Un hexagone régulier !!!



Vasimolo

Oui racine , mais ses coordonnées ne peuvent être entières que dans l'espace.

Pour moi, le trait rouge du haut, celui du bas et la diagonale de l'hexagone sont bien dans un plan, symétrie oblige.

L'hexagone je l'avais aussi, c'est assez évident. Mais pour les autres ?

nodgim a écrit:

Mais pour les autres ?

Y a le carre qui marche aussi .

Si ABCD... est un polygone régulier , A'B'C'D'...  l'est aussi , je vous laisse conclure .



Vasimolo

Le quadrillage est invariant par translation de vecteur dont les extrémités sont deux nœuds du quadrillage . Si le polygone rouge a ses sommets sur le quadrillage , le bleu aussi et sauf exception ( rare , à préciser ) , le bleu est strictement dans le rouge et n'est pas dégénéré ( réduit à 1 point ) .

Vasimolo

Nodgim

Observe par exemple le parallélogramme BCDC' , comme B , C  et D sont des nœuds , C' en est un aussi et le même raisonnement s'applique à tous les "primés" . Ensuite le bleu devient rouge et on a une descente infinie sur un nombre fini de points du quadrillage .

Bref , il suffit de repérer les polygones pour lesquels le "bleu" est extérieur au rouge ou "dégénéré" pour conclure .

Vasimolo

C'est sûr qu'un bon gros calcul est bien plus rassurant mais globalement il n'explique rien

On oublie un temps le quadrillage et on considère un polygone ( rouge ) régulier à n côtés avec n>4 .  En reliant les sommets i aux sommets i+3 on obtient un nouveau polygone ( bleu ) régulier lui aussi , avec n côtés et strictement à l'intérieur du précédent ( sauf pour n=6 , le polygone étant alors réduit à un point ) . 

Supposons maintenant que les sommets du polygone rouge soient sur le quadrillage alors ( observer les parallélogrammes ) les sommets du bleu le sont aussi . On peut recommencer la même construction une infinité de fois , ce qui génère une infinité de points du quadrillage dans le polygone initial .

C'est faisable avec la trigo mais bon ...

Vasimolo

L'indice ( ce n'était qu'un indice ) incitait à observer les points du quadrillage à l'intérieur du polygone et il y avait beaucoup à dire ( je n'allais quand même pas tout déballer d'un coup )

Vasimolo

C'est vrai que la démonstration est très belle mais je ne comprends pas comment tu peux être sur que ça marche dans l'espace.

La démonstration que tu fais, c'est comme si tu te plaçais dans un plan. Alors comment peux-tu être sur que ça fonctionne dans l'espace ?
Sur le schéma de l’hexagone que tu as fait, ses coordonnées sont effectivement entières mais il se trouve dans un plan de l'espace qui est incliné, alors pourquoi n'en tiens-tu pas compte dans ta démo ?

Shadock