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 #1 - 30-08-2011 22:23:48

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Symétries et aligneement de points

Voici un problème de géométrie un peu plus compliqué que les énigmes que j'ai proposé précédemment.

"Soit ABC un triangle quelconque. On note D l’intersection de la hauteur (H1) du triangle ABC issue de A avec la droite (BC). On trace ensuite le triangle A'B'C' symétrique de ABC par rapport à (H1). On note E l’intersection de la hauteur (H2) du triangle A'B'C' issue de B' avec la droite (A'C'). On trace enfin le triangle A''B''C'' symétrique de A' B'C' par rapport à (H2). On note enfin F l’intersection de la hauteur (H3) du triangle A''B''C'' issue de C avec la droite (A''B''). Que peut-on dire des points D, E et F ?"

J'attends une démonstration rigoureuse de votre part et non pas, une figure et dire que les points sont [...]

EDIT : Enoncé



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 #2 - 31-08-2011 00:24:27

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

symétries et alignelent de points

Bonsoir,

J'ai un problème (ou deux) avec l'énoncé :
La hauteur (H1) issue de A passe par A. A est donc son propre symétrique par rapport à cette droite et donc A'=A
La hauteur (H2) issue de B dans le triangle A'B'C' n'existe pas. Faut-il comprendre issue de B' ? Ou bien (H2) et (H3) sont-elles les deux autres hauteurs du triangle ABC ?

 #3 - 31-08-2011 08:16:24

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Symétries et aignement de points

@esereth :
1) Oui A=A' (c'est une donnée à prendre en compte, je pense)
2) (H2) est la hauteur du triangle A'B'C' issue de B'... En fait, j'ai fait un copié-collé d'un énoncé que j'ai trouvé sur un de mes PDF (LaTeX) et les "primes" n'apparaissaient pas donc je les ai ajouté priant que j'en avais oublié aucun.

 #4 - 31-08-2011 14:59:14

BilouDH
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 29

Symétries et alignement de pointss

Bonjour,

Les points D, E et F sont alignés.
Il faut pour celà prouver que l'angle DEF=180. DEF=DEB'+B''EC''+C''EF

1) E est l'intersection de (H2) (hauteur issue de B') avec A'C' et C" est l'image de C' par rapport à (H2) donc B"EC"=90.
2) C"EF et C'ED sont alternes-internes donc C"EF=C'ED donc DEB'+C"EF=DEB'+C'ED=C'EB' or comme E est l'intersection de (H2) (hauteur issue de B') avec A'C', on en déduit que C'EB'=90

D'après 1 et 2 DEF=180 donc D,E et F sont alignés.

 #5 - 31-08-2011 15:14:59

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Symétries et alignement ed points

Bonjour,

J'y vais.  J'ai trouvé, c'est long, donc sans doute perfectible, et plus pénible à écrire qu'à concevoir.
D'autant plus que j'aurais aimé joindre la figure (si quelqu'un peut m'expliquer comment faire ...)
Edit : Merci Clement

http://www.prise2tete.fr/upload/esereth-exo1.ggb.png
Pour résoudre il faut un triangle non isocèle et non rectangle.

D'abord notons s1 la symétrie d'axe (H1) et s2 la symétrie d'axe (H2).
s1(ABC)=A'B'C' et s2(A'B'C')=A"B"C".
Les symétries  sont des isométries et les images des hauteurs d'un triangle par symétrie sont des hauteurs du triangle image.
Il est clair également que A'=A et B'=B".

Première partie : (H1), (H2) et (H3) sont concourantes et leur point de concours est orthocentre de ABC 
Notons H le point d'intersection de (H1) et (H2). Il est donc invariant par s1 et par s2.
(B'H)=(H2), c'est une hauteur de A'B'C' donc (BH) qui est son symétrique par s1 est une hauteur de ABC => H est l'orthocentre de ABC.
Par s1, (CH) a pour image (C'H) et par s2, (C'H) a pour image (C"H). Comme (CH) est une hauteur de ABC, (C"H) est une hauteur de A"B"C" => (C"H)=(H3), c'est à dire  (H3) passe par H.

Deuxième partie :  A", B', C' et H sont cocycliques.
C'est un problème d'angle.
(C"A",C"H)=(C'H,C'A") par symétrie par rapport à (H2)
(C"A",C"H)=(B'H,B'A") puis qu'il ont le même complémentaire (triangles rectangles C"A"F et B'A"E)
On en déduit l'égalité (C'H,C'A")=(B'H,B'A")  ce qui entraine la cocyclicité des quatre points A",C',B' et H.

Troisième partie : E, F et G sont alignés
Si on considère le cercle circonscrit  au triangle A"B'C', H et un point du cercle circonscrit à ce triangle, et E, F et G sont les projetés orthogonaux de H  sur les cotés de ce triangle. Ils sont alignés sur sur la droite de Simson de H relative au triangle A"B'C'.

Joli exercice. Je continue à chercher ... une solution plus simple.

 #6 - 31-08-2011 16:45:21

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Smétries et alignement de points

@esereth : Pour joindre une figure, tu cliques sur Upload au dessus de ton cadre où tu tapes ta réponse. Ensuite tu cliques sur Parcourir, tu sélectionnes ton image et tu complètes le dernier cadre avec le code inscrit sur le pictogramme. Tu appuies sur "Uploader ce fichier". La page suivante te donne l'adresse vers l'image, tu n'as qu'à la copier coller sur ta réponse wink

 

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