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 #1 - 10-12-2010 11:38:36

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

fréquences de traits et fe points

Le site WildAboutMath organise un nouveau concours pour gagner une calculatrice Ti84.

Pour y participer, il faut regarder et comprendre cette vidéo en anglais :


Je retranscrit quelques passages essentiels :

Soit une suite de nombres entiers croissants :
1 2 2 2 3 3 6 7 7 7 9 11 11 14 ...

Soit une seconde suite composée des fréquences d'apparition des nombres inférieurs à N.
Elle commence par le nombre de nombres de la suite strictement inférieur à 1 : 0
puis le nombre de nombres de la suite inférieur à 2 : 1, puis le nombre de nombres de la suite inférieur à 3 : 4, et ainsi de suite :
0 1 4 6 6 6 7 11 11 12 12 14 ...

Si on recommence cette étape avec cette nouvelle suite, on retrouve la première suite :
1 2 2 2 3 3 6 7 7 7 9 11 11 14 ...

Si on ajoute le rang de chaque nombre à sa valeur dans la première suite, on obtient :
2 4 5 6 8 9 13 15 16 ...
Si on ajoute le rang de chaque nombre à sa valeur dans la seconde suite, on trouve :
1 3 7 10 11 12 14 ...
On remarque que ces 2 dernières suites contiennent tous les nombres entiers.

On peut transformer la premiere suite en un diagramme composé de points et de traits.
././//.//...////../..
Soit P(n) le nombre de points précédant le trait n. (à gauche du nième trait)
P(n) = 1 2 2 2 3 3 6 7 7 7... (la première suite)
Soit Q(n) le nombre de traits précédant le point n.
Q(n) = 0 1 4 6 6 6 7 11 11 12 ... (la seconde suite)

De plus, encore une fois l'ensemble { P(n)+n ; Q(n)+n } représente l'ensemble des entiers naturels supérieur à 0.


L'exercice qui est demandé est de s'intéresser à une suite de départ très particulière :
2 3 5 6 7 10 11 12 ...
représentant les nombres entiers supérieurs à 1 qui ne sont pas des carrés parfaits pour trouver une formule permettant de définir le nième nombre qui n'est pas un carré parfait.

Vos réponses (en français) seront cachées ici jusqu'à la fin du concours, si vous voulez participez, envoyer votre réponse argumentée à mondaymathmadness at gmail dot com en anglais.

http://wildaboutmath.com/2010/12/09/ano … e-contest/



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#0 Pub

 #2 - 12-12-2010 10:07:02

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

fréquences de trzits et de points

Done!


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 24-12-2010 18:01:49

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Fréquences de traits et de pints

Je ne sais pas si certains d'entre vous ont répondu à la question, directement sur le site. Le gagnant a proposé la solution :
[TeX]\lfloor 1/2 *(1 + sqrt{4*n-3}) \rfloor + n[/TeX]
http://wildaboutmath.com/images/CalculatorProblem2.pdf

http://wildaboutmath.com/2010/12/23/ti- … ay-winner/

 

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