Un gâteau en forme de disque, par exemple, avec des trous pour échapper au maillage ?

Ah tout de même, je m'en doutais bien, mais je n'ai pas la preuve....

Si le gâteau occupe 5 cases consécutives, c'est la bonne surface mais le périmètre est trop long.
Si le gâteau occupe 4 cases consécutives, c'est le bon périmètre mais pas la bonne surface.
Si le gâteau occupe 1 case, et qu'on prolonge chaque face par une amorce de disque (gâteau en forme de trèfle à 4 feuilles) ça ne va pas non plus.

Si le gâteau occupe 2 ou 3 cases consécutives et qu'on complète la surface manquante par des amorces de disque sur chaque face, ça ne marche pas non plus.

Je n'ai pas même regardé du coté de l' Ellipse, le rapport longueur / largeur est intuitivement bien trop fort.

J'en suis là et je ne vois pas d'autres formes qui seraient meilleures pour le  rapport surface/périmètre.

Désolé, je ne pense à rien de mieux qu'une sorte de fleur à 4 pétales.
Mais le rapport aire / surface doit valoir 5 cm et le mieux que j'obtienne avoisine 257/62,8 ~ 4,1...

La solution consiste peut-être à déplacer le centre de notre gâteau non pas au centre d'un carré de paillasse, mais au centre d'un côté. On obtiendrait alors quelque chose ressemblant un peu à une paire de...rognons bien écrasés !
Si on part d'un disque de 9 cm de rayon environ et qu'on l'aplatit de façon à ce que ses bords frôlent les points de la paillasse, et qu'on puisse ajouter le complément de gâteau pour la partie symétrique (symétrie par rapport au côté du carré), on obtient une surface de 500 cm2, pour un périmètre qui pourrait avoisiner 100 cm, ce que je ne sais absolument pas démontrer ! Et ce n'est qu'une hypothèse !

Le rapport est peut être meilleur mais ce trèfle dépasse 500 cm². Ceci explique sans doute cela.

Voilà les rognons dont tu parlais

Je suis assez paresseux et comme toi je n'ai pas vraiment envie d'attaquer les calculs du rapport Aire/Périmètre ( qui semble à vu d’œil supérieur à celui du trèfle ) . Si on revient au trèfle , il faut faire attention que dans une homothétie quand le périmètre est divisé par k , l'aire est divisée par k² . Mais on peut tout à fait réduire la figure selon un seul axe en conservant le rapport A/P . Quand l'aire atteint 500 cm² , il suffit de déformer légèrement la frontière en gardant une aire constante pour satisfaire le pâtissier .

Vasimolo

Je ne suis pas convaincu par l'explication de Vasimoolo... Pourrais-tu joindre un schéma?

En partant du trèfle en #7, et en appliquant l'idée de Vasimolo (homothétie ayant pour centre le centre de la maille centrale et de rapport k), on obtient ceci :

k=0.86307   Aire=500.0000 cm2   Périm=115.0357 cm
k=0.75026   Aire=377.8373 cm2   Périm=100.0000 cm

Pour info, la transformation ne modifiant les dimensions que dans une seule direction est une affinité.

Qu'est-ce qu'on cherche de plus

Contrairement à ce que tu affirmes absolument rien n'a été montré jusqu'à présent . Personnellement je n'ai pas tous les éléments de réponse . Je sais prouver que si le gâteau est convexe alors A/P <5 . Cette inégalité est assez surprenante car elle n'est pas homogène dans les unités et c'est bien sûr le quadrillage qui en est responsable . Le quadrillage ne peut gêner que pour des figures assez grandes on peut donc penser que si on a trouvé une figure dont l'aire est supérieure à 500 cm² avec un rapport A/P supérieur à 5 , on doit pouvoir faire aussi bien avec une aire plus petite .

Pour résumer , beaucoup de questions restent ouvertes

Vasimolo

Vasimolo #17 a écrit:

Tu as fait tes calculs avec l'affinité ou l'homothétie ?

Avec l'homothétie, comme je l'ai indiqué.

Donc le calcul avec l'affinité reste à faire

L'axe invariant ne peut pas être une médiatrice de la maille centrale, car 4 points rouges se retrouveraient dans le gâteau.
En prenant une diagonale de la maille centrale comme axe invariant, sauf erreur de ma part, on a ceci :

k=0.74489   A=500.0000 cm2   P=116.9075 cm
k=0.44725   A=300.2109 cm2   P=100.0000 cm

Le calcul du périmètre est beaucoup plus délicat (longueur d'arcs d'ellipse). Je me suis inspiré de ceci : http://serge.mehl.free.fr/anx/long_ellipse.html

il faut faire attention que dans une homothétie quand le périmètre est divisé par k , l'aire est divisée par k² . Mais on peut tout à fait réduire la figure selon un seul axe en conservant le rapport A/P . Quand l'aire atteint 500 cm² , il suffit de déformer légèrement la frontière en gardant une aire constante pour satisfaire le pâtissier .

Vasimolo

Sauf que l'affinité (écrasement selon un seul axe) ne conserve pas forcément (certainement même rarement) le rapport A/P : il vaut 2,5 cm pour un carré de 10 cm de côté mais 1,666... pour un rectangle de 10 par 5 !

La nuit porte conseil

Il y a une solution au problème et c'est le ballon de Nodgim qui m'a mis la puce à l'oreille . Je ne donne pas la solution mais je vous propose d'imaginer la forme que prendrait une boucle de 1 m de longueur si on l'ouvrait au maximum dans notre réseau pointé .

Vasimolo