Enigmes

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 #1 - 12-10-2012 22:28:23

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

De schaussettes et des tiroirs

J'ai 100 paires de chaussettes noires indifférentiables que je décide de ranger dans ma commode. Les chaussettes sont pliées en boule par paire et ces paires ne seront pas défaites.

Ma commode possède 5 tiroirs.

Vous me voyez tous venir...

De combien de façons puis-je ranger mes 100 paires de chaussettes dans les 5 tiroirs de ma commode ?



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 #2 - 12-10-2012 22:57:42

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

des chaussettes et des tirpirs

Peu importe, à la fin il y aura une chaussette seule.lol

 #3 - 12-10-2012 23:29:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

des chaussettes et deq tiroirs

Si les paires sont indifférentiables, on ne considèrera pour leur répartition que le nombre de paires de chaussettes dans chaque tiroir.

De plus, on peut considérer qu'il y a un ordre dans lesdits tiroirs, vu qu'ils sont à des endroits différents (généralement, les uns par-dessus les autres, mais je n'ai jamais visité ton chez-toi).

Allons-y petit à petit.

- [latex]n_1[/latex] paires de chaussettes dans deux tiroirs : on en met [latex]k[/latex] dans le premier, [latex]n_1-k[/latex] dans l'autre, ça fait [latex]n_1+1[/latex] possibilités.

- [latex]n_2[/latex] paires de chaussettes dans trois tiroirs : on en met [latex]n_2 - k[/latex] dans le premier, [latex]k[/latex] réparties dans les deux autres avec, à chaque fois, [latex]k + 1[/latex] façons. Total :
[TeX]\sum_{k=0}^{n_2} \left( k + 1 \right) = \sum_{k=1}^{n_2 + 1} k  = \frac{(n_2 + 1) (n_2 +2)}{2}[/TeX]
- [latex]n_3[/latex] paires de chaussettes dans quatre tiroirs : on en met [latex]n_3 - k[/latex] dans le premier,  [latex]k[/latex] réparties dans les trois autres avec, à chaque fois, [latex]\frac{(k + 1) (k +2)}{2}[/latex] façons. Total :
[TeX]\sum_{k=0}^{n_3} \frac{(k + 1) (k +2)}{2}[/TeX]
Je passe le long développement sur papier...
[TeX]= \frac{1}{6} (n_3 + 1) (n_3 + 2) (n_3 + 3)[/TeX]
Tout ça pue la récurrence, ce qui me fait me dire :
- que quelque chose de plus simple m'échappe sans doute, et
- que la formule pour [latex]n_4[/latex] paires dans 5 tiroirs risque d'être [latex]\frac{1}{24} (n_3 + 1) (n_3 + 2) (n_3 + 3) (n_3 + 4)[/latex]. Ca donnerait, avec [latex]n_4 = 100[/latex], 4598126 façons, ce qui est validé par la case réponse. J'approche.

J'ai fait le calcul pour le délire, avec la même stratégie, et je retombe bien sur la formule générale ci-dessus. On peut sans doute encore généraliser, peut-être plus simplement que je ne l'ai fait...

M'en fous, j'ai trouvé big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 12-10-2012 23:38:59

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

drs chaussettes et des tiroirs

racine a écrit:

Peu importe, à la fin il y aura une chaussette seule.lol

Ha ha racine ! big_smile

L'énigme des chaussettes qui disparaissent. Ca c'est une putain d'énigme !

Au passage, s'il y en a un qui a une idée de réponse, je prends !

Mathias ça m'a l'air bon pour l'instant.

 #5 - 13-10-2012 13:10:23

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

des chaussetted et des tiroirs

Nah, en fait j'avais fait des erreurs. J'ai repris au calme, sur papier, et avec une petite simplification. Maintenant, c'est bon.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 13-10-2012 14:32:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

des chaussettes rt des tiroirs

Bravo à Mathias qui a trouvé la bonne réponse au blair ! Ça c'est du métier ! lol

Comme tu le pressens, il y a une façon simple de voir le problème qui donne immédiatement la réponse.

Maintenant que tu as la formule, tu n'es plus loin de trouver le raisonnement.

 #7 - 13-10-2012 15:10:37

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

des chaussettrs et des tiroirs

Je dirais (5-1) parmi (100+5-1) = 4 598 126

  Je m'explique : Je prends un problème équivalent en rajoutant 5 chaussettes (pour le calcul lol) avec la règle qu'il est obligé d'y avoir au moins une chaussette par tiroir.
(pour retrouver les distributions du problème initiale, il suffit de retirer une chaussette à chacun des tiroirs).

Axiome 1: les tiroirs sont les uns aux dessus des autres (c'est très important big_smile)

  Maintenant à une distribution de chaussette, je fais correspondre aux quatre tiroirs du bas le nombre de chaussettes dans les tiroirs du dessus, j'obtiens ainsi 4 nombres distincts (grâce à la règle d'une chaussette minimum) compris entre 1 et 104 (104 est atteint pour le tiroir du bas s'il n'y a qu'une seule chaussette dedans).

  Inversement il est facile à partir de 4 nombres distincts entre 1 et 104 de retrouver une distribution de chaussette.
exemple (1,2,3,4) : une chaussette dans les 4 tiroirs supérieurs, 101 dans le tiroir du bas.

Conclusion : il y a une bijection entre les distributions de chaussette et les ensembles de 4 nombres pris parmi 104.

 #8 - 13-10-2012 16:35:03

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

des chaussettes et ded tiroirs

Bien vu Mathieu, c'est un bon raisonnement. Il y a juste une petite erreur de comptage à un endroit.

 #9 - 13-10-2012 18:52:17

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

fes chaussettes et des tiroirs

C'est corrigé smile

 #10 - 13-10-2012 20:47:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3468

des chaussetted et des tiroirs

Je dirais C(4,104) soit 4 598 126.
C'est comme si on avait un nombre de 100 chiffres écrit en base 5 (de 1 à 5) chaque chiffre représentant une paire de chaussettes, la valeur étant le tiroir où elle se trouve.
Mais, attention, les chaussettes ne sont pas identifiées. Les nombres qui comportent à la fois le même nombre de 1, de 2, de 3 de 4 de 5 comptent pour une seule combi.
Pour dénombrer, on peut partir de 1111......11111 et incrémenter le dernier 1, puis l'avant dernier, puis l'avant avant dernier,...en faisant en sorte que les chiffres qui se suivent soient identiques ou croissants (1111...1112223334445 par exemple).
Pour le dernier chiffre qui varie: 5
Pour les 2 derniers: 15
Puis 35, 70, 126....
Le décompte se fait comme dans le triangle de Pascal, la 5ème colonne.

 #11 - 14-10-2012 10:50:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,795E+3

Des chaussettes et des tiorirs

Je me plante peut-être , mais je pense qu'on peut représenter les 100 paires par une chaine de 100 zéros.

00000000000000000000000000000....0000000000000000000000000000000

Puis mettre des 1 qui représentent la répartition des paires dans les tiroirs. Il y a donc un 1 à la fin car on range les 100 paires et quatres autres à répartir comme bon nous semble.

Par exemple , Pas de chaussette dans le premier tiroir, une paire dans le second, aucune dans le troisième , 5 dans le quatrième et 94 dans le dernier pourrait être représenté comme ça :

101100000100000000000000000000000....0000000000000000000000000000001

Cela revient à distinguer sans ordre 4 éléments parmi 104 et je crois que c'est la définition d'une combinaison (mais là, je ne suis pas sûr)

Cela ferait C (4,104) = 104! / (4! 100!) = 4 598 126 possibilités.

 #12 - 14-10-2012 11:50:07

mimie2608
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Des chaussettes et des trioirs

bonjour je n'arrive pas avec les chaussette quelqu'un peut m'aider

 #13 - 14-10-2012 15:36:18

JulesV
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 52

des chausqettes et des tiroirs

Mon raisonnement est, je le crains, un peu alambiqué, mais je trouve bien :
[TeX]\sum_{n=1}^5 \binom{99}{n-1} *\binom {5}{n} = 4598126[/latex] hmm

  En gros, 100 c'est 1 + 1 + 1... 100 fois. J'ai donc entre chaque 1, 99 espaces où je peux mettre un + ou rien.
Si on a rien, on peut prendre la somme des 1 qui se suivent et les transformer directement en nombre (111 + 11 + 1111 -> 3+2+4).

Je connais donc le nombre de façons de faire 100, de façon ordonnée avec n termes, c'est [latex]\binom{99}{n-1}[/latex]. (On a 99 espaces et n termes sont crées avec n-1 signes interchangeables).

C'est à dire que j'ai, par exemple, [latex]\binom{99}{4}[/latex] façons de remplir la commode en remplissant tous les tiroirs.

Mais une difficulté s'ajoute, quand on considère qu'il faut aussi prendre en compte les tiroirs vides. Il faut alors multiplier le nombre de façons de ranger n tiroirs et le nombre de lot distincts de n tiroirs. Pour 4 tiroirs remplis, j'ai [latex]\binom{99}{3}*\binom{5}{4}[/TeX]
Je généralise pour toutes les situations avec la formule. Je suis sûr qu'il doit exister plus simple...

 #14 - 14-10-2012 19:19:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

des chaussettes et des tiroors

Bravo à Mathieu, nodgim, gwen27 et JulesV !

Ce qui est marrant, c'est que chacun y arrive d'une façon différente !

 #15 - 16-10-2012 11:44:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,795E+3

Des chaussettes et de tiroirs

Sympa cette énigme, j'aime beaucoup les problèmes que l'on peut "vulgariser" par une astuce mais qui laissent aussi la possibilité à des Mathias de sortir des formules auxquelles je ne comprends presque rien et de calculer la bonne réponse.

w9Lyl6n j'ai presque tout compris ! Tu va finir par me réconcilier avec les maths lol

 #16 - 16-10-2012 15:17:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

es chaussettes et des tiroirs

OK, Mathieu m'a troué le c*l en trouvant la formule que je cherchais en vain à démontrer. J'avais la formule générale, mais pas la simplicité du raisonnement smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 16-10-2012 15:52:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

des chausqettes et des tiroirs

Le raisonnement de Gwen est sympa aussi :

Il y a 100 "0" et 4 "1" à placer.
Cela revient à choisir l'emplacement des 4 "1" parmi les 104 chiffres.

 #18 - 16-10-2012 16:28:26

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Des chaussettes et des tirooirs

En effet !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 16-10-2012 18:45:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3468

Des chaussettes et es tiroirs

Ah oui, moi aussi, la démarche de Gwen, je la trouve, comment dire, très chou(ss)ette !

 #20 - 16-10-2012 20:30:56

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2866
Lieu: Luxembourg

Des chausssettes et des tiroirs

Si F(n) représente le nombre de façons de ranger n paires de chaussettes dans 5 tiroirs, j'étais arrivé à montrer que: F(n) - F(n-1) = (n+1).(n+2).(n+3) / 6, qui est
le nombre tétraédrique (ou nombre pyramidal triangulaire).
Puis, partant de là, je montrais que: F(n) = (n+1).(n+1).(n+2).(n+4) / 24, ce qu'a trouvé Matthias.
De toute façon, je suis hors délai et ma solution est loin d'avoir l'élégance de celle
de Gwen (bravo, c'est top) ou de Nodgim (qui passe par la base 5).

 #21 - 17-10-2012 00:23:22

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Des chaussettes et des tirirs

La solution de Gwen a ceci de remarquable que c'est facile de généraliser le problème à  [latex]p[/latex] chaussettes dans [latex]n[/latex] tiroirs...
wink


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #22 - 17-10-2012 00:36:51

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Dees chaussettes et des tiroirs

Souvenirs souvenirs: Je me rappelle avoir appris ça en prépa: de combien de façons différentes peut-on faire k tas de billes (éventuellement vides, voila une idée de mathématicien: un tas de billes sans billes) avec n billes. On creusait n-k+1 trous alignés et on plaçait les billes dans les trous. Il restait k-1 trous vides qui marquait la séparation des tas (tas de 0 autorisés). Réciproquement, il suffisait de choisir la position des k-1 trous vides pour former les k tas de n billes d'où [latex]\binom{n+k-1}{k-1}[/latex]. Si on n'autorise pas les tas vides, il suffit d'enlever k billes, de faire le même problème et de rajouter une bille à chaque tas à la fin. Dans ce cas il y a [latex]\binom{n-1}{k-1}[/latex] façons de le faire.

 #23 - 17-10-2012 16:29:33

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

eDs chaussettes et des tiroirs

Klimrod a écrit:

La solution de Gwen a ceci de remarquable que c'est facile de généraliser le problème à  [latex]p[/latex] chaussettes dans [latex]n[/latex] tiroirs...

Je signale que pour une fonction [latex]C^p[/latex] de [latex]n[/latex] variables, cela correspond au nombre de dérivées partielles [latex]p^{èmes}[/latex].

 

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