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 #1 - 25-07-2011 14:33:53

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Paage savant

Hello,

Une petite question que je me suis posé à moi même, je n'ai pour le moment que partiellement la réponse.

Rappel: Un polyomino est une forme géométrique formée de carrés unité joins par leur bord (Les pièces du tetris sont par exemple des 4-ominos)

Peut on trouver un polyomino:
-1)Qui peut paver le plan mais aucun rectangle.
-2)Qui peut paver le demi plan mais aucun rectangle.
-3)Qui peut paver le quart plan mais aucun rectangle.

(ie: paver veut dire qu'avec une infinité de copies (translaté rotaté mais non retourné) vous pouvez recouvrir ce qu'on désire)

Évidemment si vous trouvez 3 vous avez tous trouvé, 1 et 2 ne sont la que pour vous échauffer.

Bonne chance.


Solution:
Voir post de w9Lyl6n



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#0 Pub

 #2 - 25-07-2011 14:41:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

pavage davant

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-nominoplan.jpg Pour le plan ça doit marcher.

 #3 - 25-07-2011 19:58:41

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

pavage savznt

Cette fois c'est plus facile que le puzzle blanc smile

ma solution :
http://www.prise2tete.fr/upload/w9Lyl6n-pave_quart_plan.png

Pour prouver que cette forme ne pave aucun rectangle il suffit de remarquer que seul un des carrés en rouge peut constituer un coin, ensuite pour compléter le bord où il y a déjà deux carrés on ne peut qu'emboiter la forme dans le même sens et le petit carré vide en haut à droite revient toujours.

C'est une solution minimale (en nombre de carré) car tout les 4-ominos qui pavent le quart de plan pavent aussi un rectangle.

Après une recherche exhaustive presque exhaustive sur les dix 5-ominos (à isométrie près), il s'agirait bien de la solution minimale.
http://www.prise2tete.fr/upload/w9Lyl6n-5-ominos.png
_sur la ligne du haut les 5-ominos pavent un rectangle (et donc le quart plan)
_au milieu la solution
_en bas ceux qui ne pavent ni le quart plan ni un rectangle

Les démonstrations sont intuitives en partant des carrés qui peuvent être un coin (en rouge).

 #4 - 25-07-2011 20:23:36

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

pavagr savant

1et2:
Une figure en Y suffira
3:C'est impossible
Ok , je m'y remet.
J'adore ce problème, il est original.


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 26-07-2011 08:46:40

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Pavage savnt

Bravo à w9Lyl6n pour la belle solution et les beaux dessins.
@Promath:Spoiler : [Afficher le message] Si si c'est possible

 #6 - 26-07-2011 11:04:17

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Pavag esavant


Un promath- actif dans un forum actif

 #7 - 27-07-2011 23:32:23

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Pvage savant

Bonsoir,

Pour le plan:
le  X des pentaminos me paraît faire l'affaire (2 translations)

Pour le demi-plan:
je reste dans les pentaminos en proposant le W  (une translation et un demi-tour)

Pour le quart de plan je suis moins sûre de moi : un tétramino  en forme de T permet de  faire le pavage du quart de plan. Je ne pense pas qu'il puisse paver  un rectangle mais je n'en ai pas non plus de certitude absolue.

(Si quelqu'un peut m'expliquer comment on insère des dessins je pourrais peut-être faire des réponses plus convaincantes les autres fois.)

 #8 - 28-07-2011 04:49:41

micha12
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 1

pavage szvant

yikes quelle horreur ... j'ai rien compris

 #9 - 28-07-2011 15:15:08

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Pavae savant

Promath : C'est le N

je l'ai oublié celui là dans ma recherche "exhaustive" big_smile
Par contre je ne crois pas qu'on puisse remplir le quart plan avec, j'aboutis rapidement à un petit carré impossible à boucher.

 #10 - 28-07-2011 15:32:21

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Pavage savantt

Merci aux participants, c'était donc effectivement possible pour 3 et donc nécessairement pour 2 et 1. Voir la réponse de w9Lyl6n pour les beaux dessins et un pavage vérifiant 3)

 #11 - 28-07-2011 22:54:46

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Pavage savat

W9Lyl6n, tu as zappé aussi le V, il y a 12 pentaminos smile

 

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