Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 02-02-2014 13:21:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtrau 69

Bonjour à tous smile

Pour ce 69ème numéro on ne va pas se contenter de retourner et faire sauter les ... crêpes .

Mon pâtissier a une technique bien à lui pour décorer ses crêpes . Il imagine un nombre pair de points régulièrement espacés sur le bord , il choisit une moitié d'entre eux qu'il relie d'un filet de chocolat .

http://imageshack.com/a/img545/6435/v2kz.jpg

Il me certifie qu'il ne peut pas économiser de chocolat s'il choisit de relier l'autre moitié .

Même pour la chandeleur , il faut qu'il m'emm...

Bonnes crêpes et bonne recherche smile

Vasimolo

Indice : Spoiler : [Afficher le message] Il faut montrer qu'il y a autant de segments de chaque taille dans les deux choix .



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 #2 - 02-02-2014 15:04:37

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Au sud du Nord

Gâtea u69

Au moins, ce gâteau, on pourra le plier lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 02-02-2014 15:31:52

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

fâteau 69

Au juste c'est quoi l'énigme? J'ai pas compris yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 02-02-2014 17:29:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâreau 69

@shadock : on place un nombre pair de points régulièrement sur le cercle et on choisit la moitié d'entre eux . Obtient-on la même longueur en traçant les segments reliant ces points à celle qu'on aurait obtenue en reliant les points de l'autre moitié ?

Vasimolo

 #5 - 02-02-2014 18:40:25

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

gâyeau 69

Ok d'accord alors dans ce cas, si il relie [latex]\frac{n}{2}[/latex] points les uns à la suite des autres, alors la distance de chocolat, est la même dans les deux cas.
Ça c'était le cas facile !

J'ai pas de conjecture pour le cas général mais j'ai un outil, les nombres complexes, j'imagine qu'on peut faire sans, mais je compte bien m'en servir big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 02-02-2014 18:48:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteua 69

@Shadock : ne cherche pas si loin , c'est élémentaire comme dirait Sherlock . Aucune artillerie même légère n'est nécessaire , un peu de logique suffit smile

Vasimolo

 #7 - 02-02-2014 19:16:28

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

gâyeau 69

Il suffit de définir une rotation k/2n fois 360°.
Par exemple 180° (symétrie par rapport au centre) k=n
Pour tout point choisi on s'interdit d'en prendre l'image dans la rotation.
L'ensemble des points restants se déduit de l'ensemble des points choisis par la rotation.
Il lui est donc identique.

EDIT pour faire comprendre.

Chaque fois que je retiens un point, je m'interdis de prendre par la suite le point diamétralement opposé.
La figure constituée par mes n points est égale à la figure constituée par les n points laissés libres, cette dernière figure étant symétrique de la précédente par rapport au centre du gâteau.

 #8 - 02-02-2014 19:33:35

Vasimolo
Le pâtissier
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gâteai 69

@Halloduda : moi petit cerveau , moi pas comprendre smile

Vasimolo

 #9 - 03-02-2014 16:22:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 6

Pas beaucoup de réponses , c'est difficile lollollol

Je donne un petit indice dans le message initial et je rajoute un peu de temps .

Vasimolo

 #10 - 03-02-2014 18:49:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Gâteau 699

Heureusement que tu nous donnes un indice, c'est limite tu nous prends pour des imbéciles non ? :tongue


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 03-02-2014 18:54:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gtâeau 69

Je m'attendais à la réaction shadock lollollollol

Indice à la con smile

Il faut prendre les tailles une par une .

Vasimolo

 #12 - 03-02-2014 21:47:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Gâteauu 69

On note x=2n le nombre de points sur le gâteau. Appelons points rouges les n points choisis par le pâtissier et points bleus les n autres points.

Soit k un nombre compris entre 1 et n, représentant un écart possible entre deux points du gâteau. Le but est de montrer qu'il y a autant de segments rouge-rouge que de segments bleu-bleu avec cet écart k.

Considérons l'ensemble Ek des segments dont l'écart est de k.
Pour k < n, chaque point du gateau apparait dans 2 segments différents, et pour k = n, chaque point apparait dans un segment. Dans Ek, il apparait donc x (pour k=n) ou 2x (pour k<n) extrémités de segments, chaque point du gateau étant compté 1 ou 2 fois selon k. Quoi qu'il en soit, dans Ek, il y a autant d'extrémités de segments bleues que de rouges. Ceci implique donc que dans Ek il y a autant de segments rouge-rouge que bleu-bleu, le reste étant des segments bleu-rouge.

CQFD.

 #13 - 04-02-2014 07:35:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Gâtteau 69

Si je prends un segment de longueur "1" (un sommet d'écartement) et que je le fais tourner autour du cercle, j'aurai une succession de segments de sommets Rouge-Bleu, Bleu-Rouge, Rouge-Rouge et Bleu-Bleu.

Vu que l'on passe 2 fois par chaque point et qu'il y a autant de Rouges que de Bleus, il y aura autant de R-R que de B-B, les autres n'appartenant à aucune des deux figures.

Idem si on fait tourner un segment de longueur "2" ou "3" ...etc jusqu'aux diamètres.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g69.JPG

 #14 - 04-02-2014 07:45:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u69

C'est bon Titoufred et Gwen smile

Vasimolo

 #15 - 04-02-2014 18:02:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâeau 69

On dessine en noir tous les pts et toutes les liaisons-segments sans se préoccuper des couleurs.
On colorie 1 pt en rouge et aussi en rouge seulement la moitié de la longueur de chaque segment qui part de ce pt rouge. On fait la même chose pour tous les pts rouges et tous les pts bleus (dont on colorie évidemment les 1/2 segments correspondants en bleu). Comme on colorie seulement la moitié d'un segment à la fois, et qu'on colorie exactement 2 fois ce segment puisque il a 2 points extrémités, à la fin du coloriage, tous les segments sont coloriés, soit en totalité en rouge, soit en totalité en bleu, soit moitié en bleu, moitié en rouge .
La longueur de tous les 1/2 segments coloriés associés à un pt est invariante pour chaque pt rouge ou bleu du fait de la répartition uniforme des pts sur le cercle.
Il y a donc autant de coloriage total rouge que bleu, car autant de pts rouges que de pts bleus.

Maintenant, si on ôte les segments mi rouge/ mi bleu, liaisons illicites entre les pts rouges et les pts bleus, on ôte autant de longueur de rouge que de bleu.

Quand on a fini, la longueur restante rouge est donc égale à la longueur restante bleue, puisqu'on a ôté à chacune des couleurs la même longueur.

 #16 - 04-02-2014 19:09:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

hâteau 69

@Nodgim : un point m'échappe , pourquoi la longueur totale rouge doit être égale à la longueur totale bleue ?

Vasimolo

 #17 - 04-02-2014 23:07:31

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâtteau 69

Bonsoir,

Bon, comme d'habitude il doit y avoir un peu plus simple, mais bon, allons-y quand même smile

Supposons que nous ayons 2n points autour du gâteau, alors il y a 2n segments possibles pour chaque longueurs, sauf pour le diamètre où l'on a n segments possibles.

Lemme 1 : Il y a autant de "diamètre" dans une "moitié de points" que dans l'autre.

     En effet, k diamètres relient 2k points. Supposons que l'on ait k diamètres dans
     une "moitié de points" alors le nombre de diamètres restant est n-k, mais il y a
     n-2k points qui occupe l'extrémité d'un de ces n-k diamètre (oui, parce que une
     moitié de points c'est n-2k +2k = n points), donc dans l'autre moitié nous avons
     n-k - (n-2k) = k diamètres.

Pour les autres mesures de segments, nous en avons 2n de chaque.
Supposons que nous ayons k segments de longueur i sur une "moitié de points".
Supposons que ces k segments sont répartis sur b composantes connexes.
Alors le nombre de points utilisé par ces k segments est k + b.
Et le nombre de segments de longueur i possible restant est :
2n - k - 2b
(et oui car contrairement au diamètre, pour chaque points il y a 2 segment possible de longueur i, donc parmi les 2n il faut enlever les k morceaux, mais aussi les segments qu'il y aurait pu y avoir aux extrémités des composantes connexes, c'est-à-dire 2b)

Mais il y a n - (k+b) points qui occupent l'extrémité d'un de ces segments. chacun de ces n - k - b points pénalise deux segments de longueur i, donc le nombre de segment de longueur i dans l'autre "moitié" est :
2n - k - 2 b - 2(n - k - b) = k

Donc dans chaque "moitié" il y a autant de segments de chaque longueurs. CQFD.


Il y a sûrement plus simple.

 #18 - 05-02-2014 10:28:40

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Gâteau 6

Soit 2n le nombre de points sur le périmètre de la crêpe. Il y a n points rouge et n points bleus.

Intéressons nous aux diagonales. Il y en a n.
Comptons le nombre de diagonales rouge-rouge : il y en a rr. Elles impliquent 2 rr points rouge, il reste donc n - 2 rr points rouge avec un point bleu en face, soit rb = n - 2 rr diagonales rouge-bleu.
Le nombre de diagonales bleu-bleu est bb = n - rr - rb = rr.

Il y a donc autant diagonales chocolatées si on relie les points bleus ou les points rouges.

Intéressons nous maintenant à toutes les cordes reliant 2 points espacés de p unités (p varie de 1 à n-1).
Il y a 2n cordes (chacun des 2n points participe à 2 cordes distinctes qui ont 2 extrémités).
On compte le nombre de cordes rouge-rouge : rr. Il reste 2n - 2 rr cordes formées d'un rouge et un bleu, qui impliquent donc 2n - 2 rr. Il reste donc bb = 2n - rr - rb = rr cordes bleu-bleu.

Donc autant de cordes chocolatées si on relie les points bleus ou les points rouges.

Merci pour ce nouveau gâteau même si ...

 #19 - 05-02-2014 17:04:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 96

nodgim a écrit:

... Il est clair également que tous les pts rouges ou bleus ont chacun la même longueur totale coloriée...

Vasimolo

 #20 - 05-02-2014 18:49:18

Franky1103
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Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gâteau 669

Je tente une pseudo-démonstration.
J'ai 2N points répartis uniformément autour du cercle (dont N bleus et N rouges). Si j'ai deux points consécutifs d'une même couleur, comme il me restera N points de l'autre couleur (sur 2N-2 points en tout), alors j'aurai aussi forcément deux points consécutifs de l'autre couleur. Idem en ayant plusieurs couples de points consécutifs. Donc j'aurai autant de petits segments (d'ordre 1) dans les deux couleurs.
Je fais un raisonnement similaire en reliant un point sur deux pour démontrer que j'ai autant de segments (d'ordre 2) dans les deux couleurs, puis un point sur trois pour l'ordre 3, etc.
Au final, j'aurai autant de segments (pour chacun des ordres 1 à N-1) dans les deux couleurs.
CQFD. Convaincu ? Pas vraiment ! Moi non plus ! lol

 #21 - 05-02-2014 19:01:56

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtea u69

@Franky : c'est pas loin , il faut fouiller un peu .
@Dylasse : je t'avais oublié , c'est bon smile

Vasimolo

 #22 - 05-02-2014 22:36:38

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtea 69

@Nodgim : je sais je suis ch...t , mais je ne suis toujours pas convaincu .  Les fameux raccourcis "il est clair que" ou "il est évident" cachent souvent un maillon manquant .

Il est aussi fort possible que j'ai de la crotte dans les yeux lollollollol

Vasimolo

 #23 - 05-02-2014 23:44:44

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâteauu 69

Ce que j'ai fait c'est dans l'idée, ou y a-t-il un argument plus simple ?


Il y a sûrement plus simple.

 #24 - 06-02-2014 11:09:42

Vasimolo
Le pâtissier
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hâteau 69

Oui c'est bon Cogito ( je t'avais aussi oublié sad )

Vasimolo

 #25 - 06-02-2014 18:27:09

nodgim
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Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

âGteau 69

Ce qui n'est pas compris est mal rédigé...
J'ai changé quelques phrases et supprimé les "il est clair" et "il est évident", car si ça l'est pour moi, c'est pas du tout sûr que ce le soit pour le lecteur, la preuve. Et en plus, ça n'apporte rien à la démo.

N'hésite pas à me dire ce qui n'est pas encore clair.

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