Après un très grand nombre de tirages, pour chaque boule, la probabilité qu'elle soit dans l'urne de gauche vaut environ 1/2.

La probabilité de victoire pour chaque joueur est donnée par la loi binomiale de paramètres 10 et 1/2. Le plus favorisé est l'ami numéro 5, sa probabilité de victoire vaut C(10;5)/1024=252/1024. Les plus défavorisés sont les numéros 0 et 10, leur probabilité de victoire vaut 1/1024 pour chacun.

La réponse est donc 252.

bravo ebichu. particulièrement élégante comme façon de présenter les choses.
Ma méthode est un peu plus lourde mais reste légère.... et utilise une approche complètement différente... J'ai ajouté un prolongement au sujet pour favoriser ta technique vis a vis de solutions itératives comme celle que j'avais trouvé...


dhrm77 :Je pensais à A en disant à gauche ( je vais préciser dans le sujet )
   ......mais est ce bien important ?

Salut Portugal,

Si on suppose qu'il y a autant de chances qu'un numéro tiré le soit un nombre pair ou impair de fois, alors on peut chercher quel est le code binaire de 11 chiffres dont le nombre de 1 ou 0 est le plus représenté. C'est bien sûr C(11,5) et C(11,6). 5 et 6 sont donc les numéros les plus favorables, et d'une façon plus générale, les numéros proches de la moitié sont favorisés par rapport aux numéros des extrêmes.

Pour le ratio: le plus favorisé a C(n,[n/2])/2^n chances de victoires.
Le moins favorisé a 1/2^n chances de victoires.
Le ratio est donc C(n,[n/2]).

Je ne comprends pas "et dont la parité est aléatoire" ?

Ah exact, je me suis planté: on travaille avec 10 boules, donc un nombre binaire de 10 chiffres et non 11.
Le résultat est donc C(10,5)/1=252.
Et d'une façon générale C(n, n/2) pour un n pair.

portugal #7 a écrit:

@enigmatus
ce qui est intéressant c'est d'avoir la méthode (et de pouvoir vérifier le résultat numérique)...il y a même une petite case réponse pour ca.

Voici comment j'ai obtenu mes premiers résultats en #5 :
À un instant donné, on appelle V le vecteur colonne contenant les probabilités d'avoir 0, 1,..., 10 boules dans la colonne A.
Soit [latex]M[/latex] la matrice

    0  1/10     0     0     0     0     0     0     0     0     0
    1     0   1/5     0     0     0     0     0     0     0     0
    0  9/10     0  3/10     0     0     0     0     0     0     0
    0     0   4/5     0   2/5     0     0     0     0     0     0
    0     0     0  7/10     0   1/2     0     0     0     0     0
    0     0     0     0   3/5     0   3/5     0     0     0     0
    0     0     0     0     0   1/2     0  7/10     0     0     0
    0     0     0     0     0     0   2/5     0   4/5     0     0
    0     0     0     0     0     0     0  3/10     0  9/10     0
    0     0     0     0     0     0     0     0   1/5     0     1
    0     0     0     0     0     0     0     0     0  1/10     0

Le produit M⋅V contient le vecteur V à l'itération suivante.

S'il y a convergence, ce ne peut-être que toutes les deux itérations, car le nombre total de tirages doit avoir la même parité.
On cherche donc le vecteur V tel que [latex]V = M^2⋅V[/latex].
Voici la matrice [latex]M^2[/latex]

 1/10     0  1/50     0     0     0     0     0     0     0     0
    0  7/25     0  3/50     0     0     0     0     0     0     0
 9/10     0 21/50     0  3/25     0     0     0     0     0     0
    0 18/25     0 13/25     0   1/5     0     0     0     0     0
    0     0 14/25     0 29/50     0  3/10     0     0     0     0
    0     0     0 21/50     0   3/5     0 21/50     0     0     0
    0     0     0     0  3/10     0 29/50     0 14/25     0     0
    0     0     0     0     0   1/5     0 13/25     0 18/25     0
    0     0     0     0     0     0  3/25     0 21/50     0  9/10
    0     0     0     0     0     0     0  3/50     0  7/25     0
    0     0     0     0     0     0     0     0  1/50     0  1/10

Cela fait 2 systèmes linéaires (cas pair et cas impair) à 3 inconnues seulement à résoudre, car à cause des symétries dans la matrice :

Nb de tirages impair

V1 = V9
V3 = V7
V0 = V2 = V4 = V6 = V8 = V10 = 0
2*(V1+V3) + V5 = 1

Nb de tirages pair

V0 = V10
V2 = V8
V4 = V6
V1 = V3 = V5 = V7 = V9 = 0
2*(V0+V2+V4) = 1

Le rapport des probabilités extrêmes est 252.

Après, c'est discutable car à chque tirage, pour une question de parité, la moitié des solutions sont impossibles.

Donc, on a une probabilité pour n tirages (n pair ) et une autre pour n impair. Bah oui, après 1 tirage, celui qui porte le numéro 10 n'a aucune chance de gagner donc un ratio infini.

Après n tirages (n impair) idem pour tous ceux qui ont un numéro pair.
Donc à chaque tirage, le ratio est infini pour une moitié des joueurs, non ?

Globalement, 1 tour sur 2 pour chacun donc ça ne change rien si le nombre de tirages est aléatoire, mais avec un nombre impair de joueurs  la probabilité est répartie différemment sur les joueurs "pairs" et "impair" et la plus basse est sur un joueur "pair" , la plus haute peut l'être sur les deux cas (joueur "central" )

Voici ce que je trouve experimentalement:

La probabilité d'avoir à gauche:
- 0 ou 10 boules : 0.0975%
- 1 ou 9 boules : 0.9763%
- 2 ou 8 boules: 4.395%
- 3 ou 7 boules: 11.719 %
- 4 ou 6 boules: 20.508%
- 5 boules: 24.609%

Le rapport entre plus favorisé et moins favorisé est donc approximativement de 252.4

Tout ca c'est tres experimental, et pour les probabilitées exactes, voir ci-dessous..

On peut remarquer qu'on ne peut avoir un nombre impair de boules à gauche qu'apres un nombre impair de tours. et vice-versa, un nombre pair de boules apres un nombre pair de tours.

Si on calcul les probabilitées, on trouve:

pour un nombre impair de tours:
- 1 ou 9 boules : 10/512    = 1.953125%
- 3 ou 7 boules: 120/512   = 23.4375%
- 5 boules:          252/512   = 49.21875%
- 0, 2, 4, 6, 8 ou 10 boules: 0%

Pour un nombre pair de tours:
- 0 ou 10 boules :   1/512   = 0.1953125%
- 2 ou 8 boules:    45/512   = 8.7890625%
- 4 ou 6 boules: 210/512    = 41.015625%
- 1, 3, 5, 7 ou 9 boules: 0%

Et en moyenne:
- 0 ou 10 boules : 1/1024 = 0.09765625%
- 1 ou 9 boules :  10/1024 = 0.9765625%
- 2 ou 8 boules:   45/1024 = 4.39453125%
- 3 ou 7 boules: 120/1024 = 11.71875%
- 4 ou 6 boules: 210/1024 = 20.5078125%
- 5 boules:          252/1024 = 24.609375%

Donc le ratio de probabilité de victoire entre le plus favorisé et le plus défavorisé est de: 252.

Voici un script en python qui calcule le rapport des probabilités "la plus favorable"/"la plus défavorable" pour 100 000 boules

#!/usr/bin/env python

N=100000; r=1
for n in range(1,N//2+1): r=r*(N-n+1)//n

print('C(%d,%d)=%d\nlongueur=%d'%(N,N//2,r,len(str(r))))

On obtient un nombre à 30101 chiffres, commençant par 2520608368922003388500900116...