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 #1 - 23-10-2014 19:55:54

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Une suite encore (mais pas croissant)e

Encore une suite, eh oui...:

La suite formidable de Greg est une suite dont le rapport entre les termes, dont la différence d'indice est de 5, est constante. Spoiler : [Afficher le message] U612/U607=U2015/U2010
La suite commence en U1. Elle elle définie pour tout n positif. De plus, la suite possède la proprété suivante: Le terme d'indice n² est égal au terme d'indicee n au carré Spoiler : [Afficher le message] (Un)²=U(n²)

Ainsi Greg construit une suite.

Quel est le produit des termes d'indice 2011,2012,2013,2014 et 2015?

Bonne chance à tous!



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 #2 - 23-10-2014 20:19:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

Une suite ecore (mais pas croissante)

On a affaire à une suite constante Un=U1=U1²=1.
Donc le produit demandé est égal à 1 aussi.

 #3 - 23-10-2014 20:51:39

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

Une suite encroe (mais pas croissante)

C'est la bonne réponse, mais peux tu montrer ce que tu affirme?


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 #4 - 23-10-2014 23:56:07

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1945
Lieu: Paris

Une suite encore (mais pas croissanet)

D'après la deuxième propriété de la suite, on a :
(U1)² = U(1²)
U1 = 1             (et pas U1=0 car U6/U1 serait impossibe sinon)


U11/U6 = U6/U1 = U6
U11=(U6)²

U16/U11 = U6 → U16 = U11*U6 → U16 = (U6)^3
U21/U16 = U6 → U21 = U16*U6 → U21 = (U6)^4
U26 = (U6)^5
U31 = (U6)^6
U36 = (U6)^7 = (U6)² → U6=1 donc U11 = 1, U16 = 1, U21 = 1, U31 = 1 et U36 = 1

On a donc U(n+5)/Un = U6/U1 = 1 et donc U(n+5)=Un
Il suffit alors de trouver les valeurs d'U2, U3, U4 et U5 et on peut connaître toutes les valeurs de la suite qui est cyclique.

Donc on a :
(U5)²=U25

U25=U20=U15=U10=U5=(U5)²
U5=(U5²) = 1  (et pas zéro pour la même raison que U1)

(U4)²=U16=1
U4 = 1

(U2)² = U4 = 1
U2 = 1

(U3)^4 = (U9)² = U81 = U1 = 1
U3 = 1

U1 = 1, U2= 1, U3 = 1, U4 = 1, U5 = 1 et U(n+5) = Un
Par conséquent tous les termes de la suite sont des 1, Un=1 quelque soit n.

On a donc U2011 * U2012 * U2013 * U2014 * U2015 = 1.

C'était pas si compliqué en fait ! Merci pour cette énigme Promath- !

 #5 - 24-10-2014 01:07:24

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1381
Lieu: Coutiches

Une suite enocre (mais pas croissante)

Salut !

En fait c'est simple, on suppose que le rapport entre deux termes décalés de 5 est a, cherchons sa valeur :

(u5*u4*u3*u2*u1)² = u25*u16*u9*u4*u1
Or u25 = u20*a = u15*a² = u10*a^3 = u5*a^4;
u16 = u1*a^3
et u9 = u4*a

Donc (u5*u4*u3*u2*u1)² = u5*u1*u4*u4*u1*a^8
                                           = u1²*u4²*u5*a^8


On recommence avec :

(u6*u5*u4*u3*u2)²=u36*u25*u16*u9*u4
Or u36=u1*a^7; u25=u5*a^4; u16=u1*a^3 et u9=u4*a

Donc (u6*u5*u4*u3*u2)² = u1*u5*u1*u4*u4*a^15
                                          = u1²*u4²*u5*a^8*a^7
                                          = (u5*u4*u3*u2*u1)²*a^7
  Relation 1

Or u6=u1*a,
Donc (u6*u5*u4*u3*u2)² = (u1*a*u5*u4*u3*u2)²
                                          =(u5*u4*u3*u2*u1)²*a²
  Relation 2

Relation 1 = Relation 2; donc a^7=a²

Conclusion : a=1


u2015*u2014*u2013*u2012*u2011=u5*u4*u3*u2*u1*a^beaucoup=u5*u4*u3*u2*u1

(u1)²=u(1)²=u1 donc u1=1 (ou 0 mais alors u6/u1 n'a plus de sens)

on a :
u16=u1*a^3=u1 (1) et
u16=u4²=u2^4 (2)
(1)=(2) donc u2^4=u1 => u2=1 ou -1

u4=(u2)^2 => u4=1

u128=u3*a^25=u3
u128=u2^7
donc u3=u2^7
u2*u3=u2^8
u2*u3 = 1

Enfin :
U10=u5*a=u5
u100=(u10)²=u5²
u100=u5*a^19=u5
Donc (u5)²=u5, donc u5=1

Conclusion : u1*u2*u3*u4*u5 = 1 !

Finalement : u2015*u2014*u2013*u2012*u2011 = 1

 #6 - 24-10-2014 10:16:15

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Une suite encore (mais pas croissatne)

Saban: c'est un bon début rassure toi ^^
golgot: c'est parfait!


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 #7 - 24-10-2014 16:44:52

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2777
Lieu: Luxembourg

Une suite encore (mais pas roissante)

Voici ma démonstration la plus complète possible:

U1 = U1^2 => U1.(U1-1) = 0 => U1 = 0 ou U1 = 1
U1 = 0 amène des formes indéterminées par la suite
d’où U1=1

U7 / U2 = U6 / U1 => U7 = U2.U6
U12 / U7 = U6 / U1 => U12 = U2.U6^2
de façon plus générale: U(5k+i) = Ui.U6^k, avec 1<i<7

U36 = U6^7 d’une part (suivant ce qui précède)
et U36 = U6^2 d’autre part (suivant l’autre propriété)
U6^2.(U6^5-1) = 0 => U6 = 0 (à éliminer) ou U6 = 1
d’où U6=1

U1 = U6 = U11 = …
U2 = U7 = U12 = ...
U3 = U8 = U13 = ...
U4 = U9 = U14 = ...
U5 = U10 = U15 = ...
de façon plus générale: U(5k+i) = Ui, avec 1<i<7

U25 = U5 d’une part (suivant ce qui précède)
et U25 = U5^2 d’autre part (suivant l’autre propriété)
U5.(U5-1) = 0 => U5 = 0 (à éliminer) ou U5 = 1
d’où U5=1

Par des méthodes similaires, je démontre aussi que:
U2 = U3 = U4 = 1

Finalement, quel que soit i, on aura Ui = 1, CQFD

 #8 - 25-10-2014 15:10:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Une suite encore (mais as croissante)

D'après l'exemple donné pour le rapport constant, je suppose qu'aucun des termes n'est nul. On note q le rapport constant u(n+5)/u(n).

u (1)=u (1)^2 donc u (1)=1
u (36)=q^7=u (6)^2=q^2 donc q=1
u (16)=q^3=1=u (4)^2 donc u (4)=+-1 et u (4)=u (2)^2> 0 donc u (4)=1 et u (2)=+-1
u (25)=u (5)q^4=u (5)=u (5)^2 donc u (5)=1
u (9)=u (4)=1=u (3)^2 donc u (3)=+-1

On ne pourra pas trancher pour les valeurs de u (2) et u (3) car 2 et 3 ne sont pas des carrés modulo 5.

Il est donc impossible de savoir si le prduit cherché vaut 1 ou -1.

 #9 - 26-10-2014 19:45:56

papiauche
Sa Sainteté
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Messages : 2130

Une suite encore (mais ppas croissante)

Si on appelle a,b,c,d,e les facteurs géométriques, on a pour tout n

U(5n+1) = a^n U1
U(5n+2) = b^n U2
U(5n+3) = c^n U3
U(5n+4) = d^n U4
U(5n+5) = e^n U5

Ca sent l'exponentielle à plein nez,

On a pour tout n (Un)^2=U(n^2)

Et ça ça sent le Log big_smile

Il faut montrer que les dix inconnues valent 1.

Petit lemme

Pour tout n on suppose que i^2n=j^(2n-1)

On a (pour n =1):  i^2 = j
et donc j^n = j^(2n-1)
puis n Log(j)= (2n-1) Log(j) soit (n-1)Log(j) = 0 et donc

j =1

Après il suffit de dérouler:

1°)Pour n>2

U(2^2n) = U2^2n
U(2^2n) = U4^(2n-1)
U(2^2n) = U8^(2n-2)=(cU3)^(2n-2)
U(2^2n) = U16^(2n-3)=(a^3*U1)^(2n-3)

U1 = U2 = U4 = a = c= 1

2°) U(5^2n)=U5^2n=(eU5)^(2n-1)

U5 = e = 1

3°) U(8^2n)=(U8)^2n=(cU3)^n

c= U3= 1

4°) U(7^2n)= (bU2)^(2n-1)

b = 1

Les dix inconnues valent 1.
Tous les membres de la suite valent 1 et la réponse est 1.

Et hop!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #10 - 26-10-2014 21:03:52

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Une suite encore mais pas croissante)

Ah ben mince alors, personne ne trouve comme moi, y compris l'auteur de l'énigme...

 #11 - 26-10-2014 21:19:24

golgot59
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Lieu: Coutiches

une suite encore (mais pas ceoissante)

OK Titou, mais en revanche, on démontre que u2=u3=1 ou u2=u3=-1

Du coup u2*u3=1 !

 #12 - 26-10-2014 22:00:58

papiauche
Sa Sainteté
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une suite encore (maus pas croissante)

Pareil pour moi
J'avis oublié d'éliminer les 0 roll

J'ai réglé les U2
Donc les U3 en découlent.

Avant que les Log battent les exponentielles, on pourra ramer longtemps lol
Par modulo les problèmes de signe seront vite réglés neutral


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #13 - 26-10-2014 22:37:26

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Une suite ecore (mais pas croissante)

@golgot : comment démontres-tu que u2=u3 ?

 #14 - 26-10-2014 22:54:00

papiauche
Sa Sainteté
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Une suite encore m(ais pas croissante)

@titoufred

Si golgot démontre que U2*U3=1 et que j'établis que U2=1 où est le problème?

Si ça ne suffit pas je trouve un modulo pour U3 big_smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #15 - 26-10-2014 23:23:24

golgot59
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une suite ebcore (mais pas croissante)

@ Titou : Tout est dans mon post #5. Voici les passages concernés :

on a :
u16=u1*a^3=u1 (1) et
u16=u4²=u2^4 (2)
(1)=(2) donc u2^4=u1 => u2=1 ou -1

u128=u3*a^25=u3
u128=u2^7
donc u3=u2^7
u2*u3=u2^8
u2*u3 = 1

 #16 - 26-10-2014 23:28:53

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Une suite encore (mais pas croissant)e

@papiauche : comment démontres-tu que u(2)=1 ?

@golgot : u(128)=u (2)^7 ? Ça sort d'où ça ?

 #17 - 26-10-2014 23:36:46

papiauche
Sa Sainteté
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Une suite encore (mais pas crossante)

C'est mon point le plus évident;

J'ai:

U(2^2n) = U2^2n

donc U2 = 1


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #18 - 26-10-2014 23:57:37

golgot59
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une suite encore (mais pas ceoissante)

Exact pour ma part, c'est une erreur. sad

 #19 - 27-10-2014 00:08:13

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Unne suite encore (mais pas croissante)

@papiauche : pourquoi "u (2^(2n))=u (2)^(2n)" ? Et pourquoi "donc u (2)=1" ?

 #20 - 27-10-2014 00:24:11

papiauche
Sa Sainteté
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une suite encore (mais pas xroissante)

Pas la peine de tenter l'embrouille de notation.

1°)Pour n>1

U(2^2n) = U2^2n
U(2^2n) = U4^(2n-1)

Donc U2 = U4 = 1


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #21 - 27-10-2014 00:44:47

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Une suite encore (mais pas croissatne)

C'est (U2)²=U4=1

Donc U2 = 1 ou -1

 #22 - 27-10-2014 10:51:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Une suite encore (mais pas crissante)

@papiauche: je ne tente pas l'embrouille de notation mais plutôt la clarification. As-tu repéré tes multiples erreurs à présent et compris pourquoi on ne pourra pas trancher entre -1 et 1 ?

 #23 - 27-10-2014 15:41:50

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Une suitee encore (mais pas croissante)

J'ai moi aussi conclu un peu hâtivement que U2=U3=1 et écarté -1, même si U2.U3=1 dans les deux cas. Comme quoi, un minimum de rigueur n'est jamais superflue.

 #24 - 27-10-2014 15:50:05

golgot59
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Unne suite encore (mais pas croissante)

Hélas non, u2*u3 peut faire -1 aussi...

 #25 - 31-10-2014 10:07:11

Promath-
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Une suite encore (mais pas croisante)

Effectivement le produit des deux peut valoir -1. J'avais conclu je ne sais plus comment que le produit de U2 et U3 valait 1, mais j'avais dû me tromper puisque je n'arrive plus à refaire la démonstration... Et ça me semble improbable.


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