![](/img/vague-bas-gauche.png) |
#1 - 15-07-2013 19:01:54
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
Mathématique pour les nuls 14
La suite que j'apprécie particulièrement est la suivante : [TeX]U_0 \ge 0[/TeX] [TeX]U_{n+1}=\sqrt{U_n}+\frac{1}{n+1}[/TeX] Etudier la convergence de cette suite ![lol](img/smilies/lol.png)
Bonne chance, je mettrais des indices au fur et à mesure si besoin est. La case réponse valide la valeur de la limite.
Shadock ![smile](img/smilies/smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#2 - 15-07-2013 20:15:51
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 20
- Messages : 1749
mathématiques pour lrs nuls 14
Pour commencer, on montre facilement par récurrence que la suite est minorée par 1 pour [latex]n \geq 1[/latex]
Nous allons prouver que la suite ne peut pas être strictement croissante :
Supposons que la suite est strictement croissante.
Par conséquent [latex]u_2 > 1[/latex]. [TeX]u_{n+1}-u_n = -u_n + \sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1}[/TeX] Nous avons un trinôme du second degré en [latex]\sqrt{u_n}[/latex], dont le discriminant vaut [TeX]\Delta = 1+\frac{4}{n+1}[/latex] et les solutions [latex]\frac{1\pm\sqrt{\Delta}}{2}[/latex].
Ce trinôme est positif entre ces racines, donc :
[latex]u_{n+1}-u_n > 0 \Longleftrightarrow \sqrt{u_n} < \frac{1+\sqrt{\Delta}}{2} \Longleftrightarrow u_n < \left(\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}\right)^2[/TeX] Mais [latex]\Delta[/latex] tend vers 1 lorsque [latex]n[/latex] tend vers [latex]+\infty[/latex] donc [latex]\left(\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}\right)^2[/latex] aussi et donc pour [latex]n[/latex] assez grand, on a : [TeX]\left(\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}\right)^2<u_2[/latex] et donc [latex]u_n > \left(\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}\right)^2[/latex] et donc [latex]u_{n+1}-u_n < 0[/TeX] C'est absurde.
Par conséquent, la suite n'est pas strictement croissante. Il y a donc un rang où elle décroit.
Montrons à présent que si la suite décroit à un certain rang, alors elle est décroissante aux rangs suivants :
Supposons que [latex]u_{n+1} \leq u_n[/latex]
alors [latex]\sqrt{u_{n+1}} \leq \sqrt{u_n}[/latex]
donc [latex]\sqrt{u_{n+1}}+\frac{1}{n+2} \leq \sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}[/latex]
c-à-d [latex]u_{n+2} \leq u_{n+1}[/latex]
Par conséquent, la suite décroit à partir d'un certain rang. Comme elle est minorée par 1, elle converge vers une certaine limite [latex]l \geq 1[/latex]. Lorsqu'on passe à la limite dans la relation de récurrence, on obtient que [latex]l = \sqrt{l}[/latex] donc [latex]l=0[/latex] ou [latex]l=1[/latex].
On en conclut que la suite converge vers 1.
#3 - 15-07-2013 23:04:55
- JulesV
- Passionné de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 15
- Messages : 52
Mathématiquues pour les nuls 14
C'est 1 je crois.
Il faut étudier la limite de [latex]U_{n}-\sqrt{U_{n-1}}=\frac{1}{n}}[/latex] : [TeX]\lim_{n\to +\infty} U_{n}-\sqrt{U_{n-1}} = 0[/TeX] soit [latex]\lim_{n\to +\infty}U_n = \sqrt{U_{n-1}} [/latex]
De même, [latex]\lim_{n\to +\infty} U_{n-1}=\sqrt{U_{n-2}}[/latex] etc...
On a donc [latex]\lim_{n\to +\infty} U_{n} = \sqrt{\sqrt{\sqrt{...U_{n-k}}}}[/latex] avec k racines.
De plus [latex]\sqrt{\sqrt{\sqrt{...U_{n-k}}}} = e^{\frac{1}{2k} ln(U_(n-k)} = {(e^{\frac{1}{2k}})}^{ln(U_{n-k})}[/latex]
Finalement, [TeX] \lim_{n\to +\infty}{(e^{\frac{1}{2k}})}^{ln(U_{n-k})} =1^{ln(U_{n-k})}=1[/TeX] Voilà. ![smile](img/smilies/smile.png)
#4 - 16-07-2013 00:28:30
- Nombrilist
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 10
- Messages : 568
mathématiques pour mes nuls 14
Je pense qu'il faut appliquer le théorème des gendarmes. La suite [latex]u_n[/latex] est minorée par la suite [latex]v_{n+1}=\sqrt{v_n}[/latex] qui converge vers 1. Reste à trouver la bonne suite majorante.
#5 - 16-07-2013 10:22:23
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Mathématiqes pour les nuls 14
La convergence vers 1 est évidente, mais elle est lente. Supposons la limite 1+1/1000, c'esà dire différente de 1. U(10^10)=racUn+1/10^10 avec Un>1+1/1000=1,001 Si Un s'écrit 1+e, racUn vaut environ 1+e/2. L'apport de 1/10^10 est négligeable. Donc 1+e/2 deviendra 1+e/4, puis 1+e/8 etc. Très rapidement, on passera sous la limite fictive qu'on s'est donnée. Un converge vers 1.
#6 - 16-07-2013 10:58:43
- godisdead
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 22
- Messages : 747
Mathématiques pourr les nuls 14
1/(1+N) tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini
Il reste donc U(n+1) = racine (U(n)) Ce qui équivaut à racine^n(U) donc tend vers 1
#7 - 16-07-2013 12:09:59
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
Mathématiquse pour les nuls 14
nodgim a écrit:Un converge vers .
Pas mal pas mal ^^
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#8 - 16-07-2013 12:18:36
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
Mathématiques pour es nuls 14
Elle converge vers 1 ^^
Je peux détailler et expliquer si tu veux
Un promath- actif dans un forum actif
#9 - 16-07-2013 14:08:56
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
mathématiques pour lrs nuls 14
Promath- un poil laconique non ? ![wink](img/smilies/wink.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#10 - 16-07-2013 16:22:14
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
mathématiques pour les nulq 14
NOOOOOOOOON PAS DU TOUT!
Eh bien on a la formule sur la racine carrée: Si x appartient à 1; infini alors Vx <x Si x appartient à 0; 1 alors Vx >x Si x=1, alors Vx=x
Donc la suite des racines cumulées (ou emboitées) converge vers 1 car V se réduit si x>1 ou augmente si x<1.
Le premier terme converge vers 1 et la limite de 1/(n+1) est 0 quand x tend vers l'infini donc ça fait au final puisque la somme des limites est la limite des sommes.
J'ai dû rater un truc non?
Un promath- actif dans un forum actif
#11 - 16-07-2013 16:52:44
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
lathématiques pour les nuls 14
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#12 - 16-07-2013 16:59:15
- vladimir37
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 30
- Messages : 503
- Lieu: nantes
mathématiques poir les nuls 14
@shadock
Lorsque tu as cité nodgim dans ton dernier post, tu as donné la réponse:Un converge vers 1.
![roll](img/smilies/roll.png) Peut-être attends tu une démonstration plus fine concernant la minoration de la suite et son sens de variation?
#13 - 16-07-2013 18:02:53
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
Mtahématiques pour les nuls 14
Je sais Vladimir, mais vu les bêtes qui traînent ici, bien sûr que je ne me satisferai pas d'une simple réponse sans démonstrations, on fait des mathématiques ici ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#14 - 17-07-2013 12:44:56
- kossi_tg
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 307
- Lieu: Montargis
Mathématiques puor les nuls 14
Proposition [TeX]U_1=\sqrt{U_0}+1[/latex] donc [latex]U_1\ge1[/TeX] On démontre très rapidement par récurrence que [latex]U_n\ge1[/latex] pout tout [latex]n\ge1[/latex] (laissé au lecteur ) Par définition; [latex](U_{n+1}-\frac{1}{1+n})^2=U_n[/latex]. Comme [latex]U_{n+1}\ge1[/latex] et [latex]\frac{1}{1+n}\le1[/latex] alors [latex]U_{n+1}-\frac{1}{1+n}\ge0[/latex], Par conséquent [latex]U_n\ge1[/latex] implique que [latex]U_{n+1}-\frac{1}{1+n}\ge1[/latex] soit [latex]U_{n+1}\ge{\frac{1}{1+n}+1}[/latex] (1). Par définition; [latex]U_{n+1}-\frac{1}{1+n}=\sqrt{U_n}[/latex]; or [latex]\sqrt{U_n}\le{U_n} ( cf. U_n\ge1)[/latex] donc [latex]U_{n+1}-\frac{1}{1+n}\le{U_n} soit U_{n+1}\le{U_n+\frac{1}{1+n}}[/latex] (2). En combinant les inégalités (1) et (2), on a: [latex]1+\frac{1}{1+n}\le{U_{n+1}}\le{U_n+\frac{1}{n+1}}[/latex] (3). Lorsque n tend vers l'infini, [latex]\frac{1}{n+1}\simeq0[/latex] donc (3) devient [latex]1\le{U_{n+1}}\le{U_n}[/latex] (4) Pour tout [latex]n\ge1[/latex], [latex]U_n[/latex] est minorée par 1. Pour des grands n; [latex]U_{n+1}\le{U_n} [/latex]donc [latex]U_n[/latex] est décroissante. [latex]U_n[/latex] est minorée et décroissante donc elle est convergente. Si A est la limite de [latex]U_n[/latex] alors [latex]A\ge1 et A=\sqrt{A}+0[/latex] car [latex]\frac{1}{n+1}\simeq0[/latex]; par conséquent A=1. [latex]U_n [/latex] converge donc vers 1.
#15 - 17-07-2013 13:05:55
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
lathématiques pour les nuls 14
Sinon, on peut approximer la fonction par celle ci: f(n)=1+2/(n+1) quand n grand. En effet, pour n grand, rac(1+2/(n+1)) vaut environ 1+ 1/(n+1). Auquel on ajoute 1/(n+1), et ça donne 1+2/(n+1). Le tableur confirme.
#16 - 18-07-2013 12:24:20
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
Mathméatiques pour les nuls 14
kossi_tg Presque parfait l'équation [latex]x=\sqrt{x}[/latex] a deux solutions, il faut donc préciser une dernière petite chose ![wink](img/smilies/wink.png) J'ai rien dit j'avais mal lu ^^
nodgim Oui c'est sur, avec ce genre de raisonnement on peut en trouver des milliers ![smile](img/smilies/smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#17 - 18-07-2013 17:11:35
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
mathématiques pour les nuks 14
Un promath- actif dans un forum actif
#18 - 18-07-2013 21:22:26
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
Matéhmatiques pour les nuls 14
Bah oui, je ne vois pas bien comment tu pourrais faire mieux, à moins d'avoir le même raisonnement que titou ![smile](img/smilies/smile.png) Ma démonstration est assez longue je l'a mettrai à la fin ![wink](img/smilies/wink.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#19 - 19-07-2013 10:20:18
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Mathématiques pouur les nuls 14
La suite Un+1= racUn+1/racn est plus lente encore...
#20 - 19-07-2013 20:41:38
- fix33
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1198
- Lieu: Devant un clavier depuis 1748
Mathématiques pour les nuuls 14
Il est évident que tout Un est positif ou nul.
Lorsque n tend vers l'infini, la 2nde composante tend vers 0. Et la 1ère composante tend vers 1 : il y a que si n>1, 1 < sqrt(n) < n ; si n=1, sqrt(n)=1 ; si n<1, n < sqrt(n) < 1. Ce n'est certes pas une preuve. Une preuve de cette affirmation est peut-être que la fonction inverse, la puissance 2, est croissante et tend vers l'infini.
Pour n grand, on peut donc ignorer la 2nde composante. Et comme la 1ère tend vers 1 dans tous les cas, la suite qui nous intéresse aussi.
Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
#21 - 19-07-2013 21:09:11
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
mathématiques pour les nuld 14
Très bien! ![smile](img/smilies/smile.png)
Un promath- actif dans un forum actif
#22 - 19-07-2013 23:34:54
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
mayhématiques pour les nuls 14
Oui fix33 c'est l'idée ![wink](img/smilies/wink.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#23 - 21-07-2013 22:40:26
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
mathématiques pour les nils 14
On peut déjà montrer par récurrence que la suite [latex](U_n)[/latex] est bien définie et que l’on a pour tout entiers naturels [latex]U_n \ge 1[/latex] Déterminons les limites éventuelles de la suite [latex](Un)[/latex] : Si [latex](Un)[/latex] converge vers [latex]l[/latex], alors forcément [latex]l \ge 1[/latex], de plus [latex](U_{n+1})[/latex] converge alors aussi vers [latex]l[/latex], d'où par passage à la limite dans la définition de récurrence de la suite, on obtient [latex]\sqrt{l}=l[/latex] et donc [latex]l=1[/latex] Ainsi [latex]1[/latex] est la seule limite de la suite [latex](U_n)[/latex]
On étudie donc [latex]U_n-1[/latex]: [TeX]U_{n+1}-1=\sqrt{U_n}-1+\frac{1}{n+1}[/TeX] [TeX]=\frac{U_n-1}{\sqrt{U_n}+1}+\frac{1}{n+1}[/TeX] [TeX]\le \frac{1}{2}\left(U_n-1\right)+\frac{1}{n+1}[/TeX] si [latex]n \ge 1[/latex]
Donc [latex]|U_{n+2}-1| \le \frac{1}{2}|U_{n+1}-1+\frac{1}{n+2}|[/latex] [TeX]\le \frac{1}{4}|U_n-1| +\left(\frac{1}{2}+1\right)\frac{1}{n+1}[/TeX] Par récurrence sur [latex]p \ge 1[/latex] on a : [TeX]|U_{n+p}-1|\le \frac{1}{2^p}|U_n-1|+\left(1+\frac{1}{2}+\text{...}+\frac{1}{2^{p-1}}\right)\frac{1}{n+1}[/TeX] Or [latex]1+\frac{1}{2}+\text{...}+\frac{1}{2^{p-1}}\le2[/latex]
Et ainsi on a : [TeX]\forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N^*}, |U_{n+p}-1|\le \frac{1}{2^p}|U_n-1|+\frac{2}{n+1}[/TeX] Soit [latex]\epsilon > 0[/latex] il existe un rang [latex]N_0[/latex] tel que [latex]\frac{2}{N_0+1}<\frac{\epsilon}{2}[/latex]
Il existe alors un rang [latex]N_1[/latex] tel que [latex]p \ge N_1 \Rightarrow \frac{1}{2^p}|U_{N_0}-1|<\frac{\epsilon}{2}[/latex]
Ainsi si [latex]n \ge N_0+N_1[/latex] on obtient que [latex]n=N_0+p[/latex] avec [latex]p \ge 1[/latex] donc [latex]|U_n-1|<\epsilon[/latex] avec les majorations ci-dessus.
D'où, la suite converge, vers la seule limite possible [latex]1[/latex] !!! QED
Shadock ![smile](img/smilies/smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#24 - 22-07-2013 11:54:21
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 20
- Messages : 1749
mathématuques pour les nuls 14
shadock a écrit:[latex]U_{n+2}-1 \leq \frac12 (U_{n+1}-1) + \frac{1}{n+2} \leq \frac14 (U_n-1)+ \frac12 \times \frac{1}{n+1}[/latex]
Comment obtiens-tu la deuxième inégalité ? Il ne manquerait pas le terme [latex]\frac1{n+2}[/latex] ?
#25 - 22-07-2013 11:58:21
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
mathématiques pour les nulq 14
A oui j'ai factorisé trop vite, je vais corriger ça ![smile](img/smilies/smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
Mots clés des moteurs de recherche
|
![](/img/vague-haut-droite.png) |