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 #1 - 08-05-2012 15:58:59

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Super Bino

Bonjour

Je ne sais pas si cet exercice doit être sous le thème d'enigme mathématique mais plutôt sous le thème de problème mathématique.

Je reviens de croisière, le bateau ayant réussi sa boucle sans s'échouer sur une île, j'ai encore plein de souvenir en tête.
Mais au milieu de la croisière, ma copine m'a obligé à jouer au super bingo et croyais le ou non, j'ai gagné ! (pour la petite histoire, il y avait 3 gagnants, donc on a gagné chacun 85€)
Ce qui m'a intrigué le plus dans cette histoire, c'est la possibilité de gagner 5000€ si on avait le bingo après seulement 46 numéros tirés.
N'ayant pas les capacités de le calculer, je voulais savoir si c'était une probabilitée indécente ou réaliste (sachant que c'est le casino qui gère ce jeu, ça ne m'étonnerait pas qu'on soit largement en dessous du 0.01%)

Bref, voici les règles complètes.
Les grilles possèdent 24 chiffres, divisés en 5 colonnes.
Chaque colonne contient 5 chiffres allant de 1 à 15, 16 à 30, 31/45, 46/60, 61/75
La colonne centrale ne possède que 4 chiffres.

Le tirage au sort des numéros est complétement aléatoire.

- Quelle est la probabilité de gagner avec 46 numéros tirés ?
- Est-ce que le fait que les numéros soient répartis en 5 groupes plutot qu'un tirage complétement aléatoire rend-il le jeu plus simple ou plus difficile ?
- A partir de combien de chiffre tirés devrait-on avoir un gagnant (p>0.5) s'il y a 350 grilles distribuées (c'était à peu près de nombre de grille ce jour là) ?

Merci à ceux qui se pencheront sur mon problème !



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 #2 - 11-05-2012 15:27:56

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

suoer bingo

Bonjour,

Nous allons tenter d'apporter une réponse à la première question:
Quelle est la probabilité de gagner avec 46 numéros tirés ?

Supposons qu'il y a seulement deux personnes dans la salle:
- La personne qui procède au tirage de 46 boules au hasard parmi 75.
- Moi avec une grille de 24 numéros.

Combien dénombre-t-on de tirages de 46 boules parmi 75 ?
75! / ( 46! * (75 - 46)! ) = 509 921 367 799 528 000 000

Parmi ces tirages, combien sont gagnants pour la grille qui est en ma possession ?
On doit dénombrer tous les tirages de 46 boules qui incluent les 24 numéros de ma grille.
Pour qu'un ensemble de 46 numéros puisse me faire crier "bingo!", il doit inclure les 24 numéros qui sont inscrits sur ma grille, plus 22 autres numéros quelconques parmi les 51 numéros qui ne sont pas sur ma grille.
On va donc dénombrer les ensembles de 22 boules parmi 51.
51! / ( 22! * (51 - 22)! ) = 156 077 261 327 400

Parmi les 509 921 367 799 528 000 000 tirages possibles, 156 077 261 327 400 me font gagner car ils incluent les 24 numéros de ma grille.
Probabilité:   0,0000306081 %, c'est-à-dire environ 1 chance sur  3,2 millions (plus précisément: 3 267 109).

Mais ce serait encore trop beau !
Dans la réalité, je ne suis pas tout seul à jouer. Plein d'autres personnes sont dans la salle.
S'agissant d'un pactole spécial et exceptionnel, on peut craindre qu'il ne soit attribué qu'à la première personne qui parvient à remplir une grille avant le tirage de la 47ème boule, et que, suite à cela, le tirage soit arrêté.
Il suffirait alors qu'un seul des joueurs remplisse sa grille avant moi pour que je passe à côté du pactole.
Si, par exemple, mon voisin a rempli sa grille dès le tirage de la 30ème boule (1 chance sur 43 414 929 188 657), et même s'il ne me reste qu'un jeton à poser sur ma grille, et même si la 31ème boule allait justement être celle qui me manquait, c'est mon voisin qui empoche les 5000 €, l'organisateur met un terme au tirage, remet toutes les boules dans leur bocal, et je vais prendre l'air sur le pont-promenade en grommelant... cool


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #3 - 11-05-2012 17:35:46

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Super Bigo

merci beaucoup pour cette démonstration. Je vais potasser tout ça ce soir smile

 #4 - 12-05-2012 13:47:04

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

super binfo

"- A partir de combien de chiffre tirés devrait-on avoir un gagnant (p>0.5) s'il y a 350 grilles distribuées (c'était à peu près de nombre de grille ce jour là) ?"

Est-ce calculable par une formule simple ? Je n'en ai pas l'impression.

 #5 - 12-05-2012 15:01:54

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

Super Bnigo

Bonjour,

En continuant sur la lancée de la réponse proposée pour la première question, on peut tenter de donner une réponse à la troisième question:
A partir de combien de boules tirées devrait-on avoir un gagnant (p>0.5) s'il y a 350 grilles distribuées ?

Si on a une seule grille, on a:
1 chance sur 3,2 millions de gagner après tirage de 46 boules
[...]
30,84% de chances de gagner après tirage de 72 boules
45,94% de chances de gagner après tirage de 73 boules
    68% de chances de gagner après tirage de 74 boules
  100% de chances de gagner après tirage de 75 boules (évident...)

Si on a 350 grilles, la probabilité dépend de la diversité de ces 350 grilles.
Imaginons que les 350 grilles soient toutes absolument identiques.
Dans ce cas-là, la probabilité de gagner reste la même que si on avait une seule grille. (350 personnes crieront lol "bingo!" en même temps).
Si, au contraire, on suppose que les 350 grilles sont toutes très différentes les unes des autres, de sorte qu'elles couvrent à elles toutes un maximum de combinaisons de 24 numéros, on peut simplifier le problème en disant que grosso-modo les chances d'avoir un gagnant sont à multiplier par 350.
Ce qui nous donne:
0,01% de chances (environ 1 chance sur 9334) d'avoir un gagnant après tirage de 46 boules
[...]
48,94% de chances d'avoir un gagnant après tirage de 60 boules
80,69% de chances d'avoir un gagnant après tirage de 61 boules
100% de chances d'avoir un gagnant après tirage de 62 boules


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #6 - 14-05-2012 22:04:35

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Super Binggo

C'est une réponse à l'à-peu-près qui me laisse sur ma faim. D'où ma remarque. Et même en programmant, je pense qu'il faudrait quelques siècles pour passer en revue l'ensemble des possibilités.

 #7 - 15-05-2012 01:20:58

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

supee bingo

il faudrait quelques siècles pour passer en revue l'ensemble des possibilités

Je suis entièrement d'accord.
Et en plus ça ne nous rendrait pas plus riches, bien au contraire, vu que ça grillerait quelques dizaines de processeurs par an  smile


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein
 

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