Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 30-09-2011 03:30:43

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un triangle anturel !

Salut !

Soient ; A et B et C trois points du plan ... tels que Toutes les coordonnées de ces 3 points ( abcisses + ordonnées ) sont toutes des nombres entiers naturels.

Montrez que le triangle ABC ne peut être équilatéral !



Annonces sponsorisées :

"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 30-09-2011 08:09:16

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Un triangle nature l!

Les coordonnées de C se déduisent aisément de celles de A et B.
Elles comportent des termes en [latex]\frac {\sqr3} 2[/latex] à coefficients entiers,
dont l'un des deux (au moins) n'est pas nul.

Le point C a donc au moins une coordonnée non entière.

 #3 - 30-09-2011 08:33:56

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Un traingle naturel !

Soit (ABC) le triangle équilatéral, de côté x.
Les 3 angles forment un angle de 60° (...ou 2π/3 si on préfère)
J'admets d'abord que yA=yB
Soit M la projection orthogonale de C sur [AB].
CM représente la hauteur du triangle.
On a CM=x/2.sin 60=x/4.√3
Or √3 est irrationnel, donc CM ne peut être entier
Or dans ce cas de figure, CM représentait la hauteur, et celle-ci n'est pas entière : CQFD.

Par contre, si on a yA≠yB, alors euh... euh... ahem, je n'arrive pas conclure aussi facilement...  Je serai tenté appliquer une rotation du triangle jusqu'à ce que yA=yB, et zou le raisonnement cité plus haut DEVRAIT s'appliquer big_smile Non mais des fois lol
Nan ?

 #4 - 30-09-2011 13:40:56

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un trriangle naturel !

2 bonnes réponses ! sinon c'est facile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #5 - 30-09-2011 14:16:15

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

un triangle naturzl !

Bonjour,
Comme la hauteur du triangle équilatéral est égale au produit de sa base par V3 / 2, on en déduit qu'au moins un des trois points à une coordonnée irrationnelle. Et donc, en inversant la proposition, on en déduit que si toutes les coordonnées sont rationnelles, alors le triangle ne peut pas être équilatéral.
Remarque: la proposition est également valable pour les coordonnées rationnelles (et pas seulement pour les coordonnées naturelles).
Bonne journée.
Frank

 #6 - 30-09-2011 14:25:34

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

un triangle baturel !

Bonjour,

Dans un premier temps on peut ramener le problème à l'étude  un triangle équilatéral OAB où O est l'origine du repère. Car le changement d'origine transforme des coordonnées entières en coordonnées entières.

A et B ont pour coordonnées respectives (a,b) et (c,d).

On pourra alors caractériser OAB équilatéral par B est l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle pi/3 (Si besoin est on échange le rôle de A et B)

La condition s'exprime à l'aide des complexes :
c+id=(a+ib)e^ipi/3)
c+id=(a+ib)*(1/2+isqrt(3)/2)
en développant et multipliant par 2, il vient:
2c=a-b*sqrt(3) et 2d=a*sqrt(3)+b
si a ou b est non nul, cela permet d'écrire sqrt(3) comme rationnel (a-2c)/b ou(2d-b)/a.
Or sqrt(3) n'est pas rationnel.

 #7 - 30-09-2011 18:35:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Un trianglee naturel !

Un triangle qui a ses sommets sur les coordonnées entières a une surface qui est un multiple de 1/2.
Pour l'équilatéral, sa surface est l²rac3/4 avec l² entier puisque l est une racine carrée puisque prise entre 2 entiers dans le cadre de ce problème. Donc la surface n'est pas rationnelle, donc l'un de ses points n'est pas à coordonnées entières.

 #8 - 30-09-2011 19:54:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

yn triangle naturel !

Plus généralement le carré est le seul polygone régulier pouvant avoir ses sommets à coordonnées entières smile

Vasimolo

 #9 - 30-09-2011 21:29:36

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

yn triangle naturel !

On peut se ramener à un triangle dont un des points est à l'origine par translation dans le plan.

Si le deuxième point a pour affixe [latex]m+pi[/latex], on obtiendra le troisième point d'un triangle équilatéral par rotation de [latex]\frac{\pi}3[/latex] autour de l'origine, et son affixe sera donc [latex]e^{i \pi / 3} (m+pi)[/latex].

En développant cette expression, on trouve que un complexe dont les parties réelle et imaginaire sont toutes deux irrationnelles (à cause du [latex]\frac{sqrt{3}}2[/latex] qui apparait dans les expressions).

Donc un triangle équilatéral ne peut pas avoir toutes ses coordonnées entières (ni rationnelles, d'ailleurs).



(Merci aux amis Baptiste et Guillaume qui ont trouvé cette solution pendant que je préparais à bouffer lol)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 01-10-2011 11:20:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Un triangl naturel !

Ayant eu un problème de serveur je ne vais mettre que ce que je trouve à la fin de mon raisonnement c'est à dire que si deux point on des coordonnées entières alors le troisième doit avoir des coordonnées dont une est un multiple de racine²(3) et l'autre est toujours différente de l'inverse la la précédente donc c'est impossible.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 01-10-2011 15:04:59

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

un triangle naturek !

La phrase de vasimolo nécéssite une démo !

"Plus généralement le carré est le seul polygone régulier pouvant avoir ses sommets à coordonnées entières"

Le problème est maintenant un peu plus complexe ! Bonne chance


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #12 - 01-10-2011 16:36:01

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

un triangle natueel !

Je reprends ma démonstration avec les complexes
en choisissant un polygone régulier à n côtés où O origine du repère est le centre du polygone.

Deux sommets consécutifs A et B se déduisent l'un de l'autre par la rotation de centre O et d'angle 2pi/n
Donc si j'appelle (a,b) et (c,d) les coordonnées respectives de A et B, on a
c+id=(a+ib)*e^(2ipi/n)
c= a*cos(2pi/n)-b*sin(2pi/n)
d= a*sin(2pi/n)+b*cos(2pi/n)

Si a, b, c et d sont rationnels, cos(2pi/n) et sin(2pi/n) sont solutions d'un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.
Ce sont nécessairement des rationnels.

Il existe peu d'angles dont les cosinus et sinus soient tous deux rationnels :
pi/2 est le seul qui soit de la forme 2pi/n avec n>2

 #13 - 01-10-2011 17:36:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un triaangle naturel !

Je pense que ce qu'a ajouté Vasimolo peut se prouver simplement, en utilisant le fait que deux arêtes voisines d'un polygone régulier autre que le carré forment un angle dont le sinus et/ou le cosinus est irrationnel.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 03-10-2011 04:26:26

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un triangle aturel !

Bravo et merci à tous les participants


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #15 - 03-10-2011 19:01:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Un triangle naturel

En y regardant de près, les démos sont presque toutes différentes!
Je ne suis pas sûr sûr qu'elles soient toutes recevables...par exemple, ce n'est pas parce que les sommets sont à coordonnées entières que les longueurs des cotés sont rationnelles ! or il me semble que c'est sur cette base qu'un certain nombre de démos ont été développées....

 #16 - 03-10-2011 19:10:44

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

yn triangle naturel !

et ben oui , avec une rotation , les sommets ne seront plus de coordonnées naturelles !


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #17 - 03-10-2011 19:43:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

un triangle narurel !

Ce n'est pas tout à fait ce j'ai voulu dire:
Un segment qui a 2 sommets à coordonnées entières n'est en général pas rationnel.
exemple (0,0) et (3,1)donne un segment de longueur rac10. Or à partir de ces 2 pts on peut tenter de construire un triangle équilatéral à coordonnées entières dont aucune longueur n'est rationnelle.

 #18 - 03-10-2011 19:49:10

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un triangle natuerl !

Oui oui j'ai compris ce que t'as voulu dire , je rajoute qu'avec une rotation , les sommets ne seront plus de coordonnées naturelles.

Par exemple , si A(1,1) B(2,3) ... alors il n'est pas possible de dire qu'avec une rotation , on va fixer un coté sur l'axe des abcisse et etudier alors la hauteur !
Le fait que  les 2 sommets ne seront plus de coordonnées naturelles n'est pas contradictoire avec ton resultat


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #19 - 03-10-2011 23:24:04

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Un triangle natruel !

Je suis pour ma part d'accord avec nodgim.
Pour ma part, je n'ai pas eu le temps de répondre mais j'aurai répondu avec un argument sur l'aire comme l'a fait nodgim.
C'est la façon à mon avis la plus simple de répondre et la plus simple à vérifier comme correcte.

 #20 - 09-10-2011 09:05:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

nU triangle naturel !

esereth a écrit:

Il existe peu d'angles dont les cosinus et sinus soient tous deux rationnels :

Sûr ? Moi, j'en connais une infinité....

 #21 - 09-10-2011 11:49:43

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Un triagle naturel !

Oui mais entre -pi et pi ça limite. ^^


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 09-10-2011 12:11:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

un truangle naturel !

nodgim a écrit:

Moi, j'en connais une infinité....

Si mes souvenirs sont bons , ils sont même denses dans l'ensemble des angles smile

Vasimolo

 #23 - 09-10-2011 12:13:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un triangle nature l!

[citation needed] lol

Sérieusement, une idée de comment le prouver ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 09-10-2011 12:47:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un triangle naturel

Il y a quelques années je m'étais amusé ( à chacun ses plaisirs lol ) à chercher les points du cercle trigo à coordonnées décimales et là déjà c'était dense alors si on ajoute les coordonnées rationnelles , ça risque de bouchonner mad

Vasimolo

 #25 - 09-10-2011 13:18:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Unn triangle naturel !

Pour l'infini:
la suite 4n+1 possède une infinité de nb premiers.
Tout premier de forme 4n+1 est somme de 2 carrés. Et donc son carré aussi.
En faisant le produit des carrés de ces n premiers premiers, on trouve quelque chose comme (3^n-1)/2 somme de carrés distincts, qui sont autant de constructions de triangles rectangles à coté entiers dont les sinus et cosnus sont rationnels.

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Un berger a 20 moutons, ils meurent tous sauf 12, combien en reste-t-il ?

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Enigme triangle (4) — Triangle naturel (3) — J=e2ipi/3 trigo cercle (3) — Triangle equilateral sommet ne sont pas des entiers (2) — Enigmes naturelles (2) — Triangles coordonnees entieres (1) — Triangle equilateral avec coordonnees entieres (1) — Enigme naturel (1) — Enigme recherche d un angle dans un triangle isocele (1) — Etoile (1) — Construire un triangle dont les sommet ont des coordonnees entieres (1) — Cosnus (1) — Angle (1) — Triangle equilateral et coordonnees entieres (1) — Triangle (1) — Les coordonnees des points du triangle equilateral sont des nombres entiers (1) — Trois carre de cote pourquoi cos =3/rac10 et sin = 1/rac 10 (1) — Construction de racines carrees (1) — Triangle et coordonnees en nombre entier (1) — Hauteur d un triangle equilateral de cote a sinus x2 x x4 (1) — Construction d un triangle equilateral a coordonnees entieres (1) — Triangle equilateral espace coordonnees entieres (1) — Enigme sur un triangle (1) — Sommets avec des points a coordonnees entieres (1) — Triangle equilateral+points a coordonnees entieres (1) — Construction d un carre a coordonnees rationnelles possible (1) — Angle triangle coordonnees entieres dense (1) — Enigme de triangle (1) — Enigmes chercher des triangles (1) — Aire triangle coordonnees entieres (1) — Montrer impossibilite de construire un triangle equilateral avec des coordonnees rationnelles (1) — Demontrer que la somme de p nombres entiers consecutifs est toujours un multiple de p (1) — Triangle equilateral sommet ait des coordonnee rationnel (1) — Triangle equilateral dont les coordonnees sont des nombres entiers (1) — Enigme du triangle (1) — Triangle de cotes rationnel (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete