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 #1 - 10-08-2011 10:50:59

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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Multiplse d'entiers

Une enigme provenant d'un blog sur les mathématiques.
(en espérant que personne ne l'ait déjà postée !)

Je précise que je n'ai pas su la résoudre.

Peut on trouver, pour tout entier non nul, un multiple de celui ci utilisant au moins une fois tous les chiffres de 0 à 9 ?



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 #2 - 10-08-2011 11:48:56

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Mutliples d'entiers

Il suffit de montrer que, pour j chiffre fixé, dans les multiples de n apparaissent au moins une fois j ensuite puisque toutes combinaisons linéaires de multiples de n est encore un multiple de n , [latex]n\times \sum 10^{iT}i[/latex] où T est la taille de n (son nombre de chiffres) et la somme étant finie, fait l'affaire.

Je m'occuperais du premier point plus tard.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #3 - 10-08-2011 12:30:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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multiples d'entierq

oui, je pense . par exemple, s'il contient un 1  xx1xxx il suffit de le multiplier par

1000002000003000040000050000060000070000080000090000000000

Bon, le coup du 1 ça ne marche pas car il y a les retenues... Mais il parait difficile de concevoir un nombre dont aucun multiple ne contiendrait un chiffre donné au moins une fois.

Pour un nombre commençant par 1,2,3,....9 , il est toujours possible de le multiplier pour obtenir un nombre commençant   par un chiffre voulu. (sauf 0) Dès lors, on reprend l'idée précédente. Et s'il manque un chiffre dans le premier produit, on rajoute suffisamment de 0 et on met un autre facteur au bout , etc... S'il manque toujours le 0 , on met assez de 0 à la fin.

 #4 - 10-08-2011 13:21:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Multilpes d'entiers

Oui et c'est même très facile!

 #5 - 10-08-2011 16:25:39

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

lultiples d'entiers

Intéressante énigme.

Soit N un entier de c chiffres.
Soit X=1234567890...0 terminé par c+1 chiffres 0.
Divisons X par N, prenons la partie entière de ce nombre PLUS 1 si le quotient n'est pas entier.
Ce nombre multiplié par N commence commence exactement par 1234567890.
En effet prendre la partie entière éventuellement plus 1 assure que le produit est plus grand que X et prendre c+1 chiffres 0 à la fin assure qu'il y a pas de retenue sur le premier de ces 0.

Exemple: N=123
X=1234567890000
X/N=10 037 137 317,073170731707317073171
10 037 137 318*123=1 234 567 890 114

CQFD smile
Merci pour cette énigme.

PS: J'ai d'abord pensé à utiliser les nombres cycliques (ou nombres phoenix).
Leur définition est que leurs multiples correspondent aux permutations circulaires de leurs chiffres. Plus d'informations ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique

En choisissant un nombre cyclique de plus de c chiffres, N fois ce nombre s'écrit avec les mêmes chiffres que le nombre cyclique.
Il suffit donc lors du choix du nombre cyclique d'en choisir un qui s'écrit avec au moins une fois chaque chiffre.

Il reste à démontrer que c'est toujours possible, c'est à dire qu'il y a toujours un nombre cyclique assez grand s'écrivant avec au moins les 10 chiffres.

Et puis je me suis dit que ce n'était pas satisfaisant et j'ai donc trouvé l'autre démonstration. smile

 #6 - 10-08-2011 16:46:45

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

Mutiples d'entiers

@rivas : Merci pour cette réponse, qui diffère de celles que j'ai pu trouvé sur ce blog, mais qui, au contraire de ces dernière, m'est compréhensible smile

@ gwen : En m'inspirant de la réponse de rivas : tu as eu une bonne idée en ajoutant un nombre important de 0 au multiplicateur. Pourquoi ne pas réfléchir pour un nombre quelconque plutôt que de se concentrer sur ceux contenant au moins un 1 ?

 #7 - 10-08-2011 16:48:20

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

Muultiples d'entiers

Je planche pendant plusieurs heures sur une enigme et tout le monde la trouve facile  !

Question subsidiaire :  Peut on trouver, pour tout entier naturel non nul, un multiple ne s'écrivant qu'avec les chiffres 0 et 1 ?

 #8 - 10-08-2011 17:00:42

Milou_le_viking
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Multiples d'eentiers

Pour répondre à la première question:

Soit un entier quelconque abcde...xyz qui compte n chiffres.
Il lui existe toujours au moins un multiple entre
123456789000000...000 (se terminant par n 0)
et
123456789099999...999 (se terminant par n+1 9

En effet, c'est assez facile.

Je réfléchi à la seconde question.

Réponse:

Pour tout entier E, 1/E possède des décimales cycliques (ex 1/7 = 0,142857 142857 142758).
Ainsi, les 10^n (mod E) sont cycliques également de sorte qu'il est toujours possible de sommer E 10^n différents mais occupant la même position dans le cycle et on obtient un multiple de E qui ne comporte que des 1 et des 0.
Ex: E=7
1 (mod 7) = 1
10 (mod 7) = 3
100 (mod 7) = 2
1 000 (mod 7) = 6
10 000 (mod 7) = 4
100 000 (mod 7) = 5
fin du cycle
1 000 000 (mod 7) = 1
...

On prend 7 puissances de 10 de même modulo 7 et on les sommes.
Le cycle étant 6, je trouve par exemple des 7 un espacé de 5 zéros:

1000001000001000001000001000001000001

Il y en a d'autre, il suffit en fait que la somme des modulos fasse 7.
1001 me semble être le plus petit.

Pour des entiers plus grand, seul la taille du cycle change.
Ex: E =37 avec taille du cycle = 3.
Je prend 37 un espacés de 2 zéros.
De nouveau il en existe probablement des plus petits. (bah oui 111 en fait)

Mais c'est plus compliqué que la première question. C'est quoi ton raisonnement pour que tu trouve que ce soit plus simple.

 #9 - 10-08-2011 17:09:57

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Multiples d'eniers

J'étais parti sur un truc plus compliqué. Et puis je me suis dit qu'il devait y avoir plus simple smile

A noter que ma méthode permet de trouver un multiple commençant par ce qu'on veut donc en particulier par des 0 et des 1 ce qui répond à la question subsidiaire...

Ceci dit, en base 2, tous les multiples ne s'écrivent qu'avec des 0 et des 1.

 #10 - 10-08-2011 21:26:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Muliples d'entiers

En multipliant ton nombre par des puissances de 5 ou de 2 pour compenser les puissances de 2 ou 5 présentes dans le nombre et les transformer en zéros, il te restera un entier premier avec 10 et tu pourras alors trouver un nombre de la forme 111111... qui le multiplie.
Donc un nombre de la forme 1111..00... divise n'importe quel entier.

 #11 - 11-08-2011 08:39:22

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Multples d'entiers

Je commence par la question subsidiaire, ça sera plus facile smile

Soit U la suite définie par U0 = 1 et Un+1 = 10*Un + 1
Autrement dit, U0=1, U1 = 11, U2 = 111, U3 = 1111, etc...

Soit un nombre n.
Pour i compris entre 0 et n, je calcule les n+1 valeurs de Ui % n: comme j'ai n+1 valeurs alors qu'il n'y en a que n différentes modulo n; alors (principe des tiroirs) il existe a et b tels que a > b et Ua et Ub sont congrus modulo n.
Du coup, Ua - Ub est un multiple de n; et par construction, il ne comporte que des 1 et des 0.


Revenons à la question principale.
Soit un nombre n, soit M un multiple de n qui ne s'écrit qu'avec des 1 et des 0.
M*2 ne s'écrit qu'avec des 2 et des 0
M*3 ne s'écrit qu'avec des 3 et des 0
etc...
La concaténation (M).(2*M).(3*M).(4*M).(5*M).(6*M).(7*M).(8*M).(9*M).0 est un multiple de n et contient par construction tous les chiffres de 0 à 9

 #12 - 11-08-2011 13:34:10

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Multiples 'entiers

Posons n un entier quelconque.

On repère les puissance de 2 et 5 dans la décomposition de n.
On commence par multiplier le nombre par une puissance de 2 ou de 5 de manière à donner une puissance 10 multiplié par un entier p premier avec les puissance de 10.
Par exemple si n=75=3*5² on le multiplie par 2² pour avoir 3*10².
On recherche l'inverse q de p modulo 10 000 000 000 de tel sorte que pq = 1 modulo 10 000 000 000.
On multiplie encore par 0123456789 et c'est fini cool

Pour résumer n*(2^a ou 5^b) * q * 123456789 = ????....??012345678900....0000

Exemple :  n = 980 = 2²*5*7²
980 * 5 = 49*100
On calcul l'inverse de 49 : q = 49^(10 000 000 000 - 1) modulo 10 000 000 000
49 * q = 49 * 5306122449 = 260000000001
Pour conclure :
980 * (5 * 5306122449 * 123456789) = 3209876514012345678900

 #13 - 11-08-2011 14:08:04

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

mulyiples d'entiers

Pour la question subsidiaire je dis oui, c'est possible.

Preuve :
Posons n un entier quelconque.

1) n est une puissance de 10 : C'est fini
2) Sinon, intéressons nous au groupe des puissances de 10 modulo n.
Notons [latex]a_1, a_2, ... , a_n [/latex] les éléments ce groupe.
On cherche des entiers positifs [latex]b_1, b_2, ... , b_n [/latex] tels que :
[latex]\sum {}^{} a_ib_i = 0 \quad modulo \quad n[/latex]    (par exemple on choisis a1b1 + a2b2 = 0 modulo n et on fixe les autres à 0)

Il ne reste plus qu'à placer [latex]b_i[/latex] "1" à l'emplacement des puissance de 10 congrues à [latex]a_i[/latex] modulo n cool

Exemple : n = 7
1 = 1 [7]
10 = 3 [7]
100 = 2 [7]
1000 = -1 [7]
10000 = -3 [7]
100000 = -2 [7]

par exemple : 10*1 + 10000*1 = 0 [7] donc 10010 est un multiple de 7

L'exemple est peut être un peu facile mais l'idée est là smile

 #14 - 11-08-2011 22:19:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Multiples d'entiiers

Oui.

Aucune idée de comment le démontrer, mais d'instinct, la réponse "non" est impossible lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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