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 #1 - 11-10-2010 09:08:11

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Produits de carés, la suite + INDICES

Après ce problème difficile, un autre plus simple (en comparaison)
Dans le problème sur les produits de carrés, franck9525 nous donne quelques exemples de valeurs qui marchent, entre autres: 1,8,15
Pour rappel, il fallait trouver des valeurs qui vérifient (xy+1)(yz+1)(xz+1) carré.

Cet exemple est particulièrement intéressant: il s'agit d'une progression arithmétique! En effet, 1+7 = 8, 8+7 = 15

Voici d'autres exemples de progressions arithmétiques qui vérifient les conditions de carrés: (4,30,56) de raison 26; (15,112,209) de raison 97, ...
On peut vérifier que (4*30+1)(4*56+1)(30*56+1) = 6765^2
et (15*112+1)(15+209+1)(209*112+1) = 94095^2

Combien de triplets (x,y,z) en progression arithmétique pouvez-vous trouver ?
Bonne chance

Indice: Spoiler : [Afficher le message] La démonstration du problème précédent est très très utile, surtout la petite remarque à la fin
Gros indice: Spoiler : [Afficher le message] Partir sur un cas où s=0
Gros indice 2: Spoiler : [Afficher le message] Une équation de type x²-Dy²=1, à valeur entière, n'est pas très compliquée à résoudre, ça s'appelle une équation de Pell



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 #2 - 11-10-2010 13:49:53

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

produits de careés, la suite + indices

si on pose x=a; y=a+b et z=a+2b
(xy+1)(xz+1)(yz+1)=(a²+ab+1)(a²+2ab+1)(a²+3ab+2b²+1)

il faut que chaque facteur soit un carré
je vais regarder pour tous les couples (a;b) variant de 0 à 50
avec un tableur les couples possibles sont
(1;7) donc x=1 y=8 z=15
(4;26) donc x=4 y=30 z=56
je vais pousser plus les calculs....

 #3 - 14-10-2010 09:31:52

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Produits de carés, la suite + INDICES

Bravo a gabrielduflot pour avoir trouvé quelques valeurs, et aussi pour avoir tenté de dérouler un peu les calculs.

Des triplets comme ça, il y en a une infinité. On va maintenant prouver cette affirmation et, tant qu'on y est, fournir des formules pour les trouver.

Comme indiqué en note dans le problème précédent (petite remarque 2) [latex]s=x+y+z+2xyz-2\sqrt{(1+xy)(1+yz)(1+xz)}[/latex] devrait être nul si notre produit est un carré.
[TeX]x+y+z+2xyz=2\sqrt{(1+xy)(1+yz)(1+xz)}[/TeX]
On passe tout au carré, on simplifie et on trouve:
[TeX]x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2xz+4[/TeX]
On va ensuite poser x=a-r, y=a et z=a+r. On remplace, on simplifie et on a alors:
[TeX]3a^2=4r^2-4[/TeX]
De là, on en déduit que a est forcément pair, et on va poser a = 2a'
[TeX]r^2 -3a'^2 = 1[/TeX]
C'est là que ça se corse un peu. Ce type d'équation n'est pas très dur à résoudre, mais ça fait partie de ce qu'on n'apprend malheureusement pas à l'école... Bref, ça s'appelle une équation de Pell (ou de Pell-Fermat, dans la littérature française). Pour la résoudre avec des valeurs entières, on commence par trouver une paire de valeur qui marche, et on en déduit d'autres. Pour trouver des valeurs qui marchent, il y a plusieurs méthodes. Celle que je préfère est celle des fractions continues.

Petit aparté: toute racine carré peut être approchée via une série de fractions continues.Par exemple
[TeX]\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{...}}}}}, \sqrt{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+...}}}}}}[/TeX]
Pour résoudre une équation de Pell, de la forme x²-D.y²=1, il faut tout d'abord trouver une solution initiale. Pour cela, on écrit le développement en fraction continues de [latex]\sqrt{D}[/latex], notées [latex]\frac{A_i}{B_i}[/latex]. On trouve (en général très vite) une valeur de i pour laquelle [latex]A_i^2-D.B_i^2=1[/latex]
Partant de cette solution notée [latex](x_1, y_1)[/latex], on peut en déduire d'autres: [latex]x_k+y_k\sqrt{D} = (x_1+y_1\sqrt{D})^k[/latex]
Ce qui signifie que dans la décomposition du terme de droite sous forme de binôme de Newton, les termes où la racine est avec une puissance paire sont additionnés pour donner une nouvelle valeur de x, et les autres pour donner une nouvelle valeur de y.
Autrement dit, [latex]x_k-y_k\sqrt{D} = (x_1-y_1\sqrt{D})^k[/latex]
En additionnant/soustrayant les deux, on a
[TeX]
x_k = \frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^k + (x_1-y_1\sqrt{D})^k}{2}\\
y_k = \frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^k - (x_1-y_1\sqrt{D})^k}{2\sqrt{D}}
[/TeX]
On applique tout ça à notre problème: on trouve rapidement que r=2 et a'=1 conviennent, et on trouve donc
[TeX]
r_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k + (2-\sqrt{3})^k}{2}\\
a_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^k}{\sqrt{3}}\\
[/TeX]
On peut aussi présenter ce résultat différemment (en déroulant les binômes de Newton et en retirant les termes qui s'annulent)
[TeX]
a_{2k} = \sum_{j=0}^{k-1}C_{2k}^{2j+1}4^{k-j}3^j \\
r_{2k} = \sum_{j=0}^{k}C_{2k}^{2j}4^{k-j}3^j \\
\\
a_{2k+1} = 2\sum_{j=0}^{k}C_{2k+1}^{2j+1}4^{k-j}3^j \\
r_{2k+1} = 2\sum_{j=0}^{k}C_{2k+1}^{2j}4^{k-j}3^j
[/TeX]
Vérifions nos formules en écrivant quelques termes.
[TeX]a_1 = 2, r_1 = 2, (0.2+1)(0.4+1)(2.4+1) = 9 = 3^2\\
a_2 = 8, r_2 = 7, (1.8+1)(1.15+1)(8.15+1) = 17424 = 132^2\\
a_3 = 30, r_3 = 26, (4.30+1)(4.56+1)(30.56+1) = 45765225 = 6765^2 \\
a_4 = 112, r_4 = 97, (15.112+1)(15.209+1)(112.209+1) = 123403258944 = 351288^2[/TeX]
Voilà.

Pour la littérature:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quat … ell-Fermat
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_c … uadratique

 #4 - 14-10-2010 10:25:20

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

produits de carrés, la quite + indices

Pour aller encore plus loin, je viens de remarquer quelque chose d'intéressant.
Il est clair que pour [latex]a_n[/latex] et [latex]r_n[/latex], on ne trouve aucune formule du type [latex]a_{n+1}=q.a_n[/latex] ou [latex]r_{n+1}=q.r_n[/latex]
Par contre, en résolvant 2x+8y=30 et 8x+30y=112 d'une part, et 2x'+7y'=26 et 7x'+26y'=97 d'autre part, on peut remarquer que pour les premiers termes, les relations [latex]a_{n+1}=4.a_n-a_{n-1}[/latex] et [latex]r_{n+1}=4.r_n-r_{n-1}[/latex] se vérifient.

Du coup, est-ce qu'on peut prouver ça? On part de nos formules détaillées précédemment.
[TeX]
a_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^k}{\sqrt{3}}\\
r_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k + (2-\sqrt{3})^k}{2}\\
[/TeX]
Tout d'abord, on remarque que [latex](2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3}[/latex] et [latex](2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3}[/latex]
Allons-y.
[TeX]
4a_k-a{k-1} = 4\frac{(2+\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^k}{\sqrt{3}} - \frac{(2+\sqrt{3})^{k-1} - (2-\sqrt{3})^{k-1}}{\sqrt{3}}\\
= \frac{4(2+\sqrt{3})^k - (2+\sqrt{3})^{k-1} - (4(2-\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^{k-1})}{\sqrt{3}}\\
= \frac{(2+\sqrt{3})^{k-1} (7 +4\sqrt{3}) - ((2+\sqrt{3})^{k-1} (7 -4\sqrt{3}))}{\sqrt{3}}\\
= \frac{(2+\sqrt{3})^{k+1} - (2-\sqrt{3})^{k+1}}{\sqrt{3}} = a_{k+1}
[/TeX]
et
[TeX]
4 r_k - r_{k-1} = 4\frac{(2+\sqrt{3})^k + (2-\sqrt{3})^k}{2}\\ - \frac{(2+\sqrt{3})^{k-1} + (2-\sqrt{3})^{k-1}}{2}\\
= \frac{4(2+\sqrt{3})^k - (2+\sqrt{3})^{k-1} + 4(2-\sqrt{3})^k-(2-\sqrt{3})^{k-1}}{2}\\
= \frac{(2+\sqrt{3})^{k-1}(7+4\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})^{k-1}(7-4\sqrt{3})}{2}\\
= \frac{(2+\sqrt{3})^{k+1} + (2-\sqrt{3})^{k+1}}{2} = r_{k+1}
[/TeX]
On peut donc répondre au problème de la manière suivante.
Soient les suites A et R telles que
> A0 = 2
> A1 = 8
> An+1 = 4An - An-1
> R0 = 2
> R1 = 7
> Rn+1 = 4Rn - Rn-1
On pose Xn = An-Rn, Yn = An et Zn = An+Rn; on a (Xn.Yn + 1)(Yn.Zn + 1)(Xn.Zn + 1) carré

 #5 - 14-10-2010 14:52:25

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Porduits de carrés, la suite + INDICES

Salut scarta,

Merci pour cette démonstration. J'ai pris plaisir à la lire, faute d'avoir pu prendre le temps de chercher.

Je pense qu'il y a une coquille au début de ton second post de réponse:
Tu écris:
[TeX]a_{n+1}=4.a_n-a_{n+1}[/TeX]
Mais tu démontres:
[TeX]a_{n+1}=4.a_n-a_{n-1}[/TeX]
Idem pour les [latex]r_n[/latex]

J'ai vraiment lu smile
PS: Vraiment dommage qu'on ne puisse pas copier/coller une expression LaTeX...

 #6 - 14-10-2010 15:18:10

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Produits de carrés, lla suite + INDICES

Merci pou la coquille, c'est corrigé (et ça fait plaisir d'être lu aussi attentivement smile )

 #7 - 14-10-2010 15:20:54

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

PProduits de carrés, la suite + INDICES

rivas a écrit:

PS: Vraiment dommage qu'on ne puisse pas copier/coller une expression LaTeX...

Cite le message avec le latex et tu récupères le source dans ta fenêtre d'édition ;-)

 #8 - 14-10-2010 15:24:57

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Produits de carrés, la suit e+ INDICES

scarta a écrit:

Merci pou la coquille, c'est corrigé (et ça fait plaisir d'être lu aussi attentivement smile )

De rien. smile

 #9 - 14-10-2010 15:26:02

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Prduits de carrés, la suite + INDICES

Nicouj a écrit:

rivas a écrit:

PS: Vraiment dommage qu'on ne puisse pas copier/coller une expression LaTeX...

Cite le message avec le latex et tu récupères le source dans ta fenêtre d'édition ;-)

MERCI. MERCI. MERCI. smile

 

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