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 #1 - 30-07-2011 18:23:54

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

fg est croissante syr i

Bonjour,

Soit f et g deux fonctions positives et croissantes sur l'intervalle I.
démontrer que fg est croissante sur I.



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plouf
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#0 Pub

 #2 - 30-07-2011 18:32:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Fg set croissante sur I

[TeX]\forall (x,y) \in I^2, x < y \Leftrightarrow \left( f(x)<f(y) \text{ et } g(x) < g(y) \right)[/TeX]
Du coup, [latex]f(x) \times g(x)<f(y) \times g(y)[/latex] (car toutes ces valeurs sont positives).

Où est l'énigme ?..


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 30-07-2011 18:39:21

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

fg est criissante sur i

Soient a et b deux nombres réels appartenant à I, tels que a < b. On dispose donc des informations suivantes d'après l'énoncé :

0 ≤ f(a) ≤ f(b)
0 ≤ g(a) ≤ g(b)

En multipliant membre à membre ces inégalités :

0 ≤ f(a)g(a) ≤ f(b)g(b)
D'où 0 ≤ fg(a) ≤ fg(b)

Donc pour tout a de I et pour tout b de I (a < b), fg est bien croissante (et même positive) sur I.

Voilà ! cool

 #4 - 30-07-2011 18:46:57

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

fg est croisqante sur i

Désolé MthS-MlndN mais ce n'est pas avec moi que tu risques de trouver des énigmes mathématiques avec une difficulté qui te convienne, maintenant tu sais à quoi t'attendre.

j'avais pensé à la méthode d'Alewein41 mais pas la tienne qui pourtant coule de source c'est vrai


plouf

 #5 - 30-07-2011 18:58:30

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

fg est croisqante sur i

Et bien si [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] sont croissante sur [latex]I[/latex] alors : [latex]\forall (a,b), \text{ }a\le b \in I^2 \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} f(a)\le f(b) & \\ g(a) \le g(b) \end{Bmatrix} [/latex]

Donc [latex]fg[/latex] est croissante dans [latex]I[/latex] car [latex]f(a)g(a) \le f(b)g(b) \text{ avec } a \le b[/latex]


Voilà smile
C'est vrai que c'est simple mais de temps en temps ça ne fait pas de mal.

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 30-07-2011 19:56:06

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

fg est croissante sur u

OK, pas de problème smile J'étais juste surpris, vu le niveau global des énigmes de math du forum, mais ça ne fait pas de mal d'avoir un peu plus de simplicité de temps a autre big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 31-07-2011 01:07:34

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Fg est croissante sur

Soient a et b deux réels de I, avec a>b

f est croissante donc f(a)>f(b)
g est croissante donc g(a)>g(b)

donc f(a)g(a)>f(b)g(b), ce qui peut se traduire par : fg croissante sur I


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #8 - 31-07-2011 09:02:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

fg est croissanre sur i

ça me parait totalement évident, presque axiomatique!
si f(x+e)>f(x) et g(x+e)>g(x) alors f(x+e)*g(x+e)>f(x)*g(x) e>0 aussi petit que l'on veut.

 #9 - 31-07-2011 14:11:22

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

fg est vroissante sur i

Mths oui , à l'avenir j'éviterais de poster ça ici alors smile


plouf

 #10 - 31-07-2011 18:01:51

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Fg est crissante sur I

Ce n'est pas ce que je suggérais, au contraire : ça ne fait pas de mal, et quelque chose qui paraîtra simple a l'un représentera un challenge pour un autre smile Je ne veux pas faire de discrimination wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 31-07-2011 18:40:46

Teijo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Fg est croissante sur

Si f'>0 et g'>0, alors f'*g'>0
-->donc f est croissant
Si f>0 et g>0 bah g*f>0
gf positif croissant:/

 #12 - 31-07-2011 19:20:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Fg est croissannte sur I

MthS-MlndN a écrit:

OK, pas de problème smile J'étais juste surpris, vu le niveau global des énigmes de maths du forum, mais ça ne fait pas de mal d'avoir un peu plus de simplicité de temps a autre big_smile

Arga je ne supporte pas désolé. Un matheux en plus...tongue

NB : On a presque la même démo big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 31-07-2011 20:10:18

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Fg est crissante sur I

Shadock qui corrige mon orthographe...

Je me sens tout penaud wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 31-07-2011 23:01:36

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

fg est croissante qur i

Ah, une mouche passe, j'en fais mon affaire :-)
shadock : ton signe il existe est en fait un signe quel que soit big_smile

 #15 - 31-07-2011 23:09:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Fg est croissatne sur I

Merci.

Moi je le voyais comme "Et bien si f et g sont croissante sur I alors il existe deux nombre a et b tel que...." mais c'est sur que ce n'est pas très logique. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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