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 #1 - 16-08-2012 07:43:29

nodgim
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Un collier e jetons.

Bonjour à tous.
Soit un collier de jetons, chacun d'eux est affecté d'une valeur positive aléatoire. On définit par convention un sens de rotation horaire. Est il possible, en choisissant judicieusement un jeton de départ 1, de faire le tour complet du collier de sorte que, à chaque jeton intermédaire n , la somme comptée depuis le jeton de départ soit supérieure ou égale à n fois la moyenne ?

Exemple: 1-2-3-4-5.
En partant de 3: 3-7-12-13-15 suite qui est tjs>= à la suite des moyennes 3-6-9-12-15.

Bon amusement



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 #2 - 16-08-2012 08:32:05

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Un ocllier de jetons.

En partant du jeton juste supérieur ou égal à la moyenne, oui .

On ajoute d'abord tous les jetons supérieurs ou égaux à la  moyenne, puis on attaque les petits. On tombera donc toujours sur le complément d'un jeton déjà tiré (=moyenne x2) + des jetons supérieurs à la moyenne.

 #3 - 16-08-2012 10:09:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un collier de jetobs.

Salut Gwen,
Je crains que tu n'aies pas tout à fait bien compris les contraintes: On doit prendre les valeurs des jetons dans l'ordre où ils se présentent dans le collier. Tu n'as pas le droit de "sauter" des jetons pour ne prendre que ceux qui t'arrangent. Ta seule liberté est le jeton de départ.

 #4 - 16-08-2012 10:54:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
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un collier de jztons.

Ou alors tu n'as pas bien posé le problème...

Je prends les jetons dans l'ordre

1 2 3 4 5 6 7 8 ....n  je pars du jeton supérieur ou égal à (n+1)/2 et je les prend tous dans l'ordre.

Après, si les jetons sont dans un ordre aléatoire ou s'ils peuvent même avoir les mêmes valeurs, il convient de le préciser . Ce n'est pas clair si on se base sur l'exemple...   

L'exemple pourrait-il être 4 4 3 1 5 7 moyenne 4 et on part du 5 ?

 #5 - 16-08-2012 11:15:23

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
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Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Un collier de ejtons.

Oui, c'est possible.

Exemple : 1 - 2 - 3 - 4 - 5

Si on part du 3, les sommes sont 3 - 7 - 12 - 13 - 15, et la suite des moyennes 3 - 6 - 9 - 12 - 15

Merci. cool


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #6 - 16-08-2012 12:14:49

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
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un collirr de jetons.

Je ne suis pas sûr de comprendre :

nodgim a écrit:

Est il possible, en choisissant judicieusement un jeton de départ 1, de faire le tour complet du collier de sorte que, à chaque jeton intermédaire n , la somme comptée depuis le jeton de départ soit supérieure ou égale à n fois la moyenne ?

Selon moi, n fois la moyenne est égal à la somme des valeurs. Donc "la somme comptée depuis le jeton de départ" est normalement toujours égale à "n fois la moyenne". Du coup je ne comprend pas l'exemple donné sad.

 #7 - 16-08-2012 12:15:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un vollier de jetons.

Oui Gwen c'est bien ça, la valeur positive affectée aux jetons est aléatoire. ça pourrait d'ailleurs être des nombres non entiers, ni même rationnels. Je vais préciser ça dans l'énoncé.
Bon courage.

 #8 - 16-08-2012 12:31:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2955

Un ccollier de jetons.

Un autre exemple pour tous:
3-12-4-56-13-1-1-1-2-7-8-54-21
il est évident qu'en démarrant sur le 3, qui est < moyenne (14), ça ne marche pas.
En démarrant sur 12 non plus.
En démarrant sur 56 et en arrivant au 2, vous aurez une somme de 56+13+1+1+1+2=74 or 6 fois 14=84, vous êtes sous la moyenne. ça ne me marche pas non plus.

 #9 - 16-08-2012 13:07:16

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 460

un colkier de jetons.

D'accord ! Quand on parle de moyenne, il s'agit de la moyenne de tout le collier.

Si l'on veut que la somme des n jetons soit > ou = à n fois la moyenne du collier, cela revient à dire (si l'on divise par n ces deux valeurs) que la moyenne des n jetons doit être > ou = à la moyenne du collier.

Pour cela, une solution évidente : le cas où les jetons sont rangés dans l'ordre décroissant. Ainsi, la moyenne des premiers jetons sera très élevée et diminuera progressivement (càd tendra) vers la moyenne du collier au fur et à mesure du comptage.
Pour reprendre le collier du 2e exemple, si les jetons sont dans cet ordre :
56-54-21-13-12-8-7-3-2-1-1-1
Alors je commencerai par compter à partir du jeton 56.

Alors bien sûr, la question est plus complexe si on considère l'ensemble des colliers possibles. La question devient en fait "comment savoir si un collier possède une solution au problème ?"

Dans ce cas, trois possibilités :
1- tous les jetons ont même valeur => on peut commencer à compter n'importe où ;
2- les jetons ont des valeurs variables => il existe des portions (des doublets ou des triplets de jetons) à très faible moyenne et des portions à très haute moyenne. Il suffit de choisir la portion la plus éloignée de la moyenne et de fixer la fin ou le début du comptage à ce niveau (fin du comptage sur la portion à très faible moy, ou bien début du comptage s'il s'agit d'une portion à très haute moyenne).

Exemple avec le collier 3-12-4-56-13-1-1-1-2-7-8-54-21 :
Les moyennes par doublets sont 7,5 ; 8 ; 30 ; 34,5 ; 7 ; 1 ; 1 ; 1,5 ; 4,5 ; 7,5 ; 31 ; 37,5 ; 12.
La moyenne la plus basse est 1, soit 1/14e de la moyenne du collier.
La moyenne la plus haute est 37,5, soit 2,7 fois la moyenne générale environ.
On choisit donc prioritairement de mettre la moyenne la plus basse en fin de comptage car elle est vraiment très basse. Et on commence à compter à partir du 1er doublet valide qui suit, soit 8-54 (moyenne 31).
Il existe donc au moins une solution : 8-54-21-3-12-4-56-13-1-1-1-2-7.

3- si les valeurs des jetons sont extrêmement inhomogènes, alors il existe un jeton totalement ectopique. Exemple : 1-1-1-170-1-1-1-1-1-1-1-1-1. Dans ce cas, il est évident qu'il existe une solution consistant à couper le collier au niveau du jeton ectopique. Il est intéressant de constater que dans ce cas extrême, il n'existe qu'une seule solution, mais il en existe une !

Conclusion : il existe toujours une solution ; plus le collier est homogène, plus il y a de solutions.

Edit suite à la réponse de nodgim :
C'est vrai, tu as raison, je vais quand même chercher des colliers sans solution pour vérifier tongue ; cependant, je n'aime pas quand ça tourne trop mathématique pur wink.

 #10 - 16-08-2012 13:14:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un collier de jteons.

Moriss, tu as très bien cerné le problème.
Peut être maintenant regarder si, au travers d'exemples, il y a des colliers avec solution et d'autres sans...

 #11 - 16-08-2012 14:08:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Un colier de jetons.

J'ai réfléchi à ton problème, il suffit de le coder en :

> (fait monter la moyenne)
< (fait baisser le moyenne)
= (= à la moyenne)

S'il n'y a que des = le problème est trivial, on part d'où on veut.

Sinon, j'intègre les = aux > et < qui précèdent ce qui ne change ni les < , ni les >..

j'ai donc une suite de < et de >

Je concatène tous les > et tous les < qui se suivent en un seul > ou un seul<

Je me retrouve avec une suite de ><><><><><>....

Je prends chaque couple >< et je cherche sa résultante (> ou <)
Il y en a au moins une (de résultante ) qui est > sinon, pas de moyenne ou alors il n'y a que des =

Et je concatène de nouveau....

De fil en aiguille, j'aurais soit une suite >< , soit une succession de = il reste à commencer par le premier terme du > ou bien par le premier terme d'un des =
Avec ton exemple :

Code:

3-12-4 - 56 - 13-1-1-1-2-7-8 - 54-21 (moyenne =14,07)
<-<-<  -  > - <-<-<-<-<-<-< - >->
<         >         <          >

-24      +42       -65        +47
         -23                  +23 

Je pars donc du 54 .

Code:

54 75 78 90 94 150 163 164 165 166 168 175 183 
14 28 42 56 70 84  98  111 125 139 153 167 183

En fait, c'est même encore plus simple : on finit par 1 ou plusieurs = qui peuvent tous constituer le point de départ, ainsi que les = qui précèdent dans la suite initiale. Là ça y est, je pense qu'ils y sont tous... Fini d'éditer lol

 #12 - 16-08-2012 14:15:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un collier de jetons

Bravo Gwen, c'est aussi ma démarche.
Moriss, c'est plus du wish full que de la démo mathématique. Je ne dis pas que tu n'as pas raison, je dis que ce n'est pas une vraie démo.

 #13 - 19-08-2012 19:22:23

gwen27
Elite de Prise2Tete
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un coklier de jetons.

Moi, j'ai bien aimé ton énigme . Pour une fois qu'une énigme mathématique demande juste un peu de raisonnement et aucune formule.

D'ailleurs c'était limite bon pour les énigmes logiques

 #14 - 19-08-2012 19:57:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un cpllier de jetons.

Oui Gwen.
Je vais dire pourquoi j'en suis arrivé à cette question, et je la pose maintenant.
La conjecture de Syracuse établit qu'on aboutit toujours à 1, ceci implique qu'il n'y a pas de boucle.
Supposons l'existence d'une boucle.
On a alors, pour un nombre N de la boucle:
N=(3^m/2^n)N +S(1)
S(1) est la somme des fameux +1 qu'on ajoute à chaque fois qu'on multiplie par 3.
Question: Quelle est la valeur maximale de S(1) pour le plus petit nombre de la boucle ?

Bon amusement.

 #15 - 19-08-2012 20:04:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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n collier de jetons.

Pour en revenir au problème du collier, j'ai 2 observations à faire:
1)J'aurais pu ne pas restreindre aux entiers positifs, mais à n'importe quel réel.
2) ça marche aussi pour les courbes intégrables, c'est à dire dans le continu, pas seulement dans le discret.

 #16 - 19-08-2012 20:04:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
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un colliet de jetons.

Là par contre, ça me gonfle lollollol (je ne comprends rien à l'explication) Je hais les formules qui ne sont pas résumables   par une phrase simple...

 #17 - 19-08-2012 20:31:57

Vasimolo
Le pâtissier
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Un collier dee jetons.

gwen27 a écrit:

Je hais les formules qui ne sont pas résumables par une phrase simple...

Les problèmes qui se résument en une simple phrase sont souvent ceux pour lesquels on a dû digérer des kilomètres de vocabulaire et/ou de théorèmes avant d'arriver à en comprendre le sens .

Ma préférée : [latex]e^{i\pi}=-1[/latex] smile

Vasimolo

 #18 - 19-08-2012 21:43:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Un ollier de jetons.

Bah celui-ci en est un où il fallait oublier les problèmes de digestion smile

 #19 - 21-08-2012 00:27:20

Vasimolo
Le pâtissier
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Un collier de jeton.s

Un peu trop occupé je n'ai fait  que survoler le problème mais je suis persuadé qu'il a une interprétation ( géométrique ) qui le rend complètement évident .

Reste à trouver laquelle smile

Vasimolo

 #20 - 21-08-2012 10:11:05

nodgim
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un collirr de jetons.

De quoi parles tu Vasimolo ?

 #21 - 21-08-2012 19:29:58

Vasimolo
Le pâtissier
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Un collie de jetons.

Je parle du problème initial avec les moyennes croissantes , il faut encore que j'y réfléchisse smile

Vasimolo

 #22 - 22-08-2012 09:21:31

Vasimolo
Le pâtissier
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Un collier d jetons.

Bon j'ai trouvé , c'est en effet complètement évident smile

Prenons l'exemple d'un collier : 6,1,4,0,2,5 . La moyenne des perles est 3 , j'enlève 3 à chaque perle et j'obtiens : +3,-2;+1;-3;-1,+2 . Que je peux représenter de la façon suivante :

http://img854.imageshack.us/img854/9928/moyennes.jpg

Pour que la somme des premières perles reste au dessus de la moyenne il faut que la courbe demeure au dessus de l'axe des abscisses . Si on démarre d'une autre perle on obtient le même dessin mais décalé par rapport à l'original .

Maintenant il est clair qu'il faut partir du point rouge ( c'est à dire un minimum du graphique ) pour toujours rester au dessus de l'axe horizontal .

Pour l'exemple proposé l'unique solution est : 5,6,1,4,0,2

Vasimolo

 #23 - 22-08-2012 11:05:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un collier d ejetons.

Bien vu !

Donc, à chaque fois, on part du point le plus bas sur ce graphique, et on est assuré que tout marche. Joli !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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