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 #1 - 13-09-2013 14:45:32

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Père : N6 (une suite de cercles?)

Bonjour à tous smile

La série 6 pour le week-end wink

Soit une suite de cercles dans le plan 2D définie comme ci-après:
- chaque cercle n noté Cn est défini par son rayon Rn et son centre An avec tous les An appartenant à une droite (D),
- C1: R1=R et A1,
- Cn+1: An+1 est l'intersection de Cn et (D) tel que d(A1,An+1)>d(A1,An). Cn+1 coupe Cn en 2 points Bn et Dn tel que l'angle ^DnAnBn=α.
Voir la figure ci-dessous:

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Suite_de_cercles.jpg

Questions:
1-) Soit Sn l'aire de la section du plan couverte par les n cercles. Définissez Sn en fonction de n et α.
2-) Etudiez la convergence de Sn suivant les valeurs d'α et déterminez la limite S en fonction d'α si Sn est convergente.
3-)A.N. Calculez S20 pour R=5 et α=5π/9(100°). Réponse à valider dans la case réponse avec 3 chiffres dans la partie décimale, le point étant utilisé comme séparateur décimal.
4-) Question bonus: En tournant la surface Sn autour de la droite (D), on obtient un solide de volume Vn. Définissez Vn en fonction de Sn, n et α ou en fonction de n et α.

Indice 1:
Spoiler : [Afficher le message] Remarquez que Rn+1=qRn et trouvez q smile

BONNE CHANCE A TOUS


 
Réponse :
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 #2 - 14-09-2013 08:54:01

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

le vieux dossier de grand-pèee : n°6 (une suite de cercles?)

Toujours rien? hmm
Je pense que c'est probablement le plus costaud de mon vieux dossier wink.
Ne cherchez pas forcément à résoudre la question bonus un peu plus chiante. L’énigme de base ne concerne que les 3 premières questions.
MERCI A TOUS big_smile

 #3 - 14-09-2013 11:14:58

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

le vieux dossirr de grand-père : n°6 (une suite de cercles?)

Bonjour, smile

c'est vrai que celui-là est un peu plus costaud.

Ce n'est pas encore pour poster une solution, mais juste pour signaler que dans ton énoncé Cn désigne le n-ième cercle, mais aussi un point d'intersection entre Cn+1 et ... Cn big_smile.


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 14-09-2013 11:28:01

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Montargis

le vieux dossier de granf-père : n°6 (une suite de cercles?)

cogito a écrit:
Ce n'est pas encore pour poster une solution, mais juste pour signaler que dans ton énoncé Cn désigne le n-ième cercle, mais aussi un point d'intersection entre Cn+1 et ... Cn.

Merci cogito pour la remarque, je viens de remédier à ca smile
Cn est bien la n-ième cercle. Bn et Dn sont donc les intersections entre Cn et Cn+1.

 #5 - 14-09-2013 12:22:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,447E+3

le vieux dodsier de grand-père : n°6 (une suite de cercles?)

Le problème n'est pas difficile , l'aire recherchée est 2(D+T1+Q1+T2+....+F) , le calcul est vraiment facile .

http://img838.imageshack.us/img838/254/takw.jpg

Après pour les autres questions , c'est vraiment scolaire mais y'en a qui aiment smile

Vasimolo

 #6 - 14-09-2013 13:31:31

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Prèe : N°6 (une suite de cercles?)

Comme dit vasimilo, le calcul de l'aire de n'est pas difficile en soit si on divise bien la section à calculer mais le but du sujet de calculer l'aire en connaissant le nombre de cherche, le rayon initial R et α. Donc vasimolo, tu donnes une méthode mais pas la réponse hmm.

 #7 - 14-09-2013 19:20:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,447E+3

Le vieux dossier de Grand-Père : N°6 (une suit de cercles?)

Je sais bien que je ne donne pas la réponse smile

La suite Tn+Qn est géométrique de raison 4.sin2α4 , le reste c'est du calcul que je trouve plutôt fastidieux .

D'un autre côté j'ai toujours été vraiment fainéant côté calcul lollollol

Vasimolo

 #8 - 15-09-2013 00:12:00

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

le vieux dossirr de grand-père : n°6 (une suite de cercles?)

Après avoir amélioré le dessin de kossi_tg wink :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-Dossier6.jpg

On a Sn qui est égal à l'aire du pacman jaune plus l'aire des pacman verts plus l'air du fantôme bleu (du moins ce qu'il en reste lol). L'air en vert se décompose en (n-1) parties identiques qui sont chacune déterminée pour chaque 1k<n  par les points  BkAkDkDk+1Ak+1Bk+1. Appelons Vk l'aire délimitée par ces points (je ne parle pas du polygône, DkDk+1 et Bk+1Bk sont des arcs de cercle).
Alors on a :
Sn=rgb]1,0.8,0R21(2πα)2+rgb]0,0.6,0n1k=1Vk+R2nα2=rgb]1,0.8,0R21(πα2)+rgb]0,0.6,0n1k=1Vk+R2nα2
Dans tout ce qui suit, je ferais référence à la figure suivante :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-dossier6.png

Nous voulons donc calculer l'aire des Vk, ce qui correspond à l'air en rouge plus l'air en bleu ciel sur la figure.

Calcul de l'aire en rouge :

   L'aire du polygone en rouge est égale à l'air du rectangle en pointillé et vaut donc BkEkAkAk+1. (bon d'accord, pour alpha plus grand que pi/2 c'est plus dur à voir, mais c'est toujours vrai, j'ai donné cet argument pour ne pas avoir à détailler les calculs tongue)

   Nous avons d'une part AkAk+1=Rk et d'autre part BkEk=Rksinα2

  Donc finalement, l'aire en rouge est égale à R2ksinα2.

Calcul de l'aire en bleu ciel :

   L'aire en bleu ciel est égale à 2(R2k+1δ2).

   D'une part, comme l'angle ^BkAkDk est un angle au centre, et que ^BkAk+1Dk est un angle inscrit qui intercepte le même arc alors nous avons :
γ=β2
  D'autre part nous avons γ+2δ=β  et donc nous avons
2δ=β2=(2πα)2=πα2
  Donc finalement l'aire en bleu ciel est égale à R2k+1(π2α4).

Pour résumé cela nous donne :
rgb]0,0.6,0Vk=rgb]0.7,0,0R2ksinα2+rgb]0.2,0.7,0.7R2k+1(π2α4)[/latex].Maintenant,ilneresteplusquatrouverlarelationentrelesrayonsdescercles.Sionregardeletriangle[latex](AkAk+1Dk)[/latex],cestuntriangleisocèledontlabaseestdelongueur[latex]Rk+1[/latex]etdontlesdeuxautrescôtéssontdelongueurs[latex]Rk[/latex]etdontlangleausommetvaut[latex]α/2[/latex].Onadonc[latex]Rk+1=2Rksinα4[/latex].Cetterelationnouspermetdunepart,parunerécurrencedirecte,dexprimer[latex]Rk[/latex]pourtoutk:[latex]Rk=(2sinα4)k1R1
d'autre part de trouver un terme général pour Vk, en effet :

posons  x=sinα2, y=sinα4 et z=π2α4, alors nous avons :
Vk+1=R2k+1x+R2k+2z=(2Rky)2x+(2Rk+1y)2z=(2y)2(R2kx+R2k+1z)=4y2Vk
et donc par une récurrence directe nous avons pour tout k:
Vk=(4y2)k1V1=(4(sinα4)2)k1V1
avec  V_1 = R_1^2\sin{\alpha\over 2} + R_2^2({\pi\over 2}-{\alpha\over 4})}.

et donc finalement, pour en revenir à nos pacman wink :
Sn=rgb]1,0.8,0R21(πα2)+rgb]0,0.6,0n1k=1(4y2)k1V1+R2nα2Sn=rgb]1,0.8,0R21(πα2)+rgb]0,0.6,0V1n1k=1(4y2)k1+((2sinα4)n1R1)2α2Sn=rgb]1,0.8,0R21(πα2)+rgb]0,0.6,0V1n2k=0(4y2)k+R21(4y2)n1α2
cas 1 : 4y2=1 alors on a :
Sn=rgb]1,0.8,0R21(πα2)+rgb]0,0.6,0V1n2k=01+R21α2=R21π+(n1)V1
Dans ce cas là, Sn diverge et nous avons :
4y2=1y2=14sinα4=±12[/latex].Commeonchoisit[latex]α[0,2π][/latex]alors[latex]α4[0,π2][/latex],etlaseulsolutiondeléquationcidessusquisoitdanscetintervalleest[latex]α4=π6α=2π3
    Interprétation géométrique de ce résultat :
        Si on trace les deux droites qui sont tangentes à tous les cercles, alors ces deux droites sont parallèles. Tous les cercles ont le même rayon. Et donc Sn diverge.


cas 2 : 4y21

Nous pouvons alors utiliser la formule des série géométriques pour calculer la somme en vert :
Sn=rgb]1,0.8,0R21(πα2)+rgb]0,0.6,0V11(4y2)n114y2+R21(4y2)n1α2
Nous voyons donc que Sn converge si et seulement si la suite définie par un=(4y2)n converge. un converge si et seulement si :
|4y2|<1x2<14|sinα4|<12
De la même manière que dans le cas précédent on obtient que α<2π3. Donc la suite Sn converge si α<2π3 et diverge sinon.

      Interprétation géométrique de ce résultat :
            Si α<2π3 alors les deux droites qui sont tangentes à tous les cercles se coupent dans la partie droite du dessin et forment ainsi un triangle dont l'aire majore Sn, donc Sn converge.
            Sinon les droites se rejoignent de l'autre côté du dessin, cela signifie que l'on aura des cercles de plus en plus grand, et donc que Sn diverge.


Donc dans le cas où α<2π3 nous avons :
4y2<1[/latex],etdonclasuite[latex]un[/latex]convergevers0,etdonc[latex]Sn[/latex]convergevers:[latex]rgb]1,0.8,0R21(πα2)+rgb]0,0.6,0V114y2
Application numérique :

Pour R1=5,n=20 et α=5π9 on a :
y=sin5π36R2=2yR1=10sin5π364,22618V_1 = 5^2\sin{5\pi\over 18} + R_2^2({\pi\over 2}-{5\pi\over 36})}= 25\sin{5\pi\over 18} + R_2^2({13\pi\over 36})}\simeq 39,4133414y2=4sin25π360,7144(4y2)190,0016791(4y2)1914y23,49582
S20rgb]1,0.8,02513π18+rgb]0,0.6,039,4133413,49582+250,0016795π18194,542
Ouf ! J'espère ce n'est pas trop confus.
Je me suis beaucoup amusé à faire se poste là smile, j'espère que les couleurs sont lisibles big_smile.
Pour la 3D je verrais ça plus tard peut-être.


Il y a sûrement plus simple.

 #9 - 15-09-2013 00:16:55

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Le vieux dossier de Grand-Père : °N6 (une suite de cercles?)

Bien trouvé vasimolo, le reste n'est plus que de calcul. Merci smile

BRAVO cogito, je suis bleffé par ton poste et la clarté dans tes calculs même s'il faut être capable de suivre lol. Félicitation.

Je mets un indice pour ceux qui cherchent encore wink

 #10 - 15-09-2013 15:54:00

masab
Expert de Prise2Tete
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Le viexu dossier de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?)

Bonjour,

Voici la réponse aux questions 1), 2) et 3).

Question 1
Sn=πR2+[4sin2α4(π+α2+sinα2)α+sinα] 14n1sin2n2α4  14sin2α4 R22
Question 2
La suite Sn converge si et seulement si 4sin2α4<1, c-à-d α<2π3    (120°).
Dans ce cas la limite est
S=πR2+[4sin2α4(π+α2+sinα2)α+sinα]1 14sin2α4 R22
Notons que pour α=2π3 tous les cercles ont le même rayon.

3) S20=194.5419201720921144789774856... arrondi à 194.542
S=194.7370706227094117208196155...
Voilà !

 #11 - 16-09-2013 09:02:36

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Le vieux dossier de Grandd-Père : N°6 (une suite de cercles?)

BRAVO masab cool

 #12 - 16-09-2013 15:20:30

masab
Expert de Prise2Tete
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le vieux dossier de grand-père : n°6 (une quite de cercles?)

Question 4
On pose g(x)=sin4x4(2+cosx2)  .
Pour α2π3 , on a
Vn=43πR3(8sin3α4)n1+43πR3[1g(α)8sin3α4g(πα2)] 1(8sin3α4)n1 18sin3α4
Application numérique : V20=1049.127335613927589991443535... arrondi à 1049.127

Voilà !

 #13 - 16-09-2013 16:59:58

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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le vieux dossier de grand-pèrz : n°6 (une suite de cercles?)

Question 4:
masab, on n'a pas les mêmes résultats à V20. As-tu le volume d'une sphère à V1?

 #14 - 17-09-2013 10:52:19

masab
Expert de Prise2Tete
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le vieux dossiee de grand-père : n°6 (une suite de cercles?)

Rectifié !

 #15 - 17-09-2013 12:16:13

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Le vieux dossier de GrandPère : N°6 (une suite de cercles?)

BRAVO masab

 #16 - 19-09-2013 00:27:36

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Le vieux dossier de Grand-Pèr e: N°6 (une suite de cercles?)

Pour le volume, je vais plutôt découper les sphères comme suit :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-Dossier6V.jpg

(d’ailleurs je pense que pour le calcul d'aire j'aurai dû suivre le même découpage, cela aurait probablement simplifié les calculs hmm)

Donc tous les calculs de volumes vont se résumer aux calculs de volume d'une sphère à laquelle on soustraira le volume d'une ou deux calottes sphériques.

La formule d'une calotte sphérique de hauteur h et de rayon R est :
[TeX]\pi R h^2 -{\pi h^3\over 3}[/latex]                (1).

Dans tout ce qui suit je ferais référence à la figure suivante :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-dossier6V.png


Nous savons déjà que Rk+1=2Rksinα4.

Remarque : dans la suite j'utiliserais le résultat suivant :

[latex]1-\cos(2\theta) = 2\sin^2\theta[/TeX]
I-calcul de la distance EkAk+1 :
EkAk+1=AkAk+1AkEk=RkRkcosα2=Rk(1cosα2)
autrment dit : EkAk+1=2Rksin2α4.

II-calcul de la distance FkEk :
FkEk=FkAk+1EkAk+1=Rk+12Rksin2α4FkEk=2Rksinα42Rksin2α4=2Rksinα4(1sinα4)
Pour des raisons de clareté, dans la suite y représentera  sinα4.

Volume Jaune :

Le volume en jaune est le volume de la première sphère moins le volume de la calotte sphérique de hauteur E1A2, ce qui d'après (1) et I donne :
4π3R31πR1(2R1y2)2+π(2R1y2)33=4πR313(13y4+2y6)=4πR313(1y)2(1+y)2(2y2+1)
Volume Vert :

Le volume vert est composé de n-2 morceaux comme sur la figure ci-dessus.
Le calcul ci-dessus reste valable pour les autres sphères et correspond au volume "délimité" par les points Bk+1BkFkDkDk+1.

Donc le volume d'un morceau vert (que l'on va noter Wk) est le volume ci-dessus (avec Rk au lieu de R1) moins le volume de la calotte "délimitée" par les point BkFkDk, c'est à dire :
4πR3k3(1y)2(1+y)2(2y2+1)πRk(2Rky(1y))2+π(2Rky(1y))33=4πR3k3[(1y)2(1+y)2(2y2+1)3y2(1y)2+2y3(1y)3]=4πR3k3(1y)2[(1+y)2(2y2+1)3y2+2y3(1y)]=4πR3k3(1y)2(1+2y+6y3)
Par le même raisonnement que pour les surfaces, on a la relations de récurrence :
Wk+1=8y3Wk
et donc Wk=(8y3)k2W2 (car ici les volumes verts commence à k=2).

donc le volume vert est égàl à W2n1k=2(8y3)k2=W2n3k=0(8y3)k


Volume Bleu :

Le volume en bleu est le volume de la dernière sphère moins le volume de la calotte sphérique de hauteur Fn1En1, ce qui d'après (1) et II donne :
4π3R3nπRn(2Rny(1y))2+π(2Rny(1y))33=4πR3n3(13y2(1y)2+2y3(1y)3)=4π(8y3)n1R313(13y2(1y)2+2y3(1y)3)=
Volume Total:

Donc finalement le volume totale est :
Vn=rgb]1,0.8,04πR313(1y)2(1+y)2(2y2+1)+rgb]0,0.6,0W2n3k=0(8y3)k+4π(8y3)n1R313(13y2(1y)2+2y3(1y)3)
Donc si α=2π3 alors nous avons y=1/2,
et donc :
Vn=rgb]1,0.8,04πR313(1/2)2(3/2)2(3/2)+rgb]0,0.6,0W2n3k=01+4πR313(1(3/4)(1/2)2+(1/4)(1/2)3)
Soit : V_n={\color[rgb]{1,0.8,0} {27\pi R_1^3\over 24}} + {\color[rgb]{0,0.6,0} (n-2)W_2}+{\color{blue}{25\pi R_1^3\over 24}} ={13\pi R_1^3\over 6}}+(n-2)W_2

Et si α2π3 alors 8y31 et donc on peut appliquer la formule pour les séries géométriques, ce qui donne :
Vn=rgb]1,0.8,04πR313(1y)2(1+y)2(2y2+1)+rgb]0,0.6,0W21(8y3)n21(8y3)+4π(8y3)n1R313(13y2(1y)2+2y3(1y)3)
Vérification numérique :
y=sin5π364πR313=500π3523,598776(1y)2(1+y)2(2y2+1)0,9156946
=====> Volume Jaune 479,45658
(8y3)19(13y2(1y)2+2y3(1y)3)0.00005853
=====> Volume Bleu 0,0306478
1(8y3)181(8y3)2.5240598y3(1y)2(1+2y+6y3)0.46263175W2=4π(8y3)R313(1y)2(1+2y+6y3)242,2334
=====>  Volume Vert 611,411442

=====> V201090,899

Voilà, j'espère que je n'ai pas fait d'erreurs de calculs.
J'ai fait quelques recherches sur internet, et je suis tombé sur un théorème appelé théorème de Guldin. Mais pour utiliser ce théorème, il faut savoir où se trouve le centre de gravité de la figure, et apparemment ça à l'air plus difficile que de calculer directement le volume, dommage... (c'aurait été classe cool)


Il y a sûrement plus simple.

 #17 - 19-09-2013 10:26:29

kossi_tg
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Le vieux dossier de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?))

cogito: que du plaisir à te lire. Dans le calcul de Wk, j'ai l'impression que que tu n'as pas soustrait 2 calottes mais une seule. Je pense la différence des résultats à V20 doit provenir de là. Vérifie voir. Merci pour cette débauche d'énergie smile
Pour le théorème de Guldin, j'avais pensé à cela en posant cette question mais au moment de le faire, je ne suis très rapidement rendu compte le rayon de gravité est plus difficile à déterminer que ce que je pensais.

 #18 - 19-09-2013 16:03:16

Klimrod
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Le vieux dossier de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?

En visionnant les réponses de cogito, je crois qu'on peut lui décerner la palme du latex d'or !
lolhttp://www.bradfords.co.uk/prod_img/e_18.jpg


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #19 - 19-09-2013 17:59:14

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

le vieux fossier de grand-père : n°6 (une suite de cercles?)

J'étais parti comme cogito, mais après je me suis perdu dans les calculs sans pouvoir finir. Bravo à cogito.
Edit: Et bravo à masab aussi bien sur.

 #20 - 19-09-2013 19:52:00

cogito
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le vieux dossier de grand-pèrr : n°6 (une suite de cercles?)

Dans le calcul de Wk je soustrais une calotte du calcul effectué pour le volume jaune (dans lequel j'enlève une autre calotte), donc au total j'enlève bien deux calottes.

Mon erreur était que dans l'expression du volume bleu j'ai remplacé R3n par (8y3)R31 au lieu de (8y3)n1R31 (et donc le volume de la 20 ième boule qui est censé être petit, était relativement grand big_smile).

Je viens de rectifier, mais malheureusement je dois avoir une autre erreurs quelque part car je retombe seulement à 1090 (au lieu de 1049) hmm

P.S: Sinon merci pour la palme du latex d'or lol


Il y a sûrement plus simple.

 #21 - 19-09-2013 20:42:42

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

Le vieeux dossier de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?)

Merci à tous et un tableau d'honneur à masab et cogito

Je pose ci dessous ma solution.

 #22 - 19-09-2013 22:29:39

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Le vieux dosier de Grand-Père : N°6 (une suite de cercles?)

Proposition de solution:

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Suite_cercle_Sol.JPG

Préliminaires:
α[/latex]estnotéaet[latex]β[/latex]bsurlafigure.[latex]AAi=AB=R=R1[/latex]et[latex]AiB=Ri
D'après Al-Kashi, R2i=R2+R22RRcos(α/2)
soit Ri=2Rsin(α/4) puisque 1cos(t)=sin(t/2)2 quelque soit t.

On en conclut que Ri est une suite géométrique de raison q=2sin(α/4).
Ri=Rqi.
1-) Aire totale
Désignons par F1 l'aire du 1ier cercle, par Fn celle du dernier, par fi celle d'un cercle intermédiaire de rang i et par Fi l'aire totale des cercles intermédiaires (de rang 2 à n-1).
F1=πR2R22(αsin(α))=R2(πα/2+sin(α)/2))
De la même manière:
Fn=R2n(πβ+sin(2β)/2))=R2q2n(πβ/2+sin(2β)/2))oùβ=(2πα)/4.fi=R2q2i(πβ+sin(2β)/2)α/2+sin(α)/2))=R2qnsKs[/latex]où[latex]Ks=(πβ+sin(2β)/2)α/2+sin(α)/2))=constante[/latex]et[latex]qs=q2[/latex].[latex]fi[/latex]estunesuitegéométriquederaison[latex]qs[/latex].[latex]Fi=j=n1j=2fi=f21qn2s1qsSn=F1+Fn+FiSn=R2(πα/2+sin(α)/2))+R2q2n(πβ+sin(2β)/2))+f21qn2s1qs
2-) Etude convergence
Le comportement de Sn à l'infini est le même que celui de Fi car F1 et Fn sont des constantes.
qs=4sin(α/4)2
Si qs>1 c'est à dire α>2π/3 alors Fi est divergente et Sn l'est aussi.

Si qs=1 c'est à dire α=2π/3 alors tous les cercles ont le même rayon R, Fi et Sn sont divergentes.

Si qs<1 c'est à dire α<2π/3 alors Fi et Sn sont convergentes et dans ce cas
S=R2(πα/2+sin(α)/2))+f211qs
3-) AN
α=5π9[/latex],R=5etn=20[latex]q=2sin(α/4)=0.84523652
qs=q2=0.71442478
F1=69.0332976
F20=0.100355
f2=35.89788256
Fi=125.4082676S20=194.542
4-) Calcul du volume Vn

Pour calcul le volume, j'ai procédé comme pour la surface. Les 2 volumes d'extrémités sont calculés puis ceux des corps intermédiaires.
Désignons par G1 le volume de la première boule (sans la calotte BDAi), Gn celui de la boule n (sans la calotte BnDnAn) et gi celui de la boule intermédiaire de rang i (sans les 2 calottes "découpées").
OAi=R(1cos(α/2))[/latex](hauteurdelacalotte)[latex]G1=4πR33πOA2i3(3RAOi)
soit
G1=π3R3(2+3cos(α/2)cos(α/2)3)
Par analogie pour la dernière boule:
Gn=π3R3n(2+3cos(β)cos(β)3)
Pour le calcul du volume d'une boule intermédiaire de rang i. Deux calottes sont enlevées de la boule sphérique, leurs hauteurs sont:
hg=Ri(1cos(β))[/latex](hauteurdelacalotteàgauche)[latex]hd=Ri(1cos(α/2))[/latex](hauteurdelacalotteàdroite)[latex]gi=4πR33πh2g3(3Rihg)πh2d3(3Rihd)
soit
gi=KvR3i[/latex]où[latex]Kv=π3[3cos(α/2)+3cos(β)cos(α/2)3cos(β)3]=constante
On remarque que gi est une suite géométrique de raison qv=q3=8sin(α/4)3.
Gi=j=n1j=2gi=g21qn2v1qvVn=G1+Gn+GiVn=π3R3[2+3cos(α/2)cos(α/2)3]+π3R3n[2+3cos(β)cos(β)3]+
g21qn2v1qv
Comme pour la surface, lorsque α est inférieur à 2π/3, Gi est convergente donc Vn l'est aussi. Soit V la limite de Vn dans ce cas.
V=π3R3(2+3cos(α/2)cos(α/2)3)+g211qv
AN pour R=5, α=5π/9 et n=20
G1=479.456581
G20=0.02876158
Kv=2.989907155
g2=225.684888
Gi=569.6419931V20=1049.127

 #23 - 19-09-2013 22:54:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,447E+3

Le vieux dossier de Grand-Père : °N6 (une suite de cercles?)

Je comprends qu'on puisse aimer , mais je ne suis pas fan de ce genre de problèmes , c'est vraiment du calcul bourrin sans astuce ou finesse hmm

Même mon pâtissier , que le calcul n'effraie pas , trouve le boudin un peu lourd  lollol

Vasimolo

 

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