Enigme Fg est croissante sur I @ Prise2Tete

engine · #1

Bonjour,

Soit f et g deux fonctions positives et croissantes sur l'intervalle I.
démontrer que fg est croissante sur I.

MthS-MlndN · #2

[TeX]\forall (x,y) \in I^2, x < y \Leftrightarrow \left( f(x)<f(y) \text{ et } g(x) < g(y) \right)[/TeX]
Du coup, [latex]f(x) \times g(x)<f(y) \times g(y)[/latex] (car toutes ces valeurs sont positives).

Où est l'énigme ?..

Alexein41 · #3

Soient a et b deux nombres réels appartenant à I, tels que a < b. On dispose donc des informations suivantes d'après l'énoncé :

0 ≤ f(a) ≤ f(b)
0 ≤ g(a) ≤ g(b)

En multipliant membre à membre ces inégalités :

0 ≤ f(a)g(a) ≤ f(b)g(b)
D'où 0 ≤ fg(a) ≤ fg(b)

Donc pour tout a de I et pour tout b de I (a < b), fg est bien croissante (et même positive) sur I.

Voilà !

engine · #4

Désolé MthS-MlndN mais ce n'est pas avec moi que tu risques de trouver des énigmes mathématiques avec une difficulté qui te convienne, maintenant tu sais à quoi t'attendre.

j'avais pensé à la méthode d'Alewein41 mais pas la tienne qui pourtant coule de source c'est vrai

shadock · #5

Et bien si [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] sont croissante sur [latex]I[/latex] alors : [latex]\forall (a,b), \text{ }a\le b \in I^2 \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} f(a)\le f(b) & \\ g(a) \le g(b) \end{Bmatrix} [/latex]

Donc [latex]fg[/latex] est croissante dans [latex]I[/latex] car [latex]f(a)g(a) \le f(b)g(b) \text{ avec } a \le b[/latex]

Voilà
C'est vrai que c'est simple mais de temps en temps ça ne fait pas de mal.

Shadock

MthS-MlndN · #6

OK, pas de problème J'étais juste surpris, vu le niveau global des énigmes de math du forum, mais ça ne fait pas de mal d'avoir un peu plus de simplicité de temps a autre

SHTF47 · #7

Soient a et b deux réels de I, avec a>b

f est croissante donc f(a)>f(b)
g est croissante donc g(a)>g(b)

donc f(a)g(a)>f(b)g(b), ce qui peut se traduire par : fg croissante sur I

nodgim · #8

ça me parait totalement évident, presque axiomatique!
si f(x+e)>f(x) et g(x+e)>g(x) alors f(x+e)*g(x+e)>f(x)*g(x) e>0 aussi petit que l'on veut.

engine · #9

Mths oui , à l'avenir j'éviterais de poster ça ici alors

MthS-MlndN · #10

Ce n'est pas ce que je suggérais, au contraire : ça ne fait pas de mal, et quelque chose qui paraîtra simple a l'un représentera un challenge pour un autre Je ne veux pas faire de discrimination

Teijo · #11

Si f'>0 et g'>0, alors f'*g'>0
-->donc f est croissant
Si f>0 et g>0 bah g*f>0
gf positif croissant:/

shadock · #12

MthS-MlndN a écrit:
OK, pas de problème J'étais juste surpris, vu le niveau global des énigmes de maths du forum, mais ça ne fait pas de mal d'avoir un peu plus de simplicité de temps a autre

Arga je ne supporte pas désolé. Un matheux en plus...

NB : On a presque la même démo

MthS-MlndN · #13

Shadock qui corrige mon orthographe...

Je me sens tout penaud

L00ping007 · #14

Ah, une mouche passe, j'en fais mon affaire :-)
shadock : ton signe il existe est en fait un signe quel que soit

shadock · #15

Merci.

Moi je le voyais comme "Et bien si f et g sont croissante sur I alors il existe deux nombre a et b tel que...." mais c'est sur que ce n'est pas très logique.

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#1 - 30-07-2011 18:23:54

Fg est croissante sru I

#0 Pub

#2 - 30-07-2011 18:32:14

Fg est roissante sur I

#3 - 30-07-2011 18:39:21

dg est croissante sur i

#4 - 30-07-2011 18:46:57

g est croissante sur I

#5 - 30-07-2011 18:58:30

fg zst croissante sur i

#6 - 30-07-2011 19:56:06

Fg est croissante sru I

#7 - 31-07-2011 01:07:34

Fg est rcoissante sur I

#8 - 31-07-2011 09:02:02

fg est crpissante sur i

#9 - 31-07-2011 14:11:22

Fg est croissaante sur I

#10 - 31-07-2011 18:01:51

Fg ets croissante sur I

#11 - 31-07-2011 18:40:46

Fg est croissant sur I

#12 - 31-07-2011 19:20:22

Fg esst croissante sur I

MthS-MlndN a écrit:

#13 - 31-07-2011 20:10:18

dg est croissante sur i

#14 - 31-07-2011 23:01:36

Fg eest croissante sur I

#15 - 31-07-2011 23:09:20

fg zst croissante sur i

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