pi/4

Au début, j'avais proposé [latex]\frac {3\pi} {16}\approx\,0.589[/latex] avec une demi astroïde.
(système "porte d'autobus")

Halloduda a pour l'instant trouvé la meilleure solution !!
Mais il y a mieux encore mieux...

Oui, il y avait mieux :

L'aire minimale est [latex]\frac {\pi}{8}\,\approx\,0.3927[/latex]
C'est l'intérieur d'une deltoïde,
http://en.wikipedia.org/wiki/Deltoid_curve
dont le grand cercle a un rayon de 3/4 et le petit cercle un rayon 1/4.
L'aire balayée est [latex] S = 2 \pi {(\frac 1 4})^2 = \frac {\pi} 8[/latex]

Il y a encore mieux ! ZERO ! ou du moins, arbitrairement petit.

Quand on multiplie le nombre de points de rebroussement à l'infini, la surface de l'hypocycloïde enveloppe du segment tend vers 0.
L'épicycloïde a un diamètre extérieur hors tout inférieur à 2.

Problème dit de Kakeya : comment retourner une aiguille (de longueur 1) dans le plan de sorte qu'elle balaie une aire la plus petite possible ?
Ici, l'aire balayée vaut [latex]\frac {\pi} 8[/latex], et on a longtemps pensé que c'était l'aire la plus petite possible ; mais en 1928, Besicovitch a démontré que l'on pouvait retourner une aiguille dans une aire aussi petite qu'on veut.

(d'après http://www.mathcurve.com/courbes2d/delt … toid.shtml)

Pour qu'il y est le moins de détour et de déplacement, ont fait tourner le segment sur lui même autour de sont milieu. Ont a colorier un cercle de rayon 0,5 cm soit

pi*R^2= PI*0,5^2= 0,785398163

l'aire colorier minimale est de 0,785398163 cm2

edit: correction erreur de calcul

Problème posé par Sôichi Kakeya en 1917, le mathématicien Besicovitch a prouvé en 1928 qu'il existe des ensembles de Kelaya dont la surface pouvait être aussi petite que l'on veut, mais c'est super dur ta question !!! Tié fou ou koi ?

La forme dans laquelle on travaille ressemble à ça :





voir un article ==> ici

Euh, ... 0 ?
Je ne vais pas voler la vedette au mathématicien qui l'a démontré. Il s'agit de Besicovitch. Le problème s'appelle l'aiguille de Kakeya.
Voici un très bon résumé:
http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/UO/ … _conf4.pdf

On fait tourner le segment en son milieu d'où l'aire balayée PI * AB² /4.
Non ? je me suis trompé ?

C'est le problème de Kakeya, dont il a été démontré par Besicovitch que l'on peut colorier une aire aussi petite que l'on veut !
J'avoue que malgré tout ce que j'ai lu là dessus, j'ai encore du mal à visualiser la technique pour y arriver ...

J'avais envie de répondre pi/4, et puis je me suis dit trop évident, il faut surement un truc un peut plus guedin...
Ceci n'est pas à l'échelle:

Le segment est en bas, un segment n'a pas de surface, si je le déplace linéairement: la trace n'a pas de surface non plus...
Dans les virages il me suffit de prendre un rayon de courbure très grand (presque infini) pour assimiler la courbe à une droite. Comme je l'assimile à une droite, la trace est une droite et n'a pas de surface... par analogie la terre est de forme ovale (oui) pourtant l'horizon nous apparait bien rectiligne à notre échelle. (j'espère que vous l'avez). Du coup vous faites le pti parcours comme sur le dessin et pi voila vous y êtes... Plus les rayons de courbure sont importants plus la surface balayée est résiduelle.
Donc si on fait pas ca sur une feuille A4 et qu'on peut se balader sur le plan à l'infini je dirais que la surface balayée est quasi nulle.
...voila, c'est assez guedin?

Bonjour,

En théorie, si l'on fait tendre l'amplitude des mouvements vers l'infini, l'aire balayée tend vers 0 ! (non ! non ! pas factorielle 0)

L'idée est assez simple :

Imaginons qu'une voiture est ce segment, il s'agit donc de faire faire un demi-tour
à ce segment comme nous le ferions avec notre voiture. (Enfin, ceux qui ont une voiture et le permis — ou sont en train de le passer).

1- avancer et tourner à 90° à gauche
2- reculer (d'au moins deux fois la longueur du segment)
3- avancer et tourner à 90° à gauche

Ça marche aussi vers le droite

Honnêtement, par hasard je suis tombé sur ce problème sur un site très récemment.

Je vais essayer de retrouver l'adresse.

JJ

Bonjour

On peut tout d'abord penser à un cercle de diamètre 1 ou à un triangle équilatéral de hauteur égale à 1

mais il y a mieux :

Une deltoïde (roulement d'un cercle de diamètre 1/3 à l'intérieur d'un cercle unitaire ....)

et encore mieux !
(en fait l'aire minimale est aussi petite que l'on veut ....)

Kakeya needle problem : en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

Argh !

L'idée est donnée par le schéma suivant dans lequel j'ai dessiné une rotation partielle :



Pendant les mouvements de translation du segment, la surface balayée est nulle, et on s'aperçoit ensuite que les angles [latex]\alpha[/latex] peuvent être rendus aussi petits que l'on veut, il suffit que les rotations [latex]\alpha[/latex] se fassent très loin : je m'éloigne très très loin, je tourne un peu, puis je reviens, et ainsi de suite, jusqu'à me superposer aux points départ.

On subodore donc que la surface finale balayée est aussi petite que l'on veut...

Mais bon, je la connaissais comme je l'ai dit plus haut dommage, je n'ai pas pu chercher naïvement.