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 #1 - 20-07-2013 15:11:59

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Enigmaths 2 :: Suite en or ... ou en plastique

Bonjour à tous ! Je propose (encore) une suite avec des questions. Et c'est toujours noté et classé. Vous avez cinq jours pour me rendre votre DM.

[DM]Voici la suite :
Ø - 1,61803 - 1,32472 - 1,22074 - 1,16730 - 1,13472 - 1,11278 - 1,09698 - 1,08507 - 1,07577
Tous ces nombres sont approximatifs. Il n'y a pas de terme n°1, d'où le Ø.

Questions

1) Déterminer la "logique" de cette suite. Le titre et 2 des éléments de cette suite devrait vous aider. (5pts)

2) Calculer la somme des 5 prochains termes, somme qui est validée par la case-réponse. J'ai utilisé la virgule comme séparateur décimal et j'attends 5 décimales.(5pts)

3) Démontrer que le nk-ième terme multiplié par le produit des k-1 termes donne le n-ième terme.
Exemple : Le terme n°9 (=3*3) multiplié par les 2 (3-1) termes précédents (termes n°7 et 8) donne le terme 3.
Vérification : 1,08507*1,09698*1,11278 ≈ 1,32454 ≈ 1,32472
Je pense que ça marche et que les "à peu près égal" viennent du fait des approximations des nombres de départ. IMPORTANT : Je n'ai pas la réponse à cette question.

Voilà et Bonne chance ! [/DM]

Indice : Spoiler : [Afficher le message] Le titre comprend deux nombres qui, par définition, sont déterminés par deux procédés similaires. Ce procédé appliqué à la suite des nombres naturels donne cette suite.
__________________________________________________________________
Classement

1er : fix33, looozer, nodgim, MthS-MlndN, halloduda → 10/10 : A



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#0 Pub

 #2 - 20-07-2013 22:21:59

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

rnigmaths 2 : suite en or ... ou en plastique

1)
Le 1er est approximativement le nombre d'or ((1+sqrt(5))/2), qui vérifie x2=x+1.
Le 2ème : j'ai finalement remarqué que x2-1=1/x, soit x3=x+1.
Et il semble bien que le 3ème vérifie à peu de chose près : x4=x+1.
Je suppose que la suite Sn est composée des réels vérifiant xn=x+1.

Le reste ne me semble pas simple... J'ai "triché" en utilisant Wolfram :
Ca donne : 1,0683+1,06217+1,05705+1,05271+1,04898 = 5,28921


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #3 - 20-07-2013 23:43:00

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Enigmaths 2 : Suite en or ... ou en plastiqu

1. Il s'agit chaque fois de la solution réelle positive de l'équation x^n=x+1 en commençant par n=2 (solution : le nombre d'or)

2. Somme des 5 nombres suivants :

1,0682972... + 1,0621692... + 1,0570505... + 1,0527109... + 1,0489849... = 5,28921...

3.

 #4 - 21-07-2013 10:25:53

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

ebigmaths 2 : suite en or ... ou en plastique

@fix33 et loozer : Vous avez tous bons pour les questions 1 et 2. Il vous reste la 3 mais comme je l'ai dit dans le post 1, moi-même, je ne connais pas la réponse.

 #5 - 21-07-2013 12:05:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Enigmaths 2 : Suite en or ... ou en plstique

On peut dire tout de même que la question 3 répond aux questions 1 et 2 !

 #6 - 21-07-2013 12:09:23

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Enigmahs 2 : Suite en or ... ou en plastique

Comment ça ?

 #7 - 21-07-2013 15:07:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

enigmaths 2 : suote en or ... ou en plastique

En fait l'égalité que tu développes est une approximation. Je ne suis pas très porté sur les devinettes, en revanche, si en MP tu me donnes l'algorithme, je pourrais réfléchir sur la conjecture que tu avances.
Merci d'avance

 #8 - 24-07-2013 20:39:58

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Enigmaths 2 : Suite en or .... ou en plastique

Personne ? J'ajoute 2 jours et un indice.

 #9 - 27-07-2013 01:39:57

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Enigmaths 2 :Suite en or ... ou en plastique

DM n°2
Mths Mlndn



1) Le titre nous oriente vers le nombre d'or, qui est le premier terme de la suite, et le nombre plastique, qui est le deuxième terme de la suite.

Le nombre d'or est l'unique solution réelle positive de [latex]x^2 = x+1[/latex] et le nombre plastique est l'unique solution réelle positive de [latex]x^3 = x+1[/latex].

On vérifie aisément qu'il en est de même pour les termes suivants.

Cette suite est donc définie pour [latex]n \geq 2[/latex] par "[latex]u_n[/latex] est l'unique solution réelle positive de l'équation [latex]x^n=x+1[/latex]".



2) La somme des cinq termes suivants, de [latex]u_{11}[/latex] à [latex]u_{15}[/latex], vaut environ 5,28921.



3) Je passe, pas de points bonus pour moi smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 27-07-2013 09:17:31

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

enigmaths 2 : suitr en or ... ou en plastique

1
La suite est composée des racines réelles des équations
[TeX]x^n-x-1=0[/TeX]
n=2 (nombre d'or)
n=3 (nombre plastique)
etc...

2
Peut se calculer avec Wolfram Alpha. Pas vu l'intérêt.

3
Pas cherché

 #11 - 27-07-2013 10:04:12

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Enigmaths 2 :Suite en or ... ou en plastique

Il est clair que les deux premières questions sont trop faciles pour vous mais personne n'a répondu à la 3eme question. Je pense que seul Rivas, s'il y réfléchit aura la réponse smile.

 #12 - 27-07-2013 12:06:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Enigmaths 2 : Suite en or ... ou en plastiqque

J'ai testé avec des nombres plus précis (9 décimales) et il n'y a pas d'égalité au dela de la 3ème décimale. Néanmoins, il y a une bonne approximation.

 #13 - 27-07-2013 18:50:51

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

enigmaths 2 : suute en or ... ou en plastique

Ok merci, je vais modifier l'énoncé pour barrer cette question.
Bravo à tous pour les questions 1 et 2.

 #14 - 28-07-2013 09:04:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

enigmaths 2 : suite en or ... ou en plasrique

Tu peux garder ta question 3 en clair, elle n'est pas du tout idiote. Je regarderai à l'occasion pour des nombres plus grands. Au pire, ça restera une conjecture.

 #15 - 28-07-2013 20:19:59

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Enigmaths 2 : Suite en or ... ou en plastiqe

S'il n'y a pas d'égalité, il n'y a pas de démo, mais on peut toujours coder quelque chose pour calculer les erreurs d'approximation smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 29-07-2013 08:16:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Enigmaths 2 : Suite enn or ... ou en plastique

ça tu n'en sais rien. Une singularité cache toujours quelque chose. Soit on trouve l'explication, soit elle permet de révéler une propriété inconnue. Il semblerait par exemple que la précision est meilleure quand on regarde les puissances carrées. On n'en est plus aux coïncidences.

 #17 - 29-07-2013 09:16:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Enigmaths 2 : Suite en or ... ou en plastiqu

A voir. Je ne demande qu'à être surpris, mais on a pour l'instant "il semblerait que ça colle" et "il semblerait que ça marche mieux avec les carrés". Ca peut tout aussi bien être symptomatique de la recherche évertuée de schémas par l'esprit humain, non ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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