n²+3 est un 12k+7 (si n non triple), ça ne peut être obtenu que par un produit de premiers dans lequel il y a au moins un 7 modulo 12: en effet, modulo 12, on peut avoir comme premier autre que 7: un 1 un 5 ou un 11, mais leur produit ne donne aucun 7. il y aura donc nécessairement un premier 7 modulo 12 dans un 4n²+3 si n non triple. 

Additif:
Maintenant, je prouve que 2 nombres premiers ne peuvent apparaitre en même temps dans une case vide:
Si 4n²+3=pq et que p et q sont des premiers qui apparaissent pour la 1ère fois alors n<p-n et n<q-n. donc p et q>2n et leur produit pq>4n² et très vite >4n²+3.
D'où absurdité. Donc les nombres premiers apparaissent 1 par 1.