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 #1 - 23-06-2011 10:59:26

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

En equilibre mais aps une sphere.

Salut,
Un appel à la culture mathématique des gens (ou a leur sens des mots clef sous google mes tentatives n'ont rien donné)

On m'a parlé d'un objet 3d qui posé sur une table dans n'importe quelle orientation est stable. Et qui ne soit pas une sphère...
(Attention un cube ne convient pas, il n'est pas stable dans n'importe quel orientation, seulement dans 6 + 12 + 8).

Et une petite variation en posant l'objet dans un liquide. (stable aussi dans n'importe quelle orientation) c'est un autre probleme bien sur.

Si vous avez le nom de cette chose...

J'allais clarifier l'énonce et en le relisant je ne vois pas ce qui n'est pas clair.
Je n'ai jamais parlé d'équilibre stable ou d'équilibre instable. Ce que j'ai dit c'est que n'importe quelle orientation de l'objet est stable selon les lois de la gravite lorsque celui ci est au contact d'un plan horizontal).
Avec le mot équilibre peut être? Faire en sorte que n'importe quelle orientation de l'objet soit en équilibre lorsque celui ci est posé sur une table. (que cette équilibre soit stable ou instable)

Avec un contre exemple?
Posez un cube sur une table (sur une de ses faces) il est en équilibre et ne va pas bouger. Maintenant faite lui subir une rotation de 10deg par rapport a l'axe définie par une de ses arrêtes qui touche le sol, dans cette orientation clairement il n'est pas en équilibre, si on le lâche il va revenir dans la position de départ.



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 #2 - 23-06-2011 11:15:11

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

n equilibre mais pas une sphere.

Il y a le Gömböc

http://www.gomboc.eu/file/kepgaleria/medium/gomboc_001a.jpg

ici http://www.gomboc.eu/en/site.php


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 23-06-2011 11:18:03

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

En equilibrre mais pas une sphere.

L'énoncé est ambigu. Que veut dire "posé" dans "posé sur un table".
Si "posé" veut dire: "non soutenu par un point de contact exterieur", alors évidemment une fois qu'il est à l'équilibre il est stable.
A moins que justement la question soit que tous les équilibres soient stables?

Dans ce cas un cube ne convient pas. On peut théoriquement le faire tenir en équilibre sur une arête mais cet équilibre n'est pas stable.

Je crois qu'il faut clarifier l'énoncé...

 #4 - 23-06-2011 11:47:00

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

En equilirbe mais pas une sphere.

@franck9525: Le gombok est un bel objet et ca caractéristique n'est pas celle recherché. (Il a les propriété d'un culbuto en étant pourtant totalement homogène)
@Tout le monde: j'ai clarifié l'énoncé.

 #5 - 23-06-2011 13:02:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

En equilibre mais pas un sphere.

Il ne bougeait pas avant...
http://img.over-blog.com/150x183/3/53/70/02/e.jpg

Bon, c'est un objet déformable ?

 #6 - 23-06-2011 13:22:30

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

En equilibre mais ppas une sphere.

>>C'est un objet deformable?
Pas que je sache.

PS: si quelqu'un pense pouvoir trouver une solution en 2D mais en autorisant une densité non homogène ca m'intéresse aussi.

 #7 - 23-06-2011 21:22:08

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

En equilibre mais pas une sphre.

C'est mathématiquement impossible si l'objet est indéformable.
Par contre il peut y avoir un mécanisme caché dans l'objet qui lui permette d'être plus ou moins stable.

 #8 - 23-06-2011 23:17:40

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

En equilibre mais pas uen sphere.

Clydevil a écrit:

Avec un contre exemple?
Posez un cube sur une table (sur une de ses faces) il est en équilibre et ne va pas bouger. Maintenant faite lui subir une rotation de 10deg par rapport a l'axe définie par une de ses arrêtes qui touche le sol, dans cette orientation clairement il n'est pas en équilibre, si on le lâche il va revenir dans la position de départ.

Oui mais dans ce cas la il n'est pas "posé" mais "tenu".
Lorsqu'il est posé, c'est soit sur une face et c'est un équilibre stable, soit sur une arête soit sur un coin et si c'est un équilibre, il est instable.

De toute façon, je suis d'accord avec Irmo, si ce n'est pas une sphère ça n'existe pas (pleine ou creuse mais homogène).
En effet la normale (au plan tangent) au point de contact (ou par rapport à l'isobarycentre de la surface de contact) doit passer par le centre de gravité pour assurer la stabilité.
Seule une sphère homogène assure cela dans tous les cas.

Sauf si on considère que "posé" veut dire à l'équilibre.

Pour la sphére, on peut considérer une sphère creuse dont l'épaisseur du "bord" n'est pas la même partout si la densité du bord varie de façon appropriée pour assurer l'homogénéité globale.

 #9 - 23-06-2011 23:27:16

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

en equilibre maiq pas une sphere.

Han la honte, rivas il confond sphère et boule tongue

 #10 - 23-06-2011 23:48:19

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

En equilibre mais pas une sphhere.

smile

En fait j'ai tapé un peu vite et je voulais dire à la fois boule mais aussi "boule creuse" ou "sphère épaisse" au choix (comme pour le verre à moitié ...) puisque ça marche aussi pour ces volumes.
Et dans ce dernier cas, l'epaisseur de la "couronne sphérique" n'est pas nécessairement sphérique si le matériau n'est pas dense mais que la masse de chaque partie de la "croute" d'un même angle solide soit la même...

J'espère avoir clarifié smile

 #11 - 23-06-2011 23:52:56

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

En equiibre mais pas une sphere.

Il me semble qu'un noyau dense baignant dans une coque en forme d'oeuf ou de saucisse serait stable dans tous les sens. smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 24-06-2011 00:04:02

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

En equilibre mais pas une shere.

Il faut que cet objet ait un coeur liquide ou mou laissant migrer le noyau dense. Je réfléchissais à un objet solide indéformable...

 #13 - 24-06-2011 00:33:03

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

En equilibre mai pas une sphere.

Irmo dit: "C'est mathématiquement impossible si l'objet est indéformable."
Rivas dit: "si ce n'est pas une sphère ça n'existe pas".

Et moi je dis que c'est avec ce genre de "bon sens" qu'on fait des erreurs mathématiques :p et Banach Tarski il en fait quoi de votre bon sens? :p
Cela dit si vous avez un argument un peu plus poussé je suis preneur mais je pense malheureusement que même si c'est réellement impossible c'est certainement assez dur à démontrer.

Par "sphère" je ne désignais que l'enveloppe externe en contact avec la table.

Vous semblez parfois envisager que ça puisse être possible avec un objet non homogène, honnêtement je ne vois pas de solution même avec cette liberté supplémentaire.

Certains évoquent des objets déformables: non.

 #14 - 24-06-2011 01:08:29

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

En equilibre maiis pas une sphere.

Il apparait que j'ai mal interprété le post de Clydevil et nous avons pu clarifier cela en MP.
J'ai donc effacé mon post précédent ici.

 #15 - 24-06-2011 01:49:23

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

en equilibre mais pas une sphete.

Ok, voici une tentative de démonstration que ce n'est pas possible si l'enveloppe n'est pas une sphère:


Je suppose l'objet indéformable. De cette supposition découle un fait très important: le centre de gravité G de l'objet est toujours au même endroit, quelque soit l'orientation de l'objet. Je vais aussi supposer l'objet convexe, ce n'est pas une grande contrainte car l'objet étant posé sur une surface plane, il n'est en contact avec la table qu'avec ses points extrémaux.
Tu peux remarquer que je ne fais aucune hypothèse par rapport à l'homogénéité, cela n'influe pas sur le résultat.

Comment caractériser le fait que l'objet est stable quelque soit la direction dans laquelle il est posé? En voici une:
Considère un point de contact M entre l'objet et la table. Pour que l'objet soit stable, il faut que le centre de gravité G soit à la verticale de M. Cela implique que l'objet admet un plan tangent en M et que ce plan tangent est orthogonal à la droite (GM).
Premièrement, l'objet ne doit avoir aucun angle en sa surface.
Deuxièmement:
Soit M un point de la surface de l'objet.
Posons l'objet de façon que M soit verticalement en dessous du centre de gravité G. Si M n'est pas en contact avec la table, alors c'est clair que l'objet n'est pas en équilibre (cela vient du fait que l'objet est convexe). Donc M doit être en contact avec la table. Le plan formé par la table est alors tangent à l'objet au point M et ce plan est orthogonal à (MG).

Résumons, l'objet présente les caractéristiques suivantes:
- Existence d'un centre de gravité G,
- Pour tout point M de la surface de l'objet, l'objet admet un plan tangent en ce point, et ce plan tangent est orthogonal à (GM).

Je vais démontrer la chose suivante:
Soient M et N deux points de la surface, alors les longueurs GM et GN sont égales.
Ceci implique bien-sûr que la surface de l'objet est une sphère (de centre G).
La démo va utiliser un peu de produit scalaire et de géométrie différentielle.

Soient donc M et N deux points de la surface (qu'est ce qu'on se répète!).
Considérons un chemin de M à N passant sur la surface. C'est à dire une fonction c:[0, 1]->S (où S est la surface de l'objet) telle que:
- c(0)=M,
- c(1)=N
- c:[0, 1]->S est continu sur [0, 1].
Un tel chemin existe, ça c'est évident. Ce qui est moins évident c'est
qu'on peut trouver un tel chemin qui soit de classe C(1) (l'équivalent de dérivable à dérivée continue pour les fonctions à valeur réelle). En fait c'est pas très difficile, le plus court chemin entre M et N convient par exemple, il est même de classe C(infini), c'est juste que... j'ai la grosse flemme. tongue

Ensuite, je considère la fonction d:S->R qui à un point M de la surface associe la distance au carré GM².
Cette fonction est de classe C(1) sur S et même C(infini).
Et pour finir, soit f:[0, 1]->R la fonction composée:  f = d o c.
f est dérivable sur [0, 1] car elle est la composée de fonction C(1).

Avant de continuer, je vais écrire f sous une forme plus agréable:
Pour t dans [0, 1], f(t) = d(c(t)) = ( distance entre G et c(t) )² ,
autrement dit, en terme de vecteur et produit scalaire:
[latex]f(t)=\vec{G c(t)}\cdot\vec{G c(t)}[/latex].
Tout de suite les choses sont beaucoup plus simples lol
Dérivons f:
[latex]f'(t)=2\cdot \vec{G c(t)}\cdot \vec{G c'(t)}[/latex].
Mais que dire de ce [latex]\vec{G c'(t)}[/latex]???
Eh ben tout simplement que c'est le vecteur vitesse du chemin c au temps t. Or:
- le chemin se fait selon la surface,
- au point c(t) la surface est tangente à un plan qui est orthogonal à Gc(t),
on en déduit que [latex]\vec{G c'(t)}[/latex] est orthogonal à [latex]\vec{G c(t)}[/latex] !!!!
Ceci implique que:
[latex]f'(t)=0[/latex] (pour tout t dans [0, 1]).
Si ça c'est pas beau!

La suite, tu la voies venir: la fonction f a une dérivée nulle sur [0, 1] donc elle est constante. En particulier f(0)=f(1), ce qui donne exactement GM²=GN².
Donc GM=GN.



Ouf!

 #16 - 24-06-2011 02:13:07

irmo322
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en equilibre maus pas une sphere.

PS pour la petite variation dans un liquide:
Il suffit de prendre n'importe quel solide ayant une densité exactement à mi-chemin entre celle du liquide et celle de l'air.
Quand tu le mets dans le liquide, le centre de symétrie (qui est aussi le centre de gravité) arrive pile-poil au niveau du liquide et l'objet est en équilibre quelle que soit son orientation.

 #17 - 24-06-2011 09:17:41

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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en equilinre mais pas une sphere.

@rivas: je vais envoyer un mail. sad (c'est fait)
@irmo322: Une belle tentative, qui me convainc presque totalement à un petit détail près assez gênant je pense:
Imagine une sphère dont je retire une petite calotte ceci créant une sorte de face et une arrête circulaire autour, je déforme un peu le reste de la sphère autour de l'arrête (sans "arrondir" la face crée) mais de sorte à faire disparaitre l'arrête (plus d'angle, ou dérivée continue des chemins si tu préfères).

On a bien un objet convexe.

Regarde ce qu'il se passe lorsqu'on fait rouler l'objet vers la face en question.
Lorsque l'objet se trouve sur sa face, la condition de stabilité est légèrement différente de dans ta modélisation car il n'y a pas un point de contact mais une surface. (Du coup on ne sait pas trop de ou vers ou on a considérer un chemin continu définissant des normales ni même si parler de continuité est correcte)
Tu vois ce que je veux dire?

Je pense que ca invalide la démonstration, qu'en penses tu?

 #18 - 24-06-2011 10:14:26

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

En equilibre mais pas une spheere.

@Clydevil: L'objet que tu décris n'est pas stable. Si tu le poses "presque" sur sa surface plane, il tombre sur celle-ci.

Je reviens donc à mon commentaire initial: je ne pense pas qu'on puisse résoudre ce problème sans PREALABLEMENT clarifier ce que l'on appelle: "posé".
Je cite Irmo:

Je vais aussi supposer l'objet convexe, ce n'est pas une grande contrainte car l'objet étant posé sur une surface plane, il n'est en contact avec la table qu'avec ses points extrémaux

.

Cette phrase suppose que l'objet a déja atteint son équilibre sur la table.
Sinon si on le pose sur une pointe, il tombe jusqu'à un équilibre. Il n'y a qu'à imaginer une étoile en 3D. Si on la pose sur une point elle tombe jusqu'à ce que 3 pointes soient en contact avec la table.
Dans ce cas, le problème n'a pas de sens: n'importe quel objet finit par atteindre un point d'équilibre (pas de mouvement perpétuel je le rappelle).

La question originale n'implique pas cela mais que l'objet posé est IMMEDIATEMENT en équilibre, quelque soit la position dans laquelle on le pose.

Dans ce cas (équilibre immédiatement obtenu quelque soit la façon de poser l'objet), seul un objet dont l'enveloppe extérieure est sphérique répond au problème. Cet objet doit de plus être homogène sinon il existera une position pour laquelle le centre de gravité ne sera pas "au dessus" du point de contact ce qui créera un moment qui fera basculer l'objet. Il reste donc des sphères mathématiques ou concrètement des boules pleines ou creuses ou "feuilletés" du moment que le feuilletage est homogène.

 #19 - 24-06-2011 10:28:39

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

En euqilibre mais pas une sphere.

"L'objet que tu décris n'est pas stable. Si tu le poses "presque" sur sa surface plane, il tombre sur celle-ci."

Je sais, ce n'était qu'un contre exemple montrant que la condition de stabilité de la demo n'était pas "complète". Ça invalidait l'argument du chemin continu de points de contact.

(Je tente toujours de contacter le mathématicien qui m'a parlé de cela sur un stand d'animation math, je suis curieux de savoir le fin mot de l'histoire.)

 #20 - 24-06-2011 12:15:57

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

En equilibre mais pas une sphere

@ rivas: Je pense que tu as mal interprété le problème, le vocabulaire utilisé t'as induit en erreur.
Le fait de dire que l'objet est en contact avec la table sur un ou des points extrémaux n'implique pas qu'il est à l'équilibre.
Pour moi le problème est le suivant:
Si on prend le solide, qu'on le met au contact d'une surface plane dans n'importe quelle direction et puis qu'on le lâche sans faire le faire bouger, alors le solide doit rester dans sa position.
@ Clydevil: dis-moi si c'est bien ça ton problème.


Sinon tu dis avoir trouvé une erreur dans ma démo et je ne suis pas d'accord.
Il ne s'agit pas de faire rouler l'objet, il s'agit seulement de faire varier un point de la surface. Plutôt que faire rouler l'objet, imagine plutôt un insecte qui se balade sur ton objet.
Deuxièmement je n'ai jamais supposé que l'objet ne peut être en contact avec la table en un seul point. Ce que j'ai supposé, c'est que quelque soit le point de la surface, il existe une manière de poser l'objet de façon à ce que ce point soit en contact avec la table (mais ce n'est pas forcément le seul).

Je pense que ça valide la démonstration, qu'en penses tu?


Edit: Voici une deuxième façon de voir les choses:
Soit M un point de la surface.
Pose l'objet de façon que M soit verticalement en dessous de G. Si M n'est pas en contact avec la table, alors c'est clair que l'objet n'est pas en équilibre. Donc M doit être en contact avec la table. Le plan formé par la table est alors tangent à l'objet au point M et ce plan est bien orthogonal à (MG).

 #21 - 24-06-2011 13:50:35

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

n equilibre mais pas une sphere.

----
Si on prend le solide, qu'on le met au contact d'une surface plane dans n'importe quelle direction et puis qu'on le lâche sans faire le faire bouger, alors le solide doit rester dans sa position.
@ Clydevil: dis-moi si c'est bien ça ton problème.
----
Oui c'est bien ca mon probleme.

Sur la demo ma remarque soulignait entre autre que ceci:

"Considère un point de contact M entre l'objet et la table. Pour que l'objet soit stable, il faut que le centre de gravité G  soit à la verticale de M."

est faux.  Par exemple si je pose un cube sur une de ses faces, celui est à l'équilibre.
Dans cette position un coin de la base est bien un point de contact M mais cependant le centre de gravite n'est pas à la verticale de ce point M. (Même remarque pour tous les points de contact de la base sauf le centre).

Je vais relire ta demo pour voir si on peut trivialement l'adapter à ce détail. ^^.
Et non en fait tongue il n'y a pas orthogonalité de GM qq soit M.

C'est exactement le genre de demo que je cherche mais on est d'accord (à la lumière de ma remarque ci dessus) que ce n'est pas suffisant pour vraiment conclure?

 #22 - 24-06-2011 14:12:48

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

nE equilibre mais pas une sphere.

irmo322 a écrit:

@ rivas: Je pense que tu as mal interprété le problème, le vocabulaire utilisé t'as induit en erreur.
Le fait de dire que l'objet est en contact avec la table sur un ou des points extrémaux n'implique pas qu'il est à l'équilibre.
Pour moi le problème est le suivant:
Si on prend le solide, qu'on le met au contact d'une surface plane dans n'importe quelle direction et puis qu'on le lâche sans faire le faire bouger, alors le solide doit rester dans sa position.

C'est exactement ce que je dis depuis le début smile
Je suis content qu'on soit sur la même longueur d'onde. Cela invalide l'argument sur la convexité de ta démo.
J'ai d'ailleurs écrit:
"La question originale implique que l'objet posé est IMMEDIATEMENT en équilibre, quelque soit la position dans laquelle on le pose."
smile

 #23 - 24-06-2011 14:56:53

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

En equilibre mais pas uune sphere.

Oui Clydevil, ton argument est correct. J’avoue qu'il y avait une (petite) erreur de raisonnement. Du coup j'ai légèrement modifiée ma démo, mais je n'ai fait que remplacer le passage suivant:

Considère un point de contact M entre l'objet et la table. Pour que l'objet soit stable, il faut que le centre de gravité G soit à la verticale de M. Cela implique que l'objet admet un plan tangent en M et que ce plan tangent est orthogonal à la droite (GM).

Rivas, voici un argument béton pour qu'on puisse supposer l'objet convexe.
Si tu as un objet quelconque O1, alors considère son enveloppe convexe E. Et considère maintenant l'objet suivant O2:
O2 est identique à O1 en tout point sauf que l'on rajoute de la matière indéformable et de masse nulle sur E\O1. Ainsi on obtient un objet O2:
- qui réagit exactement de la même manière que O1 quand on le met sur une table,
- qui est convexe.



J'espère que vous êtes d'accord avec moi que maintenant la démo est complète.

 #24 - 24-06-2011 15:17:06

Seanbateman
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 321
Lieu: Toujours à l'énigme 3

En equliibre mais pas une sphere.


Quand on ne sait rien, on peut tout de même trouver des choses, avec de l'imagination. [Boris Vian]

 #25 - 24-06-2011 15:26:47

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

En euilibre mais pas une sphere.

Merci irmo322 ca me plait bien oui, ca devient rigoureux.
Je relirais cela à tête reposée mais je pense que tu as tué le démon.
Pour la peine je te donne le droit de retourner une sphère a l'envers:
http://www.youtube.com/watch?v=BVVfs4zKrgk
Si ce n'est pas déjà dans tes cordes smile

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