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 #1 - 23-10-2011 00:53:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

polygonr régulier

Vous vous souvenez peut-être du problème suivant :http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=9738

Bon ben en 3D ça marche plus smile

http://img35.imageshack.us/img35/9510/trianglequilatral.jpg

Quels sont les polygones réguliers que l'on peut construire sur un quadrillage orthonormé 3D , les sommets étant des nœuds du quadrillage ?

Amusez-vous bien wink

Vasimolo



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 #2 - 24-10-2011 16:40:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

polygone tégulier

Un hexagone régulier !!!

http://img707.imageshack.us/img707/8568/hexagone.jpg

Vasimolo

 #3 - 24-10-2011 18:25:23

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Polygone réuglier

Un hexagone régulier n'est-il pas nécessairement dans le plan?

 #4 - 24-10-2011 18:34:06

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,464E+3

Polygne régulier

Oui racine , mais ses coordonnées ne peuvent être entières que dans l'espace.

 #5 - 24-10-2011 18:37:15

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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polyfone régulier

Sur l'exemple de vasimolo, la figure n'est pas plane ou décidément je ne verrai jamais rien dans l'espace?

 #6 - 24-10-2011 18:45:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

polygone régilier

Pour moi, le trait rouge du haut, celui du bas et la diagonale de l'hexagone sont bien dans un plan, symétrie oblige.

 #7 - 24-10-2011 18:49:51

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Polygnoe régulier

Tu dois avoir raison, je suis juste aveugle.cool

 #8 - 24-10-2011 18:58:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

polygone réguloer

L'hexagone je l'avais aussi, c'est assez évident. Mais pour les autres ?

 #9 - 24-10-2011 18:58:57

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3305

Polygone réguier

J'avais émis l'hypothèse suivante :

Si un polygone [latex]P[/latex] a [latex]n=3k, \text{ } k \in \mathbb{N}^*[/latex] côtés alors les coordonnées de ces sommets ont de grandes chances d'être entières.

Plus généralement j'ai pensé :

Dans un espace à [latex]n=2k[/latex] dimensions on peut tracer des polygones à [latex]n=2k[/latex] côtés tel que les coordonnées des sommets soient entières.
Dans un espace à [latex]n=3k[/latex] dimensions on peut tracer des polygones à [latex]n=3k[/latex] côtés tel que les coordonnées des sommets soient entières.
Et ainsi de suite un polygone à n=4k est constructible dans un espace à n=2k dimensions...

Aucune idée de démonstration, que ce soit vrai ou faux et pas vraiment envie de le faire.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 24-10-2011 19:07:31

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 31

Polygone réguliier

nodgim a écrit:

Mais pour les autres ?

Y a le carre qui marche aussi lol.

 #11 - 25-10-2011 20:05:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Ploygone régulier

A part le triangle , le carré et l'hexagone il n'y a pas d'autre solution !

Il y a une démonstration élémentaire ( ie: sans trigo , rationnels & cie ) que je vous laisse chercher un peu smile

Indice : pourquoi l'hexagone que je vous ai montré est-il contenu dans un plan ?

Vasimolo

 #12 - 25-10-2011 23:15:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Polyone régulier

Si ABCD... est un polygone régulier , A'B'C'D'...  l'est aussi , je vous laisse conclure .

http://img707.imageshack.us/img707/8468/peitpolygone.jpg

Vasimolo

 #13 - 26-10-2011 17:47:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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polygone tégulier

Mais zencore ?

 #14 - 26-10-2011 18:35:30

Vasimolo
Le pâtissier
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Polgyone régulier

Le quadrillage est invariant par translation de vecteur dont les extrémités sont deux nœuds du quadrillage . Si le polygone rouge a ses sommets sur le quadrillage , le bleu aussi et sauf exception ( rare , à préciser ) , le bleu est strictement dans le rouge et n'est pas dégénéré ( réduit à 1 point ) .

Vasimolo

 #15 - 26-10-2011 19:40:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Polygnoe régulier

Le quadrillage, je le vois en effet comme 2 groupes de lignes parallèles équidistantes qui se croisent selon un certain angle, qui découpent donc le plan en parallèlogrammes tous identiques.
Je n'ai pas bien compris la démo avec le polynome bleu reduit qui devrait nécessairement se trouver sur ce quadrillage si le rouge l'est. Et comme tu le dis, il y aura tjs un polynome minimal, et c'est de celui là qu'il faudrait discuter.

 #16 - 26-10-2011 19:57:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

polygone réguliet

Nodgim smile

Observe par exemple le parallélogramme BCDC' , comme B , C  et D sont des nœuds , C' en est un aussi et le même raisonnement s'applique à tous les "primés" . Ensuite le bleu devient rouge et on a une descente infinie sur un nombre fini de points du quadrillage .

Bref , il suffit de repérer les polygones pour lesquels le "bleu" est extérieur au rouge ou "dégénéré" pour conclure .

Vasimolo

 #17 - 26-10-2011 21:02:30

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3305

Polygone régulire

J'ai pas trop compris je pense que j'aurai allègrement préférer de la trigonométrie.
Avec des mots simples ça veut dire quoi : Ensuite le bleu devient rouge et on a une descente infinie sur un nombre fini de points du quadrillage?

Merci, Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 26-10-2011 23:26:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Polgone régulier

C'est sûr qu'un bon gros calcul est bien plus rassurant mais globalement il n'explique rien smile

On oublie un temps le quadrillage et on considère un polygone ( rouge ) régulier à n côtés avec n>4 .  En reliant les sommets i aux sommets i+3 on obtient un nouveau polygone ( bleu ) régulier lui aussi , avec n côtés et strictement à l'intérieur du précédent ( sauf pour n=6 , le polygone étant alors réduit à un point ) . 
http://img231.imageshack.us/img231/6127/pentagone.jpg
Supposons maintenant que les sommets du polygone rouge soient sur le quadrillage alors ( observer les parallélogrammes ) les sommets du bleu le sont aussi . On peut recommencer la même construction une infinité de fois , ce qui génère une infinité de points du quadrillage dans le polygone initial .

C'est faisable avec la trigo mais bon ...

Vasimolo

 #19 - 27-10-2011 00:01:31

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 96

Polgyone régulier

La démonstration est élégamment trouvée, puisque à la fois assez simple et vraiment pas évidente.

Mais je ne comprend toujours pas le sens de l'indice :

pourquoi l'hexagone que je vous ai montré est-il contenu dans un plan ?

 #20 - 27-10-2011 00:08:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Polygone rgulier

L'indice ( ce n'était qu'un indice ) incitait à observer les points du quadrillage à l'intérieur du polygone et il y avait beaucoup à dire ( je n'allais quand même pas tout déballer d'un coup lol)

Vasimolo

 #21 - 27-10-2011 00:39:41

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

polyfone régulier

joli problème vasimolo smile
Merci


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #22 - 27-10-2011 01:02:23

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3305

Polygoe régulier

C'est vrai que la démonstration est très belle mais je ne comprends pas comment tu peux être sur que ça marche dans l'espace. hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #23 - 27-10-2011 13:16:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Polygon régulier

Tu peux préciser ta question ?

Vasimolo

 #24 - 27-10-2011 13:29:04

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3305

Poolygone régulier

La démonstration que tu fais, c'est comme si tu te plaçais dans un plan. Alors comment peux-tu être sur que ça fonctionne dans l'espace ?
Sur le schéma de l’hexagone que tu as fait, ses coordonnées sont effectivement entières mais il se trouve dans un plan de l'espace qui est incliné, alors pourquoi n'en tiens-tu pas compte dans ta démo ?

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #25 - 27-10-2011 14:41:03

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Polygnoe régulier

Vasimolo a écrit:

Supposons maintenant que les sommets du polygone rouge soient sur le quadrillage alors ( observer les parallélogrammes ) les sommets du bleu le sont aussi

Y a-t-il une démonstration simple de cette proposition, celle-ci étant la clé de voute de la démo?
Raté-je une évidence?

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