Le carré c'est facile

@halloduda: Ce ne sont même pas les solutions minimales que tu as trouvé sur le net (Je n'aurais pas posé le problème s'il n'y avait pas plus simple pour le rectangle) c'est intéressant à chercher autrement qu'avec google faut trouver la méthodologie c'est le meilleur moment dans un problème trouver comment l'aborder ^^

Déjà, je verrai bien un truc du genre :


Mais les deux rouges sont des rectangles. Le carré "imbriqué" est bien pratique pour des dimensions différentes.

Il faut en mettre d'autres ? Parce que ça va faire un paquet de carrés à force !

Reste à savoir si ils sont de taille différente... et si ils peuvent être carrés. Mais ça a de la gueule je trouve


En partant des carrés "imbriqués" , je pense que les 8 égalités ne sont pas redondantes, reste à en venir à bout...

Et à en trouver une neuvième, sauf que celle-là ne joue que pour les proportions donc pas indispensable vu l'énoncé... J'ai une dimension au choix du client.

@gwen37: oui ta solution est symétrique dommage ^^. Petite astuce pour calculer plus vite:
Spoiler : [Afficher le message] Tu remarqueras que ton système peut se résoudre à la main si on le pose initialement de maniére futé ^^, par exemple dans ton cas tu peux tout exprimer en fonction de C et de E (de proche en proche) et du coup ça ne fait que 2 inconnus 

En chipotant avec un crayon on se rend vite compte qu'il n'y a pas de solution avec peu de carrés.
Au bout d'un moment j'arrive à un dessin qui tient la route (avec 9 rectangles qui semblent carrés). En l'absence de longueur de départ, j'attribue une longueur 1 au plus petit des carrés et j'appelle les autres a,b,c,d,f,g,h,i.
J'obtiens un paquet de petites équations que je donne à manger (séparées par des virgules) à WolframAlpha :

a+b+c=f+g
a+g=f+d+c
c=d+1
d=i+1
b=c+1
b+1=i+h
b+h=a
a+h=g
i+d=f

Bon c'est vrai qu'il y a plus d'équations que d'inconnues, mais WA n'est pas gêné et me répond : a = 14,   b = 10,   c = 9,   d = 8,   f = 15,   g = 18,   h = 4,   i = 7

Peut-on avoir un petit indice sur l'aire du rectangle ? Ou le nombre de carrés ? Ou les côtés minimaux et maximaux des carrés ?
Parce que là, je sèche, et je vois pas de méthodologie pour commencer

Ca y est.
En triturant ces fichus carrés on peut trouver une solution non symétrique !



Et là, ça marche : wolfram me donne :
h=1 d=4 e=7 f=8 i=9 g=10 c=14 b=15 a=18

32 x 33 , dommage, c'était presque un carré !

Même à la main, la solution symétrique aboutissait à deux carrés de même taille.

Oui, bah j'en ai une, ça me suffit... Je ne suis pas trop fan des équations) Mais ce problème était bien sympa dans le genre casse-tête .  Bravo.

Il me semble que c'est ce qu'on appelle en géométrie un "rectangle parfait". C'est constructible donc (même si je n'ai plus d'exemple en tête)

SOLUTION maintenant ajoutée au post de départ.
Merci à tous les participants.

@STHF47: Mais tu as simplement mal compris ce que j'ai écris dans l'énoncé original pourtant il y a peu de place au quiproquo.
Je n'ai jamais demandé de trouver une méthode pour étant donné un rectangle quelconque le paver de carrés j'ai laissé le choix du rectangle, voulant dire par la "prenez celui pour lequel vous pensez pouvoir le faire", ce qui n'a bien sur strictement rien à voir.

D'autre part partir d'un rectangle est une très mauvaise méthode, il fait parti du croquis comme tout le reste et intervient trivialement dans le système d’équations on détermine ses dimensions tout comme les dimensions des carrés internes si notre croquis se révèle par calcul être une solution valable.

Le système d’équations qui régit les dimensions des divers segments du croquis (y compris donc les cotés du rectangle) est très clairement linéaire à coefficients entiers. Ainsi donc tous les rapports de couples de longueurs de segments sont des rationnels et toutes solution à un facteur multiplicatif prêt est équivalente à une solution avec toutes les longueurs entières, ce que tu sembles dire et ce avec quoi j'ai toujours été parfaitement d'accord.

C'est plus clair?