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 #26 - 01-08-2011 21:16:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

J'ai une suite ogique à étudier 1, 4, 10, 20...

Un truc qui marche bien: on étudie les écarts, puis les écarts des écarts, puis...
Si on arrive à une constante, on a affaire à une fonction polynomiale d'ordre le nombre de séries nécessaires pour y parvenir.

#0 Pub

 #27 - 01-08-2011 21:32:52

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

J'i une suite logique à étudier 1, 4, 10, 20...

"c'est pas faux"


http://enigmusique.blogspot.com/

 #28 - 01-08-2011 22:03:06

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

J'ai une suite logique à étudierr 1, 4, 10, 20...

ATTENTION à ceux qui veulent utiliser la méthode des différences finies: Il faut savoir "a priori" que la fonction est polynomiale par un autre moyen, soit l'énoncé, soit autre chose.
De plus il faut aussi connaitre "a priori" le degré (maximal) du polynome et partir de D+1 nombres pour calculer les écarts.

Sinon en effet, on peut toujours imaginer une fonction de N dans N de ce genre:
f(n)=P(n)+n(n-1)(n-2)...(n-N)e(n).
Cette fonction se confond avec le polynome P pour les valeurs de n de 0 à N et une analyse des écarts nous ferait dire qu'elle est polynomiale...

 #29 - 01-08-2011 22:21:55

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

J'ai une suite logique à étudier 1, 4, 10, 20..

Je crois que Boubouain a très peur, maintenant lol

Ceci dit, la méthode est bonne... Regarde, Kosmo, je te montre avec celle-ci :

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84...

On considère les écarts :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28...

Toujours pas linéaire, alors on prend les écarts des écarts :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Maintenant, c'est linéaire, après deux transformations. Donc l'écriture générale de la suite est un polynôme de degré 3. Pour trouver ses coefficients, on a donc besoin de trois termes :
[TeX]S_n = an^3+bn^2+cn+d[/TeX]
On prend les trois premiers termes :
[TeX]S_1 = a+b+c+d = 1
S_2 = 8a+4b+2c+d=4
S_3 = 27a+9b+3c=10
S_4 = 64a+16b+4c+d=20[/TeX]
Plus qu'a résoudre ce système pour trouver a, b, c et d. J'ai la flemme, alors Wolfram|Alpha le fait pour moi smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #30 - 01-08-2011 22:44:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

j'ai une suite logique à étudizr 1, 4, 10, 20...

Simple, rapide, efficace et classe.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #31 - 01-08-2011 22:48:09

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
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J'ai une suite logique à étuder 1, 4, 10, 20...

bravo les jeunes !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #32 - 01-08-2011 23:37:18

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

j'ai une suite logique à étudiee 1, 4, 10, 20...

Pour ceux qui veulent creuser un peu, cette méthode s'appelle la méthode des différences finies et est parfois considérée comme une "dérivée discrète": (f(n+1)-f(n))/(n+1 - n) à comparer à (f(x+h)-f(x))/(x+h-x). Lorsque la "dérivée discrète" n-ième est constante, la suite (le polynôme "discret") est de degré n...

Et pour ceux qui n'ont pas peur de ressortir en Chine en creusant encore plus: http://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rence_finie smile

 #33 - 02-08-2011 08:26:22

boubouain
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 26

j'ai une suite logique à étuduer 1, 4, 10, 20...

Bonjour.
Alors on reprend le cours ?

sad Alors là, je suis largué:

MthS-MlndN a écrit:

Ensuite, tu peux revenir a la suite dont tu parles, que je vais appeler [latex]S_n[/latex], où le terme de rang [latex]n[/latex] est la somme des [latex]n[/latex] premiers termes de la suite des [latex]u_n[/latex].

Tu peux :

1) écrire cette somme facilement : [latex]S_n = \sum_{j=1}^n u_j[/latex]

2) remplacer les [latex]u_j[/latex] par leur valeur :

[latex]S_n = \sum_{j=1}^n \frac{j(j+1)}{2}[/latex]

Vous pouvez revenir à un niveau du cours élémentaire ?

Finalement je vois ce que vous voulez dire.
Votre formule veut dire ici que l'on va faire la somme des résultats de la fonction
dont le j est augmenté de 1 à chaque pas.

 #34 - 02-08-2011 08:46:53

boubouain
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 26

J'a une suite logique à étudier 1, 4, 10, 20...

MthS-MlndN a écrit:

3) réécrire le tout pour avoir "un coefficient fois la somme des [latex]i^2[/latex]" + "un coefficient fois la somme des [latex]i[/latex]" :

[latex]S_n = \sum_{j=1}^n \frac{j^2+j}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n j^2 + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n j[/latex]

Bon alors là, C'est quoi cette histoire de coefficient ?
Quel est le but ? hmm

 #35 - 02-08-2011 10:03:28

boubouain
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 26

J'ai une suite logique à étudier 1, 4, 10, 20..

Si j'ai bien compris,
[TeX]u_n = 1+\sum_{i=1}^n \(i+1)[/TeX]
C'est équivalent à 1+(1+1)+(2+1)+(3+1)+(4+1)+(5+1)+..(n+1) ?


Non, cela ne doit pas être bon !
Je voulais faire la suite 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

Et là le premier résultat est 3.

 #36 - 02-08-2011 10:51:21

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

j'ai une suite kogique à étudier 1, 4, 10, 20...

OK pour la première ("on va faire la somme des résultats de la fonction
dont le j est augmenté de 1 à chaque pas" : c'est exactement ça, et on indique juste en-dessous et au-dessus du symbole de la somme le nombre de départ et le nombre de fin).



Pour votre deuxième question (puisque vous vouvoyez, je ne vais pas vous tutoyer, ce serait irrévérencieux) : la raison pour laquelle je développe l'expression est qu'il y a des formules qui existent pour calculer la somme des entiers de 1 a n et pour la somme des carrés des entiers de 1 a n.

Je peux donc développer l'intérieur de la somme, puis la "décomposer", ou la "scinder", je ne sais plus comment on dit.

Je vais reprendre plus en détail :

Si j'écris :
[TeX]S_n = \sum_{j=1}^n \frac{j^2+j}{2}[/TeX]
Ca va me donner quelque chose comme ça :
[TeX]\frac{1^2+1}{2}
+ \frac{2^2+2}{2}
+ \dots
+ \frac{(n-1)^2+n-1}{2}
+ \frac{n^2+n}{2}[/TeX]
On ne voit pas grand-chose a faire pour simplifier cette somme, quand on la regarde comme ça.

C'est pourquoi on va commencer par développer le terme général de la somme (la fonction de j, dont on calcule ensuite la somme des valeurs pour j=1, j=2, ..., j=n-1, j=n) :
[TeX]\frac{j^2+j}{2} = \frac{1}{2} j^2 + \frac{1}{2} j[/TeX]
Ca ira mieux maintenant, car voici ce que donne le calcul de [latex]S_n[/latex] :
[TeX]\frac{1}{2} \times 1^2 + \frac{1}{2} \times 1
+ \frac{1}{2} \times 2^2 + \frac{1}{2} \times 2
+ \dots
+ \frac{1}{2} (n-1)^2 + \frac{1}{2} (n-1)
+ \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{2} n[/TeX]
Et la, on voit qu'il suffit de réorganiser un peu le tout pour obtenir :
[TeX]\frac{1}{2} \left( 1 + 2 + \dots + (n-1) + n \right) + \frac{1}{2} \left( 1^2 + 2^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2 \right)[/TeX]
Et on connait déja la valeur de la somme des n premiers entiers, ainsi que la valeur de la somme de leurs carrés (voir le lien Wikipedia que je t'ai donné, bien que la formule de la somme des n premiers entiers se retrouve facilement).


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 #37 - 02-08-2011 11:13:52

boubouain
Habitué de Prise2Tete
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J'ai une suite logique à étudir 1, 4, 10, 20...

smile
Ok
Cette explication me convient.

 #38 - 02-08-2011 13:28:03

boubouain
Habitué de Prise2Tete
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Ja'i une suite logique à étudier 1, 4, 10, 20...

boubouain a écrit:

Si j'ai bien compris,
[TeX]u_n = 1+\sum_{i=1}^n \(i+1)[/TeX]
C'est équivalent à 1+(1+1)+(2+1)+(3+1)+(4+1)+(5+1)+..(n+1) ?


Non, cela ne doit pas être bon !
Je voulais faire la suite 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

Et là le premier résultat est 3.

Un départ à zero est'il autorisé ?
Dans ce cas cela fonctionne:
[TeX]u_n = \sum_{i=0}^n \(i+1)[/TeX]
Est-ce que je peux ensuite continuer en faisant ceci:
[TeX]S_n = \sum_{i=0}^n \frac{i^2+i}{i}[/TeX]
Vous allez me dire non car on ne peut pas diviser par zero !

 #39 - 02-08-2011 15:30:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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j'ai une suite logiquz à étudier 1, 4, 10, 20...

Exactement smile

Dans la première que tu as écrite, [latex]u_n[/latex] va valoir [latex]1+2+3+...+n+(n+1)[/latex], c'est pour ça que ça ne fonctionne pas.

Il faut juste aller moins loin. La somme des entiers de 1 a n s'écrira juste "la somme des i, pour i allant de 1 a n" : [latex]u_n = \sum_{i=1}^n i[/latex]. Pas la peine de chercher trop loin wink


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 #40 - 02-08-2011 15:50:33

boubouain
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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J'ai une suite logique à étudier 1, 4,, 10, 20...

Donc pour cette série, s(n)=n(n+1)/2 tongue

C'est vrai que j'ai fait compliqué pour rien !

 #41 - 02-08-2011 15:55:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

J'ai une suite logique à étudier 1,, 4, 10, 20...

C'est ça lol

Je vous corrige juste sur le vocabulaire : on parle d'une "suite" et non d'une "série". C'est vraiment de la torture infligée aux diptères, mais c'est comme ça smile


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 #42 - 02-08-2011 15:58:17

boubouain
Habitué de Prise2Tete
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J'ai unee suite logique à étudier 1, 4, 10, 20...

ah ! ok je vais essayer de retenir wink

 #43 - 02-08-2011 21:33:00

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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J'ai un suite logique à étudier 1, 4, 10, 20...

boubouain a écrit:

Je suis retraité !
Et je n'ai jamais pratiqué ce genre de calcul ! tongue

Je vous dit à+ !
Il faut que j'aille cuisiner !!!

Aaahhhaaa !!! Un retraité cuistot !!! lol

Blague dans le coin, j'admets qu'il ne soit pas facile de comprendre cela.
En fait, on a une première suite: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n: c'est la suite des entiers naturels (c'est le nom qu'on leur a donné).

Puis, par étape, on fabrique une seconde suite dont chaque terme est la somme (appelée série) des n premiers termes de la suite précédente, ce qui donne: 1; 3 = 1 + 2; 6 = 1 + 2 + 3; 10 = 1 + 2 + 3 + 4; 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5; 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6; ... etc; m (un autre "n").
On peut calculer m en fonction de n: m=n(n+1)/2.

Puis, de nouveau, on fabrique une troisième suite dont, là aussi, chaque terme est la somme des m premiers termes de la suite précédente, ce qui donne: 1; 4 = 1 + 3; 10 = 1 + 3 + 6; 20 = 1 + 3 + 6 + 10; 35 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15; 56 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21; ... etc; p (un autre "n" ou "m", peu importe).
Là aussi, on peut calculer p en fonction de n: p=n(n+1)(n+2)/6.

Pour ton exercice, l'auteur s'est arrêté là, mais on aurait très bien pu continuer à fabriquer une quatrième suite, etc...
J'espère avoir un peu éclairé ta lanterne.

Bonne soirée.
Frank

PS: Je ne suis pas encore retraité, mais déjà quinquagénaire wink

 #44 - 02-08-2011 22:43:03

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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J'ai une suite logiue à étudier 1, 4, 10, 20...

Bonjour. C'est ici, le gérontopic ? wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #45 - 02-08-2011 22:50:34

boubouain
Habitué de Prise2Tete
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J'ai une suiite logique à étudier 1, 4, 10, 20...

J'ai encore d'autres suites à étudier:
1, 5, 15, 35, 70

Dans mon jargon cela donne ceci: 1+(1+3)+(4+6)+(10+10)+(20+15)+....

J'ai quand même pu trouver un terme à additionner qui à l'air de
fonctionner.
[TeX]S_n = \sum_{j=1}^n \frac{j^3+3j^2+2j}{6}[/TeX]
Maintenant je rame pour trouver la formule mathématique sad

 #46 - 02-08-2011 22:51:39

boubouain
Habitué de Prise2Tete
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h'ai une suite logique à étudier 1, 4, 10, 20...

big_smile eh!!
j'suis pas encore en maison de retraite ! lol

 #47 - 02-08-2011 23:43:06

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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J'ai une suite logique à étduier 1, 4, 10, 20...

Rebonjour,

Effectivement, la suite 1; 5 = 1 + 4; 15 = 1 + 4 + 10; 35 = 1 + 4 + 10 + 20; 70 = 1 + 4 + 10 + 20 + 35; 126 = 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 est l'étape suivante.
On peut trouver S(n) = n(n+1)(n+2)(n+3) / 24, polynôme de degré 4.

On devrait pouvoir démontrer par récurrence qu'à la p ème étape commencant par 1; 1+p; etc, on a S(n) = [(n+p-1)! / (n-1)!] / p!, polynôme de degré p.

Mais, là il est tard.
Bonne soirée.
Frank

PS: Qu'en pensent les "jeunes" ?

 #48 - 02-08-2011 23:45:29

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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j'ai une suite lpgique à étudier 1, 4, 10, 20...

MthS-MlndN a écrit:

Bonjour. C'est ici, le gérontopic ? wink

Eh oui ! La jeunesse est une caractéristique que l'on perd chaque jour un peu plus ! Et nous sommes tous concernés !

 #49 - 03-08-2011 09:13:14

boubouain
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 26

J'ai une suite logique étudier 1, 4, 10, 20...

Vous pouvez me dire si cette transformation est correcte ?
[TeX]S_n = \sum_{j=1}^n \frac{j^3+3j^2+2j}{6}[/TeX]
=
[TeX]S_n = \frac{1}{6}\times\sum_{j=1}^n j^3+\frac{1}{6}\times\sum_{j=1}^n 3j^2+\frac{1}{6}\times\sum_{j=1}^n 2j[/TeX][TeX]S_n = \frac{1}{6}\times\sum_{j=1}^n j^3+\frac{1}{2}\times\sum_{j=1}^n j^2+\frac{1}{3}\times\sum_{j=1}^n j[/TeX]

 #50 - 03-08-2011 10:31:41

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

j'ai une suite logique à étydier 1, 4, 10, 20...

Il faut développer n(n+1)(n+2)/6 = nnn/6 +nn/2 + n/3.
(nnn = n au cube et nn = n au carré, mais je ne sais pas les écrire)
Donc, ta formule est bien correcte et tu es sur la bonne voie.
Tu sais déjà exprimer, en fonction de n, la somme des n premiers entiers et la somme des n premiers carrés: il reste à trouver la formule pour la somme des n premiers cubes.
A+
Frank

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