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 #1 - 12-06-2011 17:10:15

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Enigme ultra classique : la factoriell e!!

On note [latex]n! = n\times(n-1) \times (n-2) \times \cdot \cdot \cdot \times 2 \times 1[/latex]

Par exemple : [latex]7! = 7\times\6\times5\times4\times3\times2\times1=5040[/latex]
Dans la décomposition décimale, en partant des unités, ce nombre commence par un 0, et le premier chiffre non nul est 4.

Voici les deux questions : en partant des unités, quel est le premier chiffre non nul de [latex]100![/latex]. Ce chiffre arrive après combien de 0 ?



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 #2 - 12-06-2011 17:25:36

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1476

Enigme utlra classique : la factorielle !!

La réponse est 24 (20 multiples de 5 + 4 multiples de 25)

 #3 - 12-06-2011 17:35:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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enigme ultra classique : la factirielle !!

les 0 en unité ou dizaine (pour 100) amènent 21 fois 0

Le 22ème chiffre est 8 ( en essayant de tricher avec tableur)

ou bien 9! ^10 pour le dernier chiffre non nul : 9! = 362880
8^10 = 1073741824 bah là, je tombe sur 4 .

OUPS 22 "0" car 25 apporte 2 "5" Merci ksavier... Mais je reste sur le 4 en 23ème chiffre. Zut, est-ce que j'ai compté les deux  0 de 100  ? Je ne sais plus ...

 #4 - 12-06-2011 18:52:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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enigme ultra classique : la factorielke !!

Je suis sûr d'avoir déjà vu cette énigme quelque part, en effet. J'ai en tout cas déjà utilisé le modus operandi de la première partie de cette réponse pour une question similaire.



Parmi les cent nombres que l'on multiplie entre eux pour créer [latex]100![/latex], il y a 50 nombres pairs, dont 25 multiples de 4, dont 12 multiples de 8, dont 6 multiples de 16, dont 3 multiples de 32, dont 64. Donc :

[latex]100 ! = 2^{97} \times P_{2}[/latex] où [latex]P_2[/latex] est un entier impair (premier avec 2).

De la même façon, il y a 20 multiples de 5, dont 4 multiples de 25, donc :

[latex]100 ! = 2^{97} \times 5^{24} \times P_{2,5}[/latex] où [latex]P_{2,5}[/latex] est un entier premier avec 2 et avec 5.

L'écriture décimale de [latex]100![/latex] se termine donc par 24 zéros.



Pour le premier non nul, je tente une autre approche : le premier chiffre non nul de [latex]10![/latex] est un 8, et il va de soi que [latex]11 \times 12 \times \dots \times 19 \times 20[/latex] aura le même, tout comme le produit des nombres [latex]10k+1, 10k+2, \dots, 10k+10[/latex] quel que soit [latex]k[/latex].

Ainsi, le premier chiffre non nul de [latex]100![/latex] est le même que le chiffre des unités de [latex]8^{10}[/latex], soit le chiffre 4 (on l'obtient en observant que [latex]8^{10} = 2^{30}[/latex] et que le chiffre des unités de [latex]2^n[/latex] suit un cycle de période 4 : 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6...)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 12-06-2011 23:20:11

franck9525
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Messages : 1931
Lieu: UK

enigme ultra claqsique : la factorielle !!

Le nombre de zéros est obtenu par les restes des divisions successives de 100 par 5
  100/5=20
+ 20/5 = 4
  total = 24 zeros

le chiffre non nul de 100! est le même que (9!)^10 soit 8^10 ou 2^30=...4

donc un "4" puis 24 "0" terminent le nombre 100!


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 13-06-2011 09:08:50

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 489
Lieu: Ardèche

Enigme ultra classique : la fcatorielle !!

chiffre 4 suivi de 24 zéros

9332621544394415268169923885626670049071
5968264381621468592963895217599993229915
6089414639761565182862536979208272237582
51185210916864000000000000000000000000

Où est l'énigme ?

 #7 - 13-06-2011 19:56:14

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 166

Enigme ltra classique : la factorielle !!

Bravo, pour toutes les bonnes réponses. Je n'avais aucun doute sur la qualités des réponses que j'allais trouver.
Aussi, je ne rajouterai rien.

 #8 - 13-06-2011 20:01:43

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

znigme ultra classique : la factorielle !!

halloduda a écrit:

Où est l'énigme ?

Il faut préciser "sans calculatrice" pour que tu comprennes ? wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 13-06-2011 20:23:39

scarta
Elite de Prise2Tete
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enigme ultra classique : ka factorielle !!

MthS-MlndN a écrit:

le premier chiffre non nul de [latex]10![/latex] est un 8, et il va de soi que [latex]11 \times 12 \times \dots \times 19 \times 20[/latex] aura le même, tout comme le produit des nombres [latex]10k+1, 10k+2, \dots, 10k+10[/latex] quel que soit [latex]k[/latex]

Mathias, je me permet de remonter ce post-ci: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=5987

Méfions nous des évidences qui n'en sont pas
On y avait déjà débattu de la difficulté de trouver le dernier chiffre non nul de 100!
21x22x23x24x25x26x27x28x29x30 finit en effet par 2 et tout un tas de zéros, ce qui contredit ton affirmation

(En même temps, le dernier chiffre non nul est bien 4; mais bon sil on élimine 0 et les chiffres impairs, ça fait 25% de chances de tomber juste quand même)

 

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