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 #1 - 18-12-2011 20:37:45

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Disstance moyenne entre 2 points pris sur une sphère

Une énigme proposée sur un blog anglophone : God Plays Dice, elle même tirée du livre Excursions in Calculus de Robert M. Young. La voici :

Quelle est la distance moyenne en ligne droite entre 2 points pris sur une sphère de rayon 1 ?



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 #2 - 18-12-2011 23:55:18

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Distance moyenne entre 2 points rpis sur une sphère

La même que la distance moyenne entre l'extrémité d'un demi-cercle et tous les points de ce demi-cercle. (L'intégrale sur une surface est double, mais la 2ème intégrale de 0 à pi autour du diamètre du demi-cercle ne change rien à l'affaire)
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-DistanceMoyenneEF.gif
Soit 2/pi * l'intégrale de 0 à pi/2 de 2*cos a  (LATEX, c'est pas mon truc sad ).

(L'intégrale de 0 à pi/2 à partir d'une extrémité du diamètre est beaucoup plus simple que celle de 0 à pi en partant du centre.)

C'est à dire 4/pi, soit pas loin de 1.27324 smile .

Modification : ajout de la figure et du texte en italique.

 #3 - 19-12-2011 08:52:19

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Distance moyenne entre 2 points pris sur une sphèr

On est ramené à calculer l'intégrale double
[TeX]\ell = \frac{1}{2\pi}\int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{r\,\sqrt{2-2r\cos t }}{\sqrt{1-r^2}}\,dr\,dt=\frac{4}{3}[/TeX]

 #4 - 19-12-2011 15:13:01

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Distance moyenne enter 2 points pris sur une sphère

Salut,
Je pense que telle que posée la question n'a pas de réponse:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand
C'est un paradoxe qu'il est très important de bien comprendre lorsqu'on demande des probabilités pour certains objets d'appartenir à tels sous ensemble, lorsque les espaces considérés ont plus d'une dimension. (Je pense qu'ici également dans un calcul de moyenne le même genre de problèmes s'applique).
En résumé on ne peut pas poser ce genre de question en faisant abstraction de la méthode décrivant la densité de nos objets sur leur espace.
Bien sur ici je pense que tous le monde comprendra qu'une extrémité est choisie au hasard equipondérée sur la sphère et que l'autre l'est ensuite de manière indépendante, mais comme il est toujours très difficile d'assurer qu'il n'y a qu'un interprétation...

C'était juste une intervention de partage culture math tongue j'ai la flemme de faire ce genre de calculs (quelque soit la méthode) tongue

 #5 - 19-12-2011 19:26:08

fmi
Visiteur

distance moyenne entre 2 points pris sur une qphère

raisonnons sur un demi cercle

l'angle  A qui sous tend la corde varie aleatoirement entre 0 et pi.

la corde vaut 2*sin(A/2)

La valeur moyenne est l'integrale de 2*sin(A/2) entre zero et pi; le tout divisé par pi

Le calcul elementaire de cete integrale donne 4/pi soit environ 1.273


Le calcul avec la fontion alea sur un tableur avec 10000 essais donne effectivemnt un moyenne  variant en gros 1.265 et 1.285

 #6 - 19-12-2011 20:55:35

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

distance moyenne entre 2 points pris sur une sphèee

Bonjour,
La distance moyenne est aussi celle entre le "pôle nord" et les points du "globe terrestre". Dans un repère "comme il faut", le "pôle nord" est le point (0;0;1).
D=V[x²+y²+(1-z)²] et comme x²+y²+z²=1 on aura D=V(2-2z) ou D=(2-2z)^0,5
On intègre sur toute la sphère en faisant varier z de -1 à +1, soit:
D=(1/2)x(-1/3)[(2-2z)^1,5]entre-1et+1=(-1/6)x(0-4^1,5)=8/6=4/3
Je trouve finalement D=4/3
Bonne soirée.
Frank

 #7 - 19-12-2011 22:50:08

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3309

Distance moyenne eentre 2 points pris sur une sphère

1


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 20-12-2011 12:05:46

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Disance moyenne entre 2 points pris sur une sphère

Nous pouvons considérer la moyenne des distances D depuis un point A quelconque de la sphère.
http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-sphere.png[latex]D=\frac{\int_{\theta=0}^{\pi}{2\pi\sin{\theta}*{2\cos\frac{\theta} 2}d\theta}}{\int_{\theta=0}^{\pi}{2\pi\sin{\theta}d\theta}}[/latex]
[TeX]D=\int_{\theta=0}^\pi {\sin\theta*\cos{\frac{\theta} 2}} d\theta}[/TeX]
soit, en posant [latex]\phi=\frac{\theta} 2[/latex]
[TeX]D=\int_{\phi=0}^{\frac{\pi} 2}{2\sin{\phi}\cos^2{\phi}d\phi}[/TeX]
et en posant [latex]\cos\phi=x[/latex]
[TeX]D=-2\int_{x=1}^{-1}{x^2dx}[/TeX]
soit [latex]D=\frac 4 3[/latex]

 #9 - 20-12-2011 18:08:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Distance moyenne enttre 2 points pris sur une sphère

Si un 1er point est situé au pôle, l'ensemble des autres points se répartit équitablement de part et d'autre de l'équateur. La distance moyenne est donc celle comprise entre le pôle et l'équateur, soit 1/4 de la grande circonférence de la sphère, soit PI*R/2.

 #10 - 22-12-2011 15:00:55

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Distance moyenne entre 2 poins pris sur une sphère

Je m'étonne que ce petit problème qui m'est tout de suite apparu comme évident n'est pas été résolu par la pléiade de matheux fréquentant ce site et que seul DSK pardon FMI soit de mon avis. J'avais comme lui tester mon résultat sur Excel avec une très bonne cohérence et seulement 45 points entre 1 et 89°.
J'attends le verdict d'Ef'  neutral ...

J'ai ajouté une figure et quelques explications sur le 1er message.

 #11 - 22-12-2011 18:41:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

distabce moyenne entre 2 points pris sur une sphère

Zut j'avais pris la ligne droite géodésique....

 #12 - 23-12-2011 01:24:48

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Distance moyenne entre 2 points pris sur unee sphère

Personnellement, je peut interpreter le probleme de 3 facons differentes:
Prenons le 1er point A au pole nord de la sphere, et B le 2eme point.
1) pour chaque point B, trouver la moyenne des lignes droites en suivant la courbure de la sphere, pour tous les angles possibles. Donner la fonction de cette moyenne en fonction de la distance la plus courte entre A et B.
2) donner la moyenne des distances entre A et B (our tous points B sur la sphere), en ligne droite au travers de la sphere.
3) donner la moyenne des distances entre A et B (our tous points B sur la sphere), en ligne droite en suivant la courbure de la sphere.

Je suppose que le vrai probleme est le 2eme, mais dans tous les cas je n'ai pas de réponse.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 23-12-2011 01:50:27

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Distance moyenne entrre 2 points pris sur une sphère

Clydevil a écrit:

Salut,
Je pense que telle que posée la question n'a pas de réponse:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand
C'est un paradoxe qu'il est très important de bien comprendre lorsqu'on demande des probabilités pour certains objets d'appartenir à tels sous ensemble, lorsque les espaces considérés ont plus d'une dimension. (Je pense qu'ici également dans un calcul de moyenne le même genre de problèmes s'applique).
En résumé on ne peut pas poser ce genre de question en faisant abstraction de la méthode décrivant la densité de nos objets sur leur espace.
Bien sur ici je pense que tous le monde comprendra qu'une extrémité est choisie au hasard equipondérée sur la sphère et que l'autre l'est ensuite de manière indépendante, mais comme il est toujours très difficile d'assurer qu'il n'y a qu'un interprétation...

C'était juste une intervention de partage culture math tongue j'ai la flemme de faire ce genre de calculs (quelque soit la méthode) tongue

Je crois qu'il n'y a pas de paradoxe ici, et donc qu'il y a bien une réponse.
Dans le paradoxe de bertrand la réponse depend de la facon de choisir les 2 points. Avec la 1ere methode, le premier point étant fixe, le 2eme point a une probabilité équiprobable d'etre n'importe ou sur la courbe. Avec la 2eme et la 3eme methode ce n'est pas vrai, tous les segments ne sont pas equiprobables. Ce qui donne un resultat different.
Dans l'énigme d'EfCeBa, je pense que tous les segments sont équiprobables et donc il s'agit de l'équivalent a la methode 1 pour une sphere.

Une autre facon de voir les choses pour le paradoxe:
methode 1: on choisi les 2 points
methode 2: on choisi 1 point, l'autre depend de la position du triangle.
methode 3: on choisi le milieu du segment.

Dans l'énigme d'EfCeBa, on choisi bien les 2 points.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #14 - 23-12-2011 09:03:54

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Distance moyenne entre 2 points pris sur ue sphère

fmi a écrit:

raisonnons sur un demi cercle

l'angle  A qui sous tend la corde varie aleatoirement entre 0 et pi.

la corde vaut 2*sin(A/2)

La valeur moyenne est l'integrale de 2*sin(A/2) entre zero et pi; le tout divisé par pi

Le calcul elementaire de cete integrale donne 4/pi soit environ 1.273


Le calcul avec la fontion alea sur un tableur avec 10000 essais donne effectivemnt un moyenne  variant en gros 1.265 et 1.285

C'est aussi ce que j'avais fait. Je note qu'il y a un groupe répondant 4/3. Que dit l'arbitre?


The proof of the pudding is in the eating.

 #15 - 23-12-2011 11:06:21

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

Disance moyenne entre 2 points pris sur une sphère

Je ne suis pas choqué par les démonstrations qui donnent 4/3.
De plus une simulation numérique me donne pour 10.000.000 de points une distance moyenne de 1.333xxx (je veux dire que sur plusieurs essais avec ce nombre de points, j'ai toujours les 3 premiers chiffres après la virgule à 3).

C'est difficile de valider ou d'invalider la formule d'halloduda qui est donnée sans trop d'explication.
Pour les démos de fmi et de Jackv, il est possible qu'il y ait un problème de "densité" ou d'équiprobabilité du nombre de points pour un dA de l'angle. Il est possible que tous les points n'aient donc pas le même poids pour chaque valeur de l'angle et qu'il faille donc diviser le résultat par une intégrale de la densité de points sur le même intervalle. Cette intégrale ferait sans doute intervenir pi.

(Je ne revendique pas le rôle d'arbitre smile)

 #16 - 23-12-2011 12:07:28

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

distance mouenne entre 2 points pris sur une sphère

Je détaille ma réponse ! La bonne réponse est évidemment 4/3.
Dans [latex]\mathbb{R}^3[/latex] on considère la sphère unité [latex]x^2+y^2+z^2=1[/latex].
On considère le point fixe [latex]A=(1,0,0)[/latex] et le point variable
[TeX]M=(x,y,z)=\left(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\right)[/TeX]
sur l'hémisphère nord, paramétré par [latex](x,y)[/latex]. Alors
[TeX]AM=\sqrt{(1-x)^2+y^2+z^2}=\sqrt{2-2x}[/TeX]
La distance moyenne [latex]\ell[/latex] cherchée est égale à l'intégrale double sur le disque unité [latex]D^2[/latex] (on divise par la surface [latex]2\pi[/latex] de l'hémishère nord)
[TeX]\ell =\frac{1}{2\pi} \iint_{D^2}\sqrt{2-2x}\,\left\Vert \frac{\partial M}{\partial x}\wedge\frac{\partial M}{\partial y}\right\Vert dx\,dy[/TeX]
[TeX]
\ell =\frac{1}{2\pi} \iint_{D^2}\frac{\sqrt{2-2x}}{\sqrt{1-x^2-y^2}} dx\,dy[/TeX][TeX]\ell = \frac{1}{2\pi}\int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{r\,\sqrt{2-2r\cos t }}{\sqrt{1-r^2}}\,dr\,dt[/TeX][TeX]\ell=\frac{4}{3}[/TeX]
Voilà ! Pour le petit problème qui est tout de suite apparu comme évident...

 #17 - 24-12-2011 22:16:56

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
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distancr moyenne entre 2 points pris sur une sphère

Bonsoir,

Je propose d'abord de citer la source de l'énigme :
http://godplaysdice.blogspot.com/2011/1 … oblem.html

J'avais commencé à réfléchir au problème et je me suis dit qu'il fallait le partager avec vous alors meme que je n'avais pas la solution.

Le site n'est pas clair non plus et les amatheurs qui ont répondu ont des réponses similaires aux votres.

Cependant, je vais me délester des fonctions arbitrales, les idées proposées par ceux proposant 4/pi (fmi, Jackv et franck9525) me semblent justes mais en regardant la logiques des intégrales doubles proposées par Franky1103, halloduda et masab, je dois dire que je suis séduit par 4/3.

 #18 - 24-12-2011 22:47:51

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3309

Distance moyenne entre 2 points pris sr une sphère

Je ne sais plus pourquoi mais quand j'ai fais un dessin d'un demi-cercle de rayon 1 pour moi c'était trivial que la moyenne était majorée par [latex]2*cos(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}[/latex] soit la diagonale d'un carré de côté 1.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 25-12-2011 12:05:25

Jackv
Elite de Prise2Tete
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distance moyenne entre 2 points pris sur une spjère

Jackv a écrit :
La même que la distance moyenne entre l'extrémité d'un demi-cercle et tous les points de ce demi-cercle. (L'intégrale sur une surface est double, mais la 2ème intégrale de 0 à pi autour du diamètre du demi-cercle ne change rien à l'affaire)

La simplification me paraissait évidente ...
Et bien, non, il ne faut pas toujours se fier à sa première intuition sad .

Comme le dit rivas :
... il est possible qu'il y ait un problème de "densité" ou d'équiprobabilité du nombre de points pour un dA de l'angle.

En effet, quand on considère la (demi) sphère, les distances proches de [latex]\sqrt{2}[/latex] interviennent avec un poids beaucoup plus grand que celles avec des valeurs proches de 0 ou de 2.
La démonstration proposée par halloduda me parait suffisamment simple et claire pour me convaincre pleinement.

Ma consolation, c'est d'avoir pu faire douter le chEf' lol !
J'en profite pour souhaiter la bienvenue à fmi et j'espère qu'on le reverra
bientôt sur ce site de fous smile .

 #20 - 26-12-2011 05:24:03

Tofic
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 72

Distance moyenne entre 2 opints pris sur une sphère

Bonjour,

Quelle est la distance moyenne en ligne droite entre 2 points pris sur une sphère de rayon 1 ?

j'interprète l’énoncé autrement, il s'agit de distance sur une surface à 2 dimensions à courbure positive, ici, une sphère.


Soit a et b, 2 points quelconques sur une surface sphérique. Il n'existe qu'une ligne droite passant par deux points sur une sphère, sa géodésique, ici un cercle de rayon sphère (r).
Avec a et b confondu (par exemple), la distance mini est 0 et comme la géodésique est fermée, on obtient  la distance maxi: [latex]2\pi.r[/latex]. La moyenne est [latex]\frac {0+2.\pi.r} 2 = \pi.r[/latex]. Avec [latex]r=1[/latex] on trouve [latex]\pi[/latex] comme distance moyenne.
La distance moyenne en ligne droite entre deux points serait alors sur Terre d'approximativement 20 100 km.
En gros, il existe sur une sphère deux chemins (sens) possibles pour joindre en ligne droite deux points, la distance moyenne est toujours la même quelque soit la position des deux points, elle n'est fonction que du rayon.

Trop simple?

 #21 - 26-12-2011 09:42:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Distance moyenne entre 2 points pris usr une sphère

Ben non la distance max n'est pas 2PI R (tu ne fais pas tout le tour de la terre) mais bien PI.R.

 #22 - 26-12-2011 12:09:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Distance moyenne entre 2 points pris sur une sphèree

Bonjour,
A la surface d'une sphère, la distance moyenne serait évidemment pi R / 2. Mais la question posée ici est la distance moyenne "à travers la sphère" et il y aurait deux "écoles": 4R / 3 ou 4R / pi: ça se complique un peu.
Bonne journée.
Frank

 #23 - 26-12-2011 14:11:48

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

distance mpyenne entre 2 points pris sur une sphère

Franky : je pense qu'il n'y a plus maintenant qu'une seule école valable : j'ai reconnu mon erreur hmm , la réponse est bien 4/3 (voir les explications 3 messages plus haut).

 #24 - 26-12-2011 14:29:03

Tofic
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 72

Distance moyenne entre 2 point spris sur une sphère

Salut,

Franky1103 a écrit:

Bonjour,
A la surface d'une sphère, la distance moyenne serait évidemment pi R / 2. Mais la question posée ici est la distance moyenne "à travers la sphère" et il y aurait deux "écoles": 4R / 3 ou 4R / pi: ça se complique un peu.
Bonne journée.
Frank

justement, il n'est nullement précisé "à travers la sphère", mais "sur la sphère", ça fait une sacrée différence. il faudrait peut-être réécrire l'énoncé.

J'allais oublier, bonnes fêtes à tous vos neurones.wink

 #25 - 26-12-2011 15:31:22

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

distance moyenne entre 2 points pris sur yne sphère

Tofic : tout le monde avait compris "distance en ligne droite" et "entre 2 points pris sur une sphère".

Mais bienvenu sur les énigmes du forum. Il y en a des nouvelles à peu près tous les jours. J'espère qu'on te reverra bientôt.

Joyeuses fêtes et bonne année big_smile .

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