Salut Gwen,
Je crains que tu n'aies pas tout à fait bien compris les contraintes: On doit prendre les valeurs des jetons dans l'ordre où ils se présentent dans le collier. Tu n'as pas le droit de "sauter" des jetons pour ne prendre que ceux qui t'arrangent. Ta seule liberté est le jeton de départ.

Oui, c'est possible.

Exemple : 1 - 2 - 3 - 4 - 5

Si on part du 3, les sommes sont 3 - 7 - 12 - 13 - 15, et la suite des moyennes 3 - 6 - 9 - 12 - 15

Merci.

Oui Gwen c'est bien ça, la valeur positive affectée aux jetons est aléatoire. ça pourrait d'ailleurs être des nombres non entiers, ni même rationnels. Je vais préciser ça dans l'énoncé.
Bon courage.

D'accord ! Quand on parle de moyenne, il s'agit de la moyenne de tout le collier.

Si l'on veut que la somme des n jetons soit > ou = à n fois la moyenne du collier, cela revient à dire (si l'on divise par n ces deux valeurs) que la moyenne des n jetons doit être > ou = à la moyenne du collier.

Pour cela, une solution évidente : le cas où les jetons sont rangés dans l'ordre décroissant. Ainsi, la moyenne des premiers jetons sera très élevée et diminuera progressivement (càd tendra) vers la moyenne du collier au fur et à mesure du comptage.
Pour reprendre le collier du 2e exemple, si les jetons sont dans cet ordre :
56-54-21-13-12-8-7-3-2-1-1-1
Alors je commencerai par compter à partir du jeton 56.

Alors bien sûr, la question est plus complexe si on considère l'ensemble des colliers possibles. La question devient en fait "comment savoir si un collier possède une solution au problème ?"

Dans ce cas, trois possibilités :
1- tous les jetons ont même valeur => on peut commencer à compter n'importe où ;
2- les jetons ont des valeurs variables => il existe des portions (des doublets ou des triplets de jetons) à très faible moyenne et des portions à très haute moyenne. Il suffit de choisir la portion la plus éloignée de la moyenne et de fixer la fin ou le début du comptage à ce niveau (fin du comptage sur la portion à très faible moy, ou bien début du comptage s'il s'agit d'une portion à très haute moyenne).

Exemple avec le collier 3-12-4-56-13-1-1-1-2-7-8-54-21 :
Les moyennes par doublets sont 7,5 ; 8 ; 30 ; 34,5 ; 7 ; 1 ; 1 ; 1,5 ; 4,5 ; 7,5 ; 31 ; 37,5 ; 12.
La moyenne la plus basse est 1, soit 1/14e de la moyenne du collier.
La moyenne la plus haute est 37,5, soit 2,7 fois la moyenne générale environ.
On choisit donc prioritairement de mettre la moyenne la plus basse en fin de comptage car elle est vraiment très basse. Et on commence à compter à partir du 1er doublet valide qui suit, soit 8-54 (moyenne 31).
Il existe donc au moins une solution : 8-54-21-3-12-4-56-13-1-1-1-2-7.

3- si les valeurs des jetons sont extrêmement inhomogènes, alors il existe un jeton totalement ectopique. Exemple : 1-1-1-170-1-1-1-1-1-1-1-1-1. Dans ce cas, il est évident qu'il existe une solution consistant à couper le collier au niveau du jeton ectopique. Il est intéressant de constater que dans ce cas extrême, il n'existe qu'une seule solution, mais il en existe une !

Conclusion : il existe toujours une solution ; plus le collier est homogène, plus il y a de solutions.

Edit suite à la réponse de nodgim :
C'est vrai, tu as raison, je vais quand même chercher des colliers sans solution pour vérifier ; cependant, je n'aime pas quand ça tourne trop mathématique pur .

J'ai réfléchi à ton problème, il suffit de le coder en :

> (fait monter la moyenne)
< (fait baisser le moyenne)
= (= à la moyenne)

S'il n'y a que des = le problème est trivial, on part d'où on veut.

Sinon, j'intègre les = aux > et < qui précèdent ce qui ne change ni les < , ni les >..

j'ai donc une suite de < et de >

Je concatène tous les > et tous les < qui se suivent en un seul > ou un seul<

Je me retrouve avec une suite de ><><><><><>....

Je prends chaque couple >< et je cherche sa résultante (> ou <)
Il y en a au moins une (de résultante ) qui est > sinon, pas de moyenne ou alors il n'y a que des =

Et je concatène de nouveau....

De fil en aiguille, j'aurais soit une suite >< , soit une succession de = il reste à commencer par le premier terme du > ou bien par le premier terme d'un des =
Avec ton exemple :

3-12-4 - 56 - 13-1-1-1-2-7-8 - 54-21 (moyenne =14,07)
<-<-<  -  > - <-<-<-<-<-<-< - >->
<         >         <          >

-24      +42       -65        +47
         -23                  +23 

Je pars donc du 54 .

54 75 78 90 94 150 163 164 165 166 168 175 183 
14 28 42 56 70 84  98  111 125 139 153 167 183

En fait, c'est même encore plus simple : on finit par 1 ou plusieurs = qui peuvent tous constituer le point de départ, ainsi que les = qui précèdent dans la suite initiale. Là ça y est, je pense qu'ils y sont tous... Fini d'éditer

Moi, j'ai bien aimé ton énigme . Pour une fois qu'une énigme mathématique demande juste un peu de raisonnement et aucune formule.

D'ailleurs c'était limite bon pour les énigmes logiques

Pour en revenir au problème du collier, j'ai 2 observations à faire:
1)J'aurais pu ne pas restreindre aux entiers positifs, mais à n'importe quel réel.
2) ça marche aussi pour les courbes intégrables, c'est à dire dans le continu, pas seulement dans le discret.

gwen27 a écrit:

Je hais les formules qui ne sont pas résumables par une phrase simple...

Les problèmes qui se résument en une simple phrase sont souvent ceux pour lesquels on a dû digérer des kilomètres de vocabulaire et/ou de théorèmes avant d'arriver à en comprendre le sens .

Ma préférée : [latex]e^{i\pi}=-1[/latex]

Vasimolo

Un peu trop occupé je n'ai fait  que survoler le problème mais je suis persuadé qu'il a une interprétation ( géométrique ) qui le rend complètement évident .

Reste à trouver laquelle

Vasimolo

Je parle du problème initial avec les moyennes croissantes , il faut encore que j'y réfléchisse

Vasimolo

Bien vu !

Donc, à chaque fois, on part du point le plus bas sur ce graphique, et on est assuré que tout marche. Joli !