C'est la bonne réponse, mais peux tu montrer ce que tu affirme?

Salut !

En fait c'est simple, on suppose que le rapport entre deux termes décalés de 5 est a, cherchons sa valeur :

(u5*u4*u3*u2*u1)² = u25*u16*u9*u4*u1
Or u25 = u20*a = u15*a² = u10*a^3 = u5*a^4;
u16 = u1*a^3
et u9 = u4*a

Donc (u5*u4*u3*u2*u1)² = u5*u1*u4*u4*u1*a^8
                                           = u1²*u4²*u5*a^8


On recommence avec :

(u6*u5*u4*u3*u2)²=u36*u25*u16*u9*u4
Or u36=u1*a^7; u25=u5*a^4; u16=u1*a^3 et u9=u4*a

Donc (u6*u5*u4*u3*u2)² = u1*u5*u1*u4*u4*a^15
                                          = u1²*u4²*u5*a^8*a^7
                                          = (u5*u4*u3*u2*u1)²*a^7  Relation 1

Or u6=u1*a,
Donc (u6*u5*u4*u3*u2)² = (u1*a*u5*u4*u3*u2)²
                                          =(u5*u4*u3*u2*u1)²*a²  Relation 2

Relation 1 = Relation 2; donc a^7=a²

Conclusion : a=1


u2015*u2014*u2013*u2012*u2011=u5*u4*u3*u2*u1*a^beaucoup=u5*u4*u3*u2*u1

(u1)²=u(1)²=u1 donc u1=1 (ou 0 mais alors u6/u1 n'a plus de sens)

on a :
u16=u1*a^3=u1 (1) et
u16=u4²=u2^4 (2)
(1)=(2) donc u2^4=u1 => u2=1 ou -1

u4=(u2)^2 => u4=1

u128=u3*a^25=u3
u128=u2^7
donc u3=u2^7
u2*u3=u2^8
u2*u3 = 1

Enfin :
U10=u5*a=u5
u100=(u10)²=u5²
u100=u5*a^19=u5
Donc (u5)²=u5, donc u5=1

Conclusion : u1*u2*u3*u4*u5 = 1 !

Finalement : u2015*u2014*u2013*u2012*u2011 = 1

Voici ma démonstration la plus complète possible:

U1 = U1^2 => U1.(U1-1) = 0 => U1 = 0 ou U1 = 1
U1 = 0 amène des formes indéterminées par la suite
d’où U1=1

U7 / U2 = U6 / U1 => U7 = U2.U6
U12 / U7 = U6 / U1 => U12 = U2.U6^2
de façon plus générale: U(5k+i) = Ui.U6^k, avec 1<i<7

U36 = U6^7 d’une part (suivant ce qui précède)
et U36 = U6^2 d’autre part (suivant l’autre propriété)
U6^2.(U6^5-1) = 0 => U6 = 0 (à éliminer) ou U6 = 1
d’où U6=1

U1 = U6 = U11 = …
U2 = U7 = U12 = ...
U3 = U8 = U13 = ...
U4 = U9 = U14 = ...
U5 = U10 = U15 = ...
de façon plus générale: U(5k+i) = Ui, avec 1<i<7

U25 = U5 d’une part (suivant ce qui précède)
et U25 = U5^2 d’autre part (suivant l’autre propriété)
U5.(U5-1) = 0 => U5 = 0 (à éliminer) ou U5 = 1
d’où U5=1

Par des méthodes similaires, je démontre aussi que:
U2 = U3 = U4 = 1

Finalement, quel que soit i, on aura Ui = 1, CQFD

Si on appelle a,b,c,d,e les facteurs géométriques, on a pour tout n

U(5n+1) = a^n U1
U(5n+2) = b^n U2
U(5n+3) = c^n U3
U(5n+4) = d^n U4
U(5n+5) = e^n U5

Ca sent l'exponentielle à plein nez,

On a pour tout n (Un)^2=U(n^2)

Et ça ça sent le Log

Il faut montrer que les dix inconnues valent 1.

Petit lemme

Pour tout n on suppose que i^2n=j^(2n-1)

On a (pour n =1):  i^2 = j
et donc j^n = j^(2n-1)
puis n Log(j)= (2n-1) Log(j) soit (n-1)Log(j) = 0 et donc

j =1

Après il suffit de dérouler:

1°)Pour n>2

U(2^2n) = U2^2n
U(2^2n) = U4^(2n-1)
U(2^2n) = U8^(2n-2)=(cU3)^(2n-2)
U(2^2n) = U16^(2n-3)=(a^3*U1)^(2n-3)

U1 = U2 = U4 = a = c= 1

2°) U(5^2n)=U5^2n=(eU5)^(2n-1)

U5 = e = 1

3°) U(8^2n)=(U8)^2n=(cU3)^n

c= U3= 1

4°) U(7^2n)= (bU2)^(2n-1)

b = 1

Les dix inconnues valent 1.
Tous les membres de la suite valent 1 et la réponse est 1.

Et hop!

OK Titou, mais en revanche, on démontre que u2=u3=1 ou u2=u3=-1

Du coup u2*u3=1 !

@golgot : comment démontres-tu que u2=u3 ?

@ Titou : Tout est dans mon post #5. Voici les passages concernés :

on a :
u16=u1*a^3=u1 (1) et
u16=u4²=u2^4 (2)
(1)=(2) donc u2^4=u1 => u2=1 ou -1

u128=u3*a^25=u3
u128=u2^7
donc u3=u2^7
u2*u3=u2^8
u2*u3 = 1

C'est mon point le plus évident;

J'ai:

U(2^2n) = U2^2n

donc U2 = 1

@papiauche : pourquoi "u (2^(2n))=u (2)^(2n)" ? Et pourquoi "donc u (2)=1" ?

C'est (U2)²=U4=1

Donc U2 = 1 ou -1

J'ai moi aussi conclu un peu hâtivement que U2=U3=1 et écarté -1, même si U2.U3=1 dans les deux cas. Comme quoi, un minimum de rigueur n'est jamais superflue.

Effectivement le produit des deux peut valoir -1. J'avais conclu je ne sais plus comment que le produit de U2 et U3 valait 1, mais j'avais dû me tromper puisque je n'arrive plus à refaire la démonstration... Et ça me semble improbable.