@esereth :
1) Oui A=A' (c'est une donnée à prendre en compte, je pense)
2) (H2) est la hauteur du triangle A'B'C' issue de B'... En fait, j'ai fait un copié-collé d'un énoncé que j'ai trouvé sur un de mes PDF (LaTeX) et les "primes" n'apparaissaient pas donc je les ai ajouté priant que j'en avais oublié aucun.

Bonjour,

J'y vais.  J'ai trouvé, c'est long, donc sans doute perfectible, et plus pénible à écrire qu'à concevoir.
D'autant plus que j'aurais aimé joindre la figure (si quelqu'un peut m'expliquer comment faire ...)
Edit : Merci Clement


Pour résoudre il faut un triangle non isocèle et non rectangle.

D'abord notons s1 la symétrie d'axe (H1) et s2 la symétrie d'axe (H2).
s1(ABC)=A'B'C' et s2(A'B'C')=A"B"C".
Les symétries  sont des isométries et les images des hauteurs d'un triangle par symétrie sont des hauteurs du triangle image.
Il est clair également que A'=A et B'=B".

Première partie : (H1), (H2) et (H3) sont concourantes et leur point de concours est orthocentre de ABC 
Notons H le point d'intersection de (H1) et (H2). Il est donc invariant par s1 et par s2.
(B'H)=(H2), c'est une hauteur de A'B'C' donc (BH) qui est son symétrique par s1 est une hauteur de ABC => H est l'orthocentre de ABC.
Par s1, (CH) a pour image (C'H) et par s2, (C'H) a pour image (C"H). Comme (CH) est une hauteur de ABC, (C"H) est une hauteur de A"B"C" => (C"H)=(H3), c'est à dire  (H3) passe par H.

Deuxième partie :  A", B', C' et H sont cocycliques.
C'est un problème d'angle.
(C"A",C"H)=(C'H,C'A") par symétrie par rapport à (H2)
(C"A",C"H)=(B'H,B'A") puis qu'il ont le même complémentaire (triangles rectangles C"A"F et B'A"E)
On en déduit l'égalité (C'H,C'A")=(B'H,B'A")  ce qui entraine la cocyclicité des quatre points A",C',B' et H.

Troisième partie : E, F et G sont alignés
Si on considère le cercle circonscrit  au triangle A"B'C', H et un point du cercle circonscrit à ce triangle, et E, F et G sont les projetés orthogonaux de H  sur les cotés de ce triangle. Ils sont alignés sur sur la droite de Simson de H relative au triangle A"B'C'.

Joli exercice. Je continue à chercher ... une solution plus simple.