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 #1 - 02-08-2015 19:22:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâtzau 103

Mon pâtissier a toujours des problèmes avec sa table de travail smile

Il veut confectionner un gâteau d’un litre , d’un mètre de périmètre et de 2 cm d’épaisseur . Il aimerait bien poser son chef d’œuvre sur sa fameuse paillasse d’un dm de maille de façon à ce qu’il ne soit en contact avec aucun des nœuds .

Du coup , il ne sait plus quelle forme il doit donner à son œuvre yikes.

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau103.png

Un coup de main ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 03-08-2015 08:12:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Gâtteau 103

Un gâteau en forme de disque, par exemple, avec des trous pour échapper au maillage ?

 #3 - 03-08-2015 09:51:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteua 103

Bien sûr Nodgim avec des trous c'est trop facile smile

Disons que la base du gâteau est d'un seul tenant et sans trou ( simplement connexe pour les matheux ) .

Vasimolo

 #4 - 04-08-2015 18:03:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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gâtrau 103

Ah tout de même, je m'en doutais bien, mais je n'ai pas la preuve....

Si le gâteau occupe 5 cases consécutives, c'est la bonne surface mais le périmètre est trop long.
Si le gâteau occupe 4 cases consécutives, c'est le bon périmètre mais pas la bonne surface.
Si le gâteau occupe 1 case, et qu'on prolonge chaque face par une amorce de disque (gâteau en forme de trèfle à 4 feuilles) ça ne va pas non plus.

Si le gâteau occupe 2 ou 3 cases consécutives et qu'on complète la surface manquante par des amorces de disque sur chaque face, ça ne marche pas non plus.

Je n'ai pas même regardé du coté de l' Ellipse, le rapport longueur / largeur est intuitivement bien trop fort.

J'en suis là et je ne vois pas d'autres formes qui seraient meilleures pour le  rapport surface/périmètre.

 #5 - 04-08-2015 22:38:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 103

Le meilleur rapport périmètre/aire est réalisé par les disques , c'est l'inégalité isopérimétrique qui a son rôle à jouer dans l'histoire smile

Vasimolo

 #6 - 04-08-2015 23:07:18

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Gâteau 1003

Désolé, je ne pense à rien de mieux qu'une sorte de fleur à 4 pétales.
Mais le rapport aire / surface doit valoir 5 cm et le mieux que j'obtienne avoisine 257/62,8 ~ 4,1...

La solution consiste peut-être à déplacer le centre de notre gâteau non pas au centre d'un carré de paillasse, mais au centre d'un côté. On obtiendrait alors quelque chose ressemblant un peu à une paire de...rognons bien écrasés !
Si on part d'un disque de 9 cm de rayon environ et qu'on l'aplatit de façon à ce que ses bords frôlent les points de la paillasse, et qu'on puisse ajouter le complément de gâteau pour la partie symétrique (symétrie par rapport au côté du carré), on obtient une surface de 500 cm2, pour un périmètre qui pourrait avoisiner 100 cm, ce que je ne sais absolument pas démontrer ! Et ce n'est qu'une hypothèse !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #7 - 07-08-2015 01:08:26

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteeau 103

Le trèfle de Fix ( le rapport est meilleur que ce qu'il annonce ) .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-trefle.png

Mais on n'a toujours pas de solution smile

Vasimolo

 #8 - 07-08-2015 08:43:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 10

Le rapport est peut être meilleur mais ce trèfle dépasse 500 cm². Ceci explique sans doute cela.

 #9 - 07-08-2015 19:55:37

fix33
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Gâteau 130

Je pense que le rapport reste mauvais (inférieur à 5), sinon il suffirait de réduire le trèfle (homothétie) et/ou de le déformer pour diminuer son rapport.

Voilà ce à quoi je pensais. Mais rien que le calcul du rapport pour une ellipse est très pénible (voyez la formule du périmètre d'une ellipse !)... Alors avec des ellipses tronquées ! mad roll mad

http://www.prise2tete.fr/upload/fix33-temp.jpg


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #10 - 07-08-2015 23:04:07

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtrau 103

Voilà les rognons dont tu parlais lollollol

Je suis assez paresseux et comme toi je n'ai pas vraiment envie d'attaquer les calculs du rapport Aire/Périmètre ( qui semble à vu d’œil supérieur à celui du trèfle ) . Si on revient au trèfle , il faut faire attention que dans une homothétie quand le périmètre est divisé par k , l'aire est divisée par k² . Mais on peut tout à fait réduire la figure selon un seul axe en conservant le rapport A/P . Quand l'aire atteint 500 cm² , il suffit de déformer légèrement la frontière en gardant une aire constante pour satisfaire le pâtissier .

Vasimolo

 #11 - 08-08-2015 19:15:37

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

Gâteau 10

Bonjour,
En reprenant l'idée du trèfle du message #7, et en plaçant les centres des cercles (qui passent chacun par 2 points rouges de la maille centrale) à une distance d des côtés de la maille centrale (au lieu de 5 cm), j'obtiens ceci :

Code:

d=3.09690 cm   Aire=456.008 cm2   Périm=100.000 cm
d=3.54875 cm   Aire=500.000 cm2   Périm=107.325 cm

Cependant, les deux contraintes ne sont pas vérifiées siultanément.

 #12 - 08-08-2015 21:14:26

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gââteau 103

Je ne suis pas convaincu par l'explication de Vasimoolo... Pourrais-tu joindre un schéma?


Un promath- actif dans un forum actif

 #13 - 08-08-2015 23:36:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâtzau 103

Je ne suis pas non plus convaincu par mon explication lollollollol

Il faudrait faire le calcul mais je n'ai aucun courage en ce moment .

Le périmètre du trèfle est P=30*pi*sqrt(2) et son aire A=200+150*pi . Il faudrait donc pour atteindre les dimensions voulues multiplier le périmètre par 0,752 et l'aire par 0,745 ce qui semble coller car le périmètre deviendrait trop petit par rapport à l'aire et on pourrait corriger en agrandissant le périmètre à aire constante . C'est en fait un peu plus compliqué car dans une réduction d'un rapport k , la variation de l'aire est dans un rapport k² . C'est pour cette raison que je proposais de faire varier le trèfle sur une seule dimension c'est à dire de garder les abscisses inchangées et de multiplier les ordonnées par un coefficient k de façon à amener l'aire à 500 avec un périmètre inférieur à 100 . Cette transformation doit porter un nom mais comme je suis autodidacte en géométrie je n'en connais pas plus .

Pour résumer , je n'ai pas de calcul ni de dessin à fournir pour l'instant . J'ai des certitudes pour certains cas que j'évoquerai plus tard .

Vasimolo

 #14 - 09-08-2015 08:11:50

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

Gâtau 103

En partant du trèfle en #7, et en appliquant l'idée de Vasimolo (homothétie ayant pour centre le centre de la maille centrale et de rapport k), on obtient ceci :

Code:

k=0.86307   Aire=500.0000 cm2   Périm=115.0357 cm
k=0.75026   Aire=377.8373 cm2   Périm=100.0000 cm

Pour info, la transformation ne modifiant les dimensions que dans une seule direction est une affinité.

 #15 - 09-08-2015 08:36:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

gâreau 103

Je ne comprends pas: Vasimolo semblait avoir une solution courte, mais ses derniers messages laissent penser que ce n'est pas tout à fait le cas. Vasimolo, peux tu nous éclairer sur ta position ?

Sinon, une aire max dans un périmètre min, je vois bien ça comme un ballon qu'on gonfle, sauf qu'ici on est en dim 2, mais c'est assez intuitif: ce ballon plat va d'abord recaler son centre dans le carré, puis il va le déborder par les 4 cotés. L'image du trèfle est donc sans doute la plus représentative du max recherché. Ensuite, il a été dit et redit que ça ne marchait pas. Qu'est ce qu'on cherche de plus ?

Autre remarque: pour un disque de diamètre d, le rapport aire/périmètre est d/4, pareil pour un carré de coté c: c/4 !

 #16 - 09-08-2015 11:04:48

Vasimolo
Le pâtissier
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âGteau 103

Qu'est-ce qu'on cherche de plus smile

Contrairement à ce que tu affirmes absolument rien n'a été montré jusqu'à présent . Personnellement je n'ai pas tous les éléments de réponse . Je sais prouver que si le gâteau est convexe alors A/P <5 . Cette inégalité est assez surprenante car elle n'est pas homogène dans les unités et c'est bien sûr le quadrillage qui en est responsable . Le quadrillage ne peut gêner que pour des figures assez grandes on peut donc penser que si on a trouvé une figure dont l'aire est supérieure à 500 cm² avec un rapport A/P supérieur à 5 , on doit pouvoir faire aussi bien avec une aire plus petite .

Pour résumer , beaucoup de questions restent ouvertes smile

Vasimolo

 #17 - 09-08-2015 11:28:10

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtezu 103

enigmatus a écrit:

En partant du trèfle en #7, et en appliquant l'idée de Vasimolo (homothétie ayant pour centre le centre de la maille centrale et de rapport k), on obtient ceci :

Code:

k=0.86307   Aire=500.0000 cm2   Périm=115.0357 cm
k=0.75026   Aire=377.8373 cm2   Périm=100.0000 cm

Pour info, la transformation ne modifiant les dimensions que dans une seule direction est une affinité.

Merci pour l'info sur l'affinité , on apprend à tout âge smile

Tu as fait tes calculs avec l'affinité ou l'homothétie ?

Vasimolo

 #18 - 09-08-2015 12:36:37

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Gâtea u103

Vasimolo #17 a écrit:

Tu as fait tes calculs avec l'affinité ou l'homothétie ?

Avec l'homothétie, comme je l'ai indiqué.

 #19 - 09-08-2015 12:39:03

Vasimolo
Le pâtissier
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Gteau 103

Donc le calcul avec l'affinité reste à faire smile

Vasimolo

 #20 - 09-08-2015 14:58:13

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Gâteaau 103

Donc le calcul avec l'affinité reste à faire

L'axe invariant ne peut pas être une médiatrice de la maille centrale, car 4 points rouges se retrouveraient dans le gâteau.
En prenant une diagonale de la maille centrale comme axe invariant, sauf erreur de ma part, on a ceci :

Code:

k=0.74489   A=500.0000 cm2   P=116.9075 cm
k=0.44725   A=300.2109 cm2   P=100.0000 cm

Le calcul du périmètre est beaucoup plus délicat (longueur d'arcs d'ellipse). Je me suis inspiré de ceci : http://serge.mehl.free.fr/anx/long_ellipse.html

 #21 - 09-08-2015 17:45:03

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 10

Bon , on est vraiment très loin du compte , l'aire diminue trop vite par rapport au  périmètre . 

Vasimolo

 #22 - 09-08-2015 18:24:09

fix33
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Gâtteau 103

il faut faire attention que dans une homothétie quand le périmètre est divisé par k , l'aire est divisée par k² . Mais on peut tout à fait réduire la figure selon un seul axe en conservant le rapport A/P . Quand l'aire atteint 500 cm² , il suffit de déformer légèrement la frontière en gardant une aire constante pour satisfaire le pâtissier .

Vasimolo

Sauf que l'affinité (écrasement selon un seul axe) ne conserve pas forcément (certainement même rarement) le rapport A/P : il vaut 2,5 cm pour un carré de 10 cm de côté mais 1,666... pour un rectangle de 10 par 5 !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #23 - 09-08-2015 18:51:42

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtteau 103

C'est bien pour cette raison que j'avais émis de gros doutes sur l'écrasement selon un axe . A dire vrai je ne suis pas sûr qu'on puisse construire un gâteau réalisant les contraintes du pâtissier mais l'existence du trèfle avec A/P>5 me perturbe un peu .

Si on oublie momentanément l'obligation A=500 cm² , quelqu'un voit-il une autre configuration ( pas une simple variation du trèfle ) où le rapport A/P serait supérieur à 5 ?

Sans doute les rognons de Fix smile

Vasimolo

 #24 - 10-08-2015 09:28:55

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gâteau 013

La nuit porte conseil smile

Il y a une solution au problème et c'est le ballon de Nodgim qui m'a mis la puce à l'oreille . Je ne donne pas la solution mais je vous propose d'imaginer la forme que prendrait une boucle de 1 m de longueur si on l'ouvrait au maximum dans notre réseau pointé .

Vasimolo

 #25 - 10-08-2015 11:09:29

Franky1103
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Gâteau 130

Un trèfle à quatre feuilles dont chaque pétale aurait une longueur de 100 / 4 = 25cm, inférieure à 3 x 10 = 30cm. Chaque pétale ne toucherait donc pas à priori de points extérieurs.

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