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 #1 - 13-09-2013 14:45:32

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Pre : N°6 (une suite de cercles?)

Bonjour à tous smile

La série 6 pour le week-end wink

Soit une suite de cercles dans le plan 2D définie comme ci-après:
- chaque cercle n noté Cn est défini par son rayon Rn et son centre An avec tous les An appartenant à une droite (D),
- C1: R1=R et A1,
- Cn+1: An+1 est l'intersection de Cn et (D) tel que [latex]d(A_1,A_{n+1})>d(A_1,A_n)[/latex]. Cn+1 coupe Cn en 2 points Bn et Dn tel que l'angle [latex]\widehat{D_nA_nB_n}=\alpha[/latex].
Voir la figure ci-dessous:

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Suite_de_cercles.jpg

Questions:
1-) Soit Sn l'aire de la section du plan couverte par les n cercles. Définissez Sn en fonction de n et [latex]\alpha[/latex].
2-) Etudiez la convergence de Sn suivant les valeurs d'[latex]\alpha[/latex] et déterminez la limite S en fonction d'[latex]\alpha[/latex] si Sn est convergente.
3-)A.N. Calculez [latex]S_{20}[/latex] pour R=5 et [latex]\alpha=5\pi/9  (100°)[/latex]. Réponse à valider dans la case réponse avec 3 chiffres dans la partie décimale, le point étant utilisé comme séparateur décimal.
4-) Question bonus: En tournant la surface Sn autour de la droite (D), on obtient un solide de volume Vn. Définissez Vn en fonction de Sn, n et [latex]\alpha[/latex] ou en fonction de n et [latex]\alpha[/latex].

Indice 1:
Spoiler : [Afficher le message] Remarquez que [latex]R_{n+1}=q*R_n[/latex] et trouvez [latex]q[/latex] smile

BONNE CHANCE A TOUS



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 #2 - 14-09-2013 08:54:01

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Père : N°6 (unne suite de cercles?)

Toujours rien? hmm
Je pense que c'est probablement le plus costaud de mon vieux dossier wink.
Ne cherchez pas forcément à résoudre la question bonus un peu plus chiante. L’énigme de base ne concerne que les 3 premières questions.
MERCI A TOUS big_smile

 #3 - 14-09-2013 11:14:58

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

le vieux dossier de grand-père : n°6 (une suite de crrcles?)

Bonjour, smile

c'est vrai que celui-là est un peu plus costaud.

Ce n'est pas encore pour poster une solution, mais juste pour signaler que dans ton énoncé Cn désigne le n-ième cercle, mais aussi un point d'intersection entre Cn+1 et ... Cn big_smile.


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 14-09-2013 11:28:01

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Pèr e: N°6 (une suite de cercles?)

cogito a écrit:
Ce n'est pas encore pour poster une solution, mais juste pour signaler que dans ton énoncé Cn désigne le n-ième cercle, mais aussi un point d'intersection entre Cn+1 et ... Cn.

Merci cogito pour la remarque, je viens de remédier à ca smile
Cn est bien la n-ième cercle. Bn et Dn sont donc les intersections entre Cn et Cn+1.

 #5 - 14-09-2013 12:22:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le vieux dossier de Grand-Pèr : N°6 (une suite de cercles?)

Le problème n'est pas difficile , l'aire recherchée est 2(D+T1+Q1+T2+....+F) , le calcul est vraiment facile .

http://img838.imageshack.us/img838/254/takw.jpg

Après pour les autres questions , c'est vraiment scolaire mais y'en a qui aiment smile

Vasimolo

 #6 - 14-09-2013 13:31:31

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Père : N°6 (unne suite de cercles?)

Comme dit vasimilo, le calcul de l'aire de n'est pas difficile en soit si on divise bien la section à calculer mais le but du sujet de calculer l'aire en connaissant le nombre de cherche, le rayon initial R et [latex]\alpha[/latex]. Donc vasimolo, tu donnes une méthode mais pas la réponse hmm.

 #7 - 14-09-2013 19:20:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le vieux dossier de Grand-Père : N° 6(une suite de cercles?)

Je sais bien que je ne donne pas la réponse smile

La suite [latex]T_n+Q_n[/latex] est géométrique de raison [latex]4.sin^2\frac{\alpha}{4}[/latex] , le reste c'est du calcul que je trouve plutôt fastidieux .

D'un autre côté j'ai toujours été vraiment fainéant côté calcul lollollol

Vasimolo

 #8 - 15-09-2013 00:12:00

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

le vieux dossiee de grand-père : n°6 (une suite de cercles?)

Après avoir amélioré le dessin de kossi_tg wink :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-Dossier6.jpg

On a Sn qui est égal à l'aire du pacman jaune plus l'aire des pacman verts plus l'air du fantôme bleu (du moins ce qu'il en reste lol). L'air en vert se décompose en (n-1) parties identiques qui sont chacune déterminée pour chaque [latex]1\le k < n[/latex]  par les points  [latex] B_kA_kD_kD_{k+1}A_{k+1}B_{k+1}[/latex]. Appelons [latex]V_k[/latex] l'aire délimitée par ces points (je ne parle pas du polygône, [latex]D_kD_{k+1}[/latex] et [latex]B_{k+1}B_k[/latex] sont des arcs de cercle).
Alors on a :
[TeX]S_n={\color[rgb]{1,0.8,0} R_1^2{(2\pi-\alpha)\over 2}}+ {\color[rgb]{0,0.6,0} \sum_{k=1}^{n-1} V_k} + {\color{blue} R_n^2{\alpha\over 2}}={\color[rgb]{1,0.8,0} R_1^2(\pi-{\alpha\over 2})}+ {\color[rgb]{0,0.6,0} \sum_{k=1}^{n-1} V_k} + {\color{blue} R_n^2{\alpha\over 2}}[/TeX]
Dans tout ce qui suit, je ferais référence à la figure suivante :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-dossier6.png

Nous voulons donc calculer l'aire des [latex]V_k[/latex], ce qui correspond à l'air en rouge plus l'air en bleu ciel sur la figure.

Calcul de l'aire en rouge :

   L'aire du polygone en rouge est égale à l'air du rectangle en pointillé et vaut donc [latex]B_kE_k*A_kA_{k+1}[/latex]. (bon d'accord, pour alpha plus grand que pi/2 c'est plus dur à voir, mais c'est toujours vrai, j'ai donné cet argument pour ne pas avoir à détailler les calculs tongue)

   Nous avons d'une part [latex]A_kA_{k+1}=R_k[/latex] et d'autre part [latex]B_kE_k=R_k\sin{\alpha\over 2}[/latex]

  Donc finalement, l'aire en rouge est égale à [latex]R_k^2\sin{\alpha\over 2}[/latex].

Calcul de l'aire en bleu ciel :

   L'aire en bleu ciel est égale à [latex]2(R_{k+1}^2{\delta\over 2})[/latex].

   D'une part, comme l'angle [latex]\widehat{B_kA_kD_k}[/latex] est un angle au centre, et que [latex]\widehat{B_kA_{k+1}D_k}[/latex] est un angle inscrit qui intercepte le même arc alors nous avons :
[TeX]\gamma={\beta\over 2}[/TeX]
  D'autre part nous avons [latex]\gamma + 2\delta = \beta[/latex]  et donc nous avons
[TeX]2\delta={\beta\over 2}={(2\pi-\alpha)\over 2} = \pi-{\alpha\over 2}[/TeX]
  Donc finalement l'aire en bleu ciel est égale à [latex]R_{k+1}^2({\pi\over 2}-{\alpha\over 4})[/latex].

Pour résumé cela nous donne :
[TeX]{\color[rgb]{0,0.6,0} V_k} = {\color[rgb]{0.7,0,0}R_k^2\sin{\alpha\over 2}} + {\color[rgb]{0.2,0.7,0.7}R_{k+1}^2({\pi\over 2}-{\alpha\over 4})}[/latex].

Maintenant, il ne reste plus qu'a trouver la relation entre les rayons des cercles.
Si on regarde le triangle [latex](A_kA_{k+1}D_k)[/latex], c'est un triangle isocèle dont la base est de longueur [latex]R_{k+1}[/latex] et dont les deux autres côtés sont de longueurs [latex]R_k[/latex] et dont l'angle au sommet vaut [latex]\alpha/2[/latex]. On a donc [latex]R_{k+1}=2R_k\sin{\alpha\over 4}[/latex].

Cette relation nous permet d'une part, par une récurrence directe, d'exprimer [latex]R_k[/latex] pour tout k :

[latex]R_k=(2sin{\alpha\over 4})^{k-1}R_1[/TeX]
d'autre part de trouver un terme général pour [latex]V_k[/latex], en effet :

posons  [latex]x=\sin{\alpha\over 2}[/latex], [latex]y=\sin{\alpha\over 4}[/latex] et [latex]z={\pi\over 2}-{\alpha\over 4}[/latex], alors nous avons :
[TeX]V_{k+1}= R_{k+1}^2x+R_{k+2}^2z = (2R_ky)^2x+ (2R_{k+1}y)^2z=(2y)^2(R_k^2x+R_{k+1}^2z)=4y^2V_k[/TeX]
et donc par une récurrence directe nous avons pour tout k:
[TeX]V_k=(4y^2)^{k-1}V_1=(4(\sin{\alpha\over 4})^2)^{k-1}V_1[/TeX]
avec  [latex]V_1 = R_1^2\sin{\alpha\over 2} + R_2^2({\pi\over 2}-{\alpha\over 4})}[/latex].

et donc finalement, pour en revenir à nos pacman wink :
[TeX]S_n= {\color[rgb]{1,0.8,0} R_1^2(\pi-{\alpha\over 2})}+ {\color[rgb]{0,0.6,0} \sum_{k=1}^{n-1} (4y^2)^{k-1}V_1} + {\color{blue} R_n^2{\alpha\over 2}}[/TeX][TeX]{\color{white} S_n}= {\color[rgb]{1,0.8,0} R_1^2(\pi-{\alpha\over 2})}+ {\color[rgb]{0,0.6,0} V_1\sum_{k=1}^{n-1} (4y^2)^{k-1}} + {\color{blue} ((2sin{\alpha\over 4})^{n-1}R_1)^2{\alpha\over 2}}[/TeX][TeX]{\color{white} S_n}= {\color[rgb]{1,0.8,0} R_1^2(\pi-{\alpha\over 2})}+ {\color[rgb]{0,0.6,0} V_1\sum_{k=0}^{n-2} (4y^2)^k} + {\color{blue} R_1^2(4y^2)^{n-1}{\alpha\over 2}}[/TeX]
cas 1 : [latex]\mathbf{4y^2 = 1}[/latex] alors on a :
[TeX]S_n= {\color[rgb]{1,0.8,0} R_1^2(\pi-{\alpha\over 2})}+ {\color[rgb]{0,0.6,0} V_1\sum_{k=0}^{n-2} 1} + {\color{blue} R_1^2{\alpha\over 2}} =R_1^2\pi +(n-1)V_1[/TeX]
Dans ce cas là, Sn diverge et nous avons :
[TeX]4y^2= 1\Leftrightarrow y^2={1\over 4}\Leftrightarrow sin{\alpha\over 4}= \pm {1\over 2}[/latex].

Comme on choisit [latex]\alpha\in[0,2\pi][/latex] alors [latex]{\alpha\over 4}\in[0,{\pi\over 2}][/latex], et la seul solution de l'équation ci-dessus qui soit dans cet intervalle est [latex]{\alpha\over 4}={\pi\over 6} \Leftrightarrow \alpha={2\pi\over 3}[/TeX]
    Interprétation géométrique de ce résultat :
        Si on trace les deux droites qui sont tangentes à tous les cercles, alors ces deux droites sont parallèles. Tous les cercles ont le même rayon. Et donc Sn diverge.


cas 2 : [latex]\mathbf{4y^2 \neq 1}[/latex]

Nous pouvons alors utiliser la formule des série géométriques pour calculer la somme en vert :
[TeX]S_n= {\color[rgb]{1,0.8,0} R_1^2(\pi-{\alpha\over 2})}+ {\color[rgb]{0,0.6,0} V_1{1-(4y^2)^{n-1}\over 1-4y^2}} + {\color{blue} R_1^2(4y^2)^{n-1}{\alpha\over 2}}[/TeX]
Nous voyons donc que [latex]S_n[/latex] converge si et seulement si la suite définie par [latex]u_n=(4y^2)^n[/latex] converge. [latex]u_n[/latex] converge si et seulement si :
[TeX]|4y^2|< 1\Leftrightarrow x^2 < {1\over 4}\Leftrightarrow |sin{\alpha\over 4}|< {1\over 2}[/TeX]
De la même manière que dans le cas précédent on obtient que [latex]\alpha < {2\pi\over 3}[/latex]. Donc la suite [latex]S_n[/latex] converge si [latex]\alpha < {2\pi\over 3}[/latex] et diverge sinon.

      Interprétation géométrique de ce résultat :
            Si [latex]\alpha<{2\pi\over 3}[/latex] alors les deux droites qui sont tangentes à tous les cercles se coupent dans la partie droite du dessin et forment ainsi un triangle dont l'aire majore Sn, donc Sn converge.
            Sinon les droites se rejoignent de l'autre côté du dessin, cela signifie que l'on aura des cercles de plus en plus grand, et donc que Sn diverge.


Donc dans le cas où [latex]\alpha < {2\pi\over 3}[/latex] nous avons :
[TeX]4y^2 <1[/latex], et donc la suite [latex]u_n[/latex] converge vers 0, et donc [latex]S_n[/latex] converge vers :

[latex]{\color[rgb]{1,0.8,0} R_1^2(\pi-{\alpha\over 2})} + {\color[rgb]{0,0.6,0} {V_1\over 1-4y^2}}[/TeX]
Application numérique :

Pour [latex]R_1 = 5, n= 20[/latex] et [latex]\alpha={5\pi\over 9}[/latex] on a :
[TeX]y = \sin{5\pi\over 36}[/TeX][TeX]R_2 = 2yR_1 = 10\sin{5\pi\over 36}\simeq 4,22618[/TeX][TeX]V_1 = 5^2\sin{5\pi\over 18} + R_2^2({\pi\over 2}-{5\pi\over 36})}= 25\sin{5\pi\over 18} + R_2^2({13\pi\over 36})}\simeq 39,413341[/TeX][TeX]4y^2=4\sin^2{5\pi\over 36}\simeq 0,7144[/TeX][TeX](4y^2)^{19}\simeq 0,001679[/TeX][TeX]{1-(4y^2)^{19}\over 1-4y^2}\simeq 3,49582[/TeX]
[TeX]S_{20} \simeq {\color[rgb]{1,0.8,0} 25*{13\pi\over 18}} +  {\color[rgb]{0,0.6,0}39,413341*3,49582} + {\color{blue} 25* 0,001679 * {5\pi\over 18}}\simeq 194,542[/TeX]
Ouf ! J'espère ce n'est pas trop confus.
Je me suis beaucoup amusé à faire se poste là smile, j'espère que les couleurs sont lisibles big_smile.
Pour la 3D je verrais ça plus tard peut-être.


Il y a sûrement plus simple.

 #9 - 15-09-2013 00:16:55

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

Le vieux dossierr de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?)

Bien trouvé vasimolo, le reste n'est plus que de calcul. Merci smile

BRAVO cogito, je suis bleffé par ton poste et la clarté dans tes calculs même s'il faut être capable de suivre lol. Félicitation.

Je mets un indice pour ceux qui cherchent encore wink

 #10 - 15-09-2013 15:54:00

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Le vieeux dossier de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?)

Bonjour,

Voici la réponse aux questions 1), 2) et 3).

Question 1
[TeX]S_n=\pi R^2+\left[4\sin^2{\frac{\alpha}{4}}\left(\pi+\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\right)-\alpha+\sin\alpha\right] \frac{\ 1-4^{n-1}\sin^{2n-2}\frac{\alpha}{4}\ }{\ 1-4\sin^2\frac{\alpha}{4}\ }\,\frac{R^2}{2}[/TeX]
Question 2
La suite [latex]S_n[/latex] converge si et seulement si [latex]4\sin^2\frac{\alpha}{4}<1[/latex], c-à-d [latex]\alpha<\frac{2\pi}{3}[/latex]    (120°).
Dans ce cas la limite est
[TeX]S=\pi R^2+\left[4\sin^2{\frac{\alpha}{4}}\left(\pi+\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\right)-\alpha+\sin\alpha\right]  \frac{ 1}{\ 1-4\sin^2\frac{\alpha}{4}\ }\,\frac{R^2}{2}[/TeX]
Notons que pour [latex]\alpha=\frac{2\pi}{3}[/latex] tous les cercles ont le même rayon.

3) [latex]S_{20} = 194.5419201720921144789774856...[/latex] arrondi à [latex]194.542[/latex]
[TeX]S = 194.7370706227094117208196155...[/TeX]
Voilà !

 #11 - 16-09-2013 09:02:36

kossi_tg
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Le vieux dosssier de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?)

BRAVO masab cool

 #12 - 16-09-2013 15:20:30

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
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Le vieux dossier de Grnad-Père : N°6 (une suite de cercles?)

Question 4
On pose [latex]g(x)=\sin^4\frac{x}{4}\left(2+\cos\frac{x}{2}\right)[/latex]  .
Pour [latex]\alpha\not=\frac{2\pi}{3}[/latex] , on a
[TeX]V_n=\frac{4}{3}\pi R^3\left(8\sin^3\frac{\alpha}{4}\right)^{n-1}+\frac{4}{3}\pi R^3\left[ 1-g(\alpha)-8\sin^3\frac{\alpha}{4}\,g\left(\pi-\frac{\alpha}{2}\right)\right] \frac{\ 1-\left(8\sin^3\frac{\alpha}{4}\right)^{n-1}\ }{1-8\sin^3\frac{\alpha}{4}}[/TeX]
Application numérique : [latex]V_{20} = 1049.127335613927589991443535...[/latex] arrondi à [latex]1049.127[/latex]

Voilà !

 #13 - 16-09-2013 16:59:58

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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le vieux dossier de grand-père : n°6 (une suute de cercles?)

Question 4:
masab, on n'a pas les mêmes résultats à [latex]V_{20}[/latex]. As-tu le volume d'une sphère à [latex]V_1[/latex]?

 #14 - 17-09-2013 10:52:19

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 681

Le vieux dossier de Grand-Père : N°6 (une suite de cerrcles?)

Rectifié !

 #15 - 17-09-2013 12:16:13

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Le vieux dossier de Grand-Père : N°6 (une suite de cerces?)

BRAVO masab

 #16 - 19-09-2013 00:27:36

cogito
Expert de Prise2Tete
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Le vieux dssier de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?)

Pour le volume, je vais plutôt découper les sphères comme suit :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-Dossier6V.jpg

(d’ailleurs je pense que pour le calcul d'aire j'aurai dû suivre le même découpage, cela aurait probablement simplifié les calculs hmm)

Donc tous les calculs de volumes vont se résumer aux calculs de volume d'une sphère à laquelle on soustraira le volume d'une ou deux calottes sphériques.

La formule d'une calotte sphérique de hauteur [latex]h[/latex] et de rayon [latex]R[/latex] est :
[TeX]\pi R h^2 -{\pi h^3\over 3}[/latex]                (1).

Dans tout ce qui suit je ferais référence à la figure suivante :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-dossier6V.png


Nous savons déjà que [latex]R_{k+1} = 2R_k\sin{\alpha\over 4}[/latex].

Remarque : dans la suite j'utiliserais le résultat suivant :

[latex]1-\cos(2\theta) = 2\sin^2\theta[/TeX]
I-calcul de la distance [latex]E_kA_{k+1}[/latex] :
[TeX]E_kA_{k+1}=A_kA_{k+1} - A_kE_k = R_k - R_k\cos{\alpha\over 2} = R_k(1-\cos{\alpha\over 2})[/TeX]
autrment dit : [latex]E_kA_{k+1}=2R_k\sin^2{\alpha\over 4}[/latex].

II-calcul de la distance [latex]F_kE_k[/latex] :
[TeX]F_kE_k=F_kA_{k+1} - E_kA_{k+1}=R_{k+1} -2R_k\sin^2{\alpha\over 4}[/TeX][TeX]{\color{white}F_kE_k}=2R_k\sin{\alpha\over 4} -2R_k\sin^2{\alpha\over 4}=2R_k\sin{\alpha\over 4}(1 - \sin{\alpha\over 4})[/TeX]
Pour des raisons de clareté, dans la suite [latex]y[/latex] représentera  [latex]\sin{\alpha\over 4}[/latex].

Volume Jaune :

Le volume en jaune est le volume de la première sphère moins le volume de la calotte sphérique de hauteur [latex]E_1A_2[/latex], ce qui d'après (1) et I donne :
[TeX]{4\pi\over 3}R_1^3 - \pi R_1(2R_1y^2)^2 + {\pi (2R_1y^2)^3\over 3} =[/TeX][TeX]{4\pi R_1^3\over 3}(1 - 3y^4 +2y^6)={4\pi R_1^3\over 3}(1-y)^2(1+y)^2(2y^2+1)[/TeX]
Volume Vert :

Le volume vert est composé de n-2 morceaux comme sur la figure ci-dessus.
Le calcul ci-dessus reste valable pour les autres sphères et correspond au volume "délimité" par les points [latex]B_{k+1}B_kF_kD_kD_{k+1}[/latex].

Donc le volume d'un morceau vert (que l'on va noter [latex]W_k[/latex]) est le volume ci-dessus (avec [latex]R_k[/latex] au lieu de [latex]R_1[/latex]) moins le volume de la calotte "délimitée" par les point [latex]B_kF_kD_k[/latex], c'est à dire :
[TeX]{4\pi R_k^3\over 3}(1-y)^2(1+y)^2(2y^2+1)- \pi R_k (2R_ky(1 - y))^2 +{\pi (2R_ky(1 - y)) ^3\over 3} [/TeX][TeX]= {4\pi R_k^3\over 3}[(1-y)^2(1+y)^2(2y^2+1) -3y^2(1-y)^2 + 2y^3(1-y)^3][/TeX][TeX]= {4\pi R_k^3\over 3}(1-y)^2[(1+y)^2(2y^2+1) -3y^2 + 2y^3(1-y)][/TeX][TeX]= {4\pi R_k^3\over 3}(1-y)^2(1+2y+6y^3)[/TeX]
Par le même raisonnement que pour les surfaces, on a la relations de récurrence :
[TeX]W_{k+1}=8y^3W_k[/TeX]
et donc [latex]W_k = (8y^3)^{k-2}W_2[/latex] (car ici les volumes verts commence à k=2).

donc le volume vert est égàl à [latex]W_2\sum_{k=2}^{n-1}(8y^3)^{k-2} = W_2\sum_{k=0}^{n-3}(8y^3)^k[/latex]


Volume Bleu :

Le volume en bleu est le volume de la dernière sphère moins le volume de la calotte sphérique de hauteur [latex]F_{n-1}E_{n-1}[/latex], ce qui d'après (1) et II donne :
[TeX]{4\pi\over 3}R_n^3 - \pi R_n(2R_ny(1-y))^2 + {\pi (2R_ny(1-y))^3\over 3} =[/TeX][TeX]{4\pi R_n^3\over 3}(1 - 3y^2(1-y)^2 +2y^3(1-y)^3) =[/TeX][TeX]{4\pi (8y^3)^{n-1}R_1^3\over 3}(1 - 3y^2(1-y)^2 +2y^3(1-y)^3) =[/TeX]
Volume Total:

Donc finalement le volume totale est :
[TeX]V_n={\color[rgb]{1,0.8,0} {4\pi R_1^3\over 3}(1-y)^2(1+y)^2(2y^2+1)} + [/TeX][TeX]{\color[rgb]{0,0.6,0} W_2\sum_{k=0}^{n-3}(8y^3)^k}+[/TeX][TeX]{\color{blue}{4\pi (8y^3)^{n-1}R_1^3\over 3}(1 - 3y^2(1-y)^2 +2y^3(1-y)^3)}[/TeX]
Donc si [latex]\alpha={2\pi\over 3}[/latex] alors nous avons [latex]y=1/2[/latex],
et donc :
[TeX]V_n={\color[rgb]{1,0.8,0} {4\pi R_1^3\over 3}(1/2)^2(3/2)^2(3/2)} + [/TeX][TeX]{\color[rgb]{0,0.6,0} W_2\sum_{k=0}^{n-3}1}+[/TeX][TeX]{\color{blue}{4\pi R_1^3\over 3}(1 - (3/4)(1/2)^2 +(1/4)(1/2)^3)}[/TeX]
Soit : [latex]V_n={\color[rgb]{1,0.8,0} {27\pi R_1^3\over 24}} + {\color[rgb]{0,0.6,0} (n-2)W_2}+{\color{blue}{25\pi R_1^3\over 24}} ={13\pi R_1^3\over 6}}+(n-2)W_2[/latex]

Et si [latex]\alpha\neq{2\pi\over 3}[/latex] alors [latex]8y^3\neq 1[/latex] et donc on peut appliquer la formule pour les séries géométriques, ce qui donne :
[TeX]V_n={\color[rgb]{1,0.8,0} {4\pi R_1^3\over 3}(1-y)^2(1+y)^2(2y^2+1)} + [/TeX][TeX]{\color[rgb]{0,0.6,0} W_2{1-(8y^3)^{n-2}\over 1-(8y^3)}}+[/TeX][TeX]{\color{blue}{4\pi (8y^3)^{n-1}R_1^3\over 3}(1 - 3y^2(1-y)^2 +2y^3(1-y)^3)}[/TeX]
Vérification numérique :
[TeX]y = \sin{5\pi\over 36}[/TeX][TeX]{4\pi R_1^3\over 3} ={500\pi \over 3} \simeq 523,598776[/TeX][TeX](1-y)^2(1+y)^2(2y^2+1)\simeq 0,9156946[/TeX]
=====> Volume Jaune [latex]\simeq 479,45658[/latex]
[TeX](8y^3)^{19}(1 - 3y^2(1-y)^2 +2y^3(1-y)^3)\simeq 0.00005853[/TeX]
=====> Volume Bleu [latex]\simeq 0,0306478[/latex]
[TeX]{1-(8y^3)^{18}\over 1-(8y^3)}\simeq 2.524059[/TeX][TeX]8y^3(1-y)^2(1+2y+6y^3)\simeq 0.46263175 [/TeX][TeX]W_2={4\pi (8y^3)R_1^3\over 3}(1-y)^2(1+2y+6y^3)\simeq 242,2334[/TeX]
=====>  Volume Vert [latex]\simeq 611,411442[/latex]

=====> [latex]V_{20}\simeq 1090,899[/latex]

Voilà, j'espère que je n'ai pas fait d'erreurs de calculs.
J'ai fait quelques recherches sur internet, et je suis tombé sur un théorème appelé théorème de Guldin. Mais pour utiliser ce théorème, il faut savoir où se trouve le centre de gravité de la figure, et apparemment ça à l'air plus difficile que de calculer directement le volume, dommage... (c'aurait été classe cool)


Il y a sûrement plus simple.

 #17 - 19-09-2013 10:26:29

kossi_tg
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le vieux dossuer de grand-père : n°6 (une suite de cercles?)

cogito: que du plaisir à te lire. Dans le calcul de [latex]W_k[/latex], j'ai l'impression que que tu n'as pas soustrait 2 calottes mais une seule. Je pense la différence des résultats à [latex]V_{20}[/latex] doit provenir de là. Vérifie voir. Merci pour cette débauche d'énergie smile
Pour le théorème de Guldin, j'avais pensé à cela en posant cette question mais au moment de le faire, je ne suis très rapidement rendu compte le rayon de gravité est plus difficile à déterminer que ce que je pensais.

 #18 - 19-09-2013 16:03:16

Klimrod
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Le vieux dossier de Grand-èPre : N°6 (une suite de cercles?)

En visionnant les réponses de cogito, je crois qu'on peut lui décerner la palme du latex d'or !
lolhttp://www.bradfords.co.uk/prod_img/e_18.jpg


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #19 - 19-09-2013 17:59:14

Franky1103
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le vieux dossier de grand-père : n°6 (une syite de cercles?)

J'étais parti comme cogito, mais après je me suis perdu dans les calculs sans pouvoir finir. Bravo à cogito.
Edit: Et bravo à masab aussi bien sur.

 #20 - 19-09-2013 19:52:00

cogito
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Le vieux dossier de Grand-Père : N°6 (une suuite de cercles?)

Dans le calcul de [latex]W_k[/latex] je soustrais une calotte du calcul effectué pour le volume jaune (dans lequel j'enlève une autre calotte), donc au total j'enlève bien deux calottes.

Mon erreur était que dans l'expression du volume bleu j'ai remplacé [latex]R_n^3[/latex] par [latex](8y^3)R_1^3[/latex] au lieu de [latex](8y^3)^{n-1}R_1^3[/latex] (et donc le volume de la 20 ième boule qui est censé être petit, était relativement grand big_smile).

Je viens de rectifier, mais malheureusement je dois avoir une autre erreurs quelque part car je retombe seulement à 1090 (au lieu de 1049) hmm

P.S: Sinon merci pour la palme du latex d'or lol


Il y a sûrement plus simple.

 #21 - 19-09-2013 20:42:42

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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le vieux dossier de geand-père : n°6 (une suite de cercles?)

Merci à tous et un tableau d'honneur à masab et cogito

Je pose ci dessous ma solution.

 #22 - 19-09-2013 22:29:39

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

le cieux dossier de grand-père : n°6 (une suite de cercles?)

Proposition de solution:

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Suite_cercle_Sol.JPG

Préliminaires:
[TeX]\alpha[/latex] est noté a et [latex]\beta[/latex] b sur la figure.
[latex]AA_i=AB=R=R_1[/latex]  et  [latex]A_iB=R_i[/TeX]
D'après Al-Kashi, [latex]R_i^2=R^2+R^2-2*R*R*cos(\alpha/2)[/latex]
soit [latex]R_i=2*R*sin(\alpha/4)[/latex] puisque [latex]1-cos(t)=sin(t/2)^2[/latex] quelque soit t.

On en conclut que [latex]R_i[/latex] est une suite géométrique de raison [latex]q=2*sin(\alpha/4)[/latex].
[TeX]R_i=R*q^i.[/TeX]
1-) Aire totale
Désignons par [latex]F_1[/latex] l'aire du [latex]1^{ier}[/latex] cercle, par [latex]F_n[/latex] celle du dernier, par [latex]f_i[/latex] celle d'un cercle intermédiaire de rang i et par [latex]F_i[/latex] l'aire totale des cercles intermédiaires (de rang 2 à n-1).
[TeX]F_1=\pi*R^2-\frac{R^2}{2}*(\alpha-sin(\alpha))=R^2*(\pi-\alpha/2+sin(\alpha)/2))[/TeX]
De la même manière:
[TeX]F_n=R_n^2*(\pi-\beta+sin(2*\beta)/2))=R^2*q^{2n}*(\pi-\beta/2+sin(2*\beta)/2)) où \beta=(2*\pi-\alpha)/4.[/TeX][TeX]f_i=R^2*q^{2i}*(\pi-\beta+sin(2*\beta)/2)-\alpha/2+sin(\alpha)/2))=R^2*q_s^n*K_s[/latex]  où

[latex]K_s=(\pi-\beta+sin(2*\beta)/2)-\alpha/2+sin(\alpha)/2))=constante[/latex]  et

[latex]q_s=q^2[/latex].

[latex]f_i[/latex] est une suite géométrique de raison [latex]q_s[/latex].

[latex]F_i=\sum_{j=2}^{j=n-1}f_i=f_2*\frac{1-q_s^{n-2}}{1-q_s}[/TeX][TeX]S_n=F_1+F_n+F_i[/TeX][TeX]S_n=R^2*(\pi-\alpha/2+sin(\alpha)/2))+R^2*q^{2n}*(\pi-\beta+sin(2*\beta)/2))+f_2*\frac{1-q_s^{n-2}}{1-q_s}[/TeX]
2-) Etude convergence
Le comportement de [latex]S_n[/latex] à l'infini est le même que celui de [latex]F_i[/latex] car [latex]F_1[/latex] et [latex]F_n[/latex] sont des constantes.
[TeX]q_s=4*sin(\alpha/4)^2[/TeX]
Si [latex]q_s>1[/latex] c'est à dire [latex]\alpha>2\pi/3[/latex] alors [latex]F_i[/latex] est divergente et [latex]S_n[/latex] l'est aussi.

Si [latex]q_s=1[/latex] c'est à dire [latex]\alpha=2\pi/3[/latex] alors tous les cercles ont le même rayon R, [latex]F_i[/latex] et [latex]S_n[/latex] sont divergentes.

Si [latex]q_s<1[/latex] c'est à dire [latex]\alpha<2\pi/3[/latex] alors [latex]F_i[/latex] et [latex]S_n[/latex] sont convergentes et dans ce cas
[TeX]S=R^2*(\pi-\alpha/2+sin(\alpha)/2))+f_2*\frac{1}{1-q_s}[/TeX]
3-) AN
[TeX]\alpha=\frac{5*\pi}{9}[/latex], R=5 et n=20
[latex]q=2*sin(\alpha/4)=0.84523652[/TeX]
[TeX]q_s=q^2=0.71442478[/TeX]
[TeX]F_1=69.0332976[/TeX]
[TeX]F_{20}=0.100355[/TeX]
[TeX]f_2=35.89788256[/TeX]
[TeX]F_i=125.4082676[/TeX][TeX]S_{20}=194.542[/TeX]
4-) Calcul du volume [latex]V_n[/latex]

Pour calcul le volume, j'ai procédé comme pour la surface. Les 2 volumes d'extrémités sont calculés puis ceux des corps intermédiaires.
Désignons par [latex]G_1[/latex] le volume de la première boule (sans la calotte [latex]BDA_i[/latex]), [latex]G_n[/latex] celui de la boule n (sans la calotte [latex]B_nD_nA_n[/latex]) et [latex]g_i[/latex] celui de la boule intermédiaire de rang i (sans les 2 calottes "découpées").
[TeX]OA_i=R*(1-cos(\alpha/2))[/latex] (hauteur de la calotte)
[latex]G_1=\frac{4*\pi*R^3}{3}-\frac{\pi*OA_i^2}{3}*(3*R-AO_i)[/TeX]
soit
[TeX]G_1=\frac{\pi}{3}*R^3*(2+3*cos(\alpha/2)-cos(\alpha/2)^3)[/TeX]
Par analogie pour la dernière boule:
[TeX]G_n=\frac{\pi}{3}*R_n^3*(2+3*cos(\beta)-cos(\beta)^3)[/TeX]
Pour le calcul du volume d'une boule intermédiaire de rang i. Deux calottes sont enlevées de la boule sphérique, leurs hauteurs sont:
[TeX]h_g=R_i*(1-cos(\beta))[/latex] (hauteur de la calotte à gauche)

[latex]h_d=R_i*(1-cos(\alpha/2))[/latex] (hauteur de la calotte à droite)

[latex]g_i=\frac{4*\pi*R^3}{3}-\frac{\pi*h_g^2}{3}*(3*R_i-h_g)-\frac{\pi*h_d^2}{3}*(3*R_i-h_d)[/TeX]
soit
[TeX]g_i=K_v*R_i^3[/latex]  où

[latex]K_v=\frac{\pi}{3}*[3*cos(\alpha/2)+3*cos(\beta)-cos(\alpha/2)^3-cos(\beta)^3]=constante[/TeX]
On remarque que [latex]g_i[/latex] est une suite géométrique de raison [latex]q_v=q^3=8*sin(\alpha/4)^3[/latex].
[TeX]G_i=\sum_{j=2}^{j=n-1}g_i=g_2*\frac{1-q_v^{n-2}}{1-q_v}[/TeX][TeX]V_n=G_ 1+G_n+G_i[/TeX][TeX]V_n=\frac{\pi}{3}*R^3*[2+3*cos(\alpha/2)-cos(\alpha/2)^3]+\frac{\pi}{3}*R_n^3*[2+3*cos(\beta)-cos(\beta)^3]+[/TeX]
[TeX]g_2*\frac{1-q_v^{n-2}}{1-q_v}[/TeX]
Comme pour la surface, lorsque [latex]\alpha[/latex] est inférieur à [latex]2\pi/3[/latex], [latex]G_i[/latex] est convergente donc [latex]V_n[/latex] l'est aussi. Soit V la limite de [latex]V_n[/latex] dans ce cas.
[TeX]V=\frac{\pi}{3}*R^3*(2+3*cos(\alpha/2)-cos(\alpha/2)^3)+g_2*\frac{1}{1-q_v}[/TeX]
AN pour R=5, [latex]\alpha=5*\pi/9[/latex] et n=20
[TeX]G_1=479.456581[/TeX]
[TeX]G_{20}=0.02876158[/TeX]
[TeX]K_v=2.989907155[/TeX]
[TeX]g_2=225.684888[/TeX]
[TeX]G_i=569.6419931[/TeX][TeX]V_{20}=1049.127[/TeX]

 #23 - 19-09-2013 22:54:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

le vieux dossier de grand-père : n°6 (une suite dr cercles?)

Je comprends qu'on puisse aimer , mais je ne suis pas fan de ce genre de problèmes , c'est vraiment du calcul bourrin sans astuce ou finesse hmm

Même mon pâtissier , que le calcul n'effraie pas , trouve le boudin un peu lourd  lollol

Vasimolo

 

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