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 #1 - 09-02-2008 23:50:33

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

un probleme de chausdettes

Il y a quelques mois j'ai acheté un stock de paires de chaussettes.
J'ai acheté des jaunes, des grises claires, des bleu foncées et des noires.
Quelques jours apres j'ai perdu une chaussette grise et une chaussette noire.
Je me suis apercu alors que j'avais 7 fois plus de chaussettes claires (jaunes ou grises) que de chaussettes foncées (bleues ou noires).
Quelques jours plus tard, j'ai perdu à nouveau 7 chaussettes noires.
Depuis ce jour, je me suis apercu que si le matin, je m'habille dans le noir, je confond alors les jaunes avec les grises, et les bleues avec les noires, et si je prends 2 claires ou 2 foncees au hasard, j'ai exactement 1 chance sur 2 d'avoir une paire homogène aux pieds.
J'ai plus de noires que de bleues, et moins d'un milliard de chaussettes au total.

Combien ai-je de chaussettes (pas de paires) de chaque couleur?
______________________________________________________________
Voici les resultats pour l'instant:
EfCeBa : faux
Scarta : bravo pour le 2eme post!
FRiZMOUT et papiauche: presque (relisez bien l'enoncé)
claude: faux



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 #2 - 10-02-2008 20:19:33

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

Un prolbeme de chaussettes

Edit :Je ne vois pas comment en ayant plus de chaussettes noires que de bleues si j'en tire 2 au hasard j'obtiens une proba de 1/2. Je vais y réfléchir un peu plus smile

* (j+g-1) = 7*(n-1+b)
* j=g-1
* n-8=b
* (manque une équation avec la proba que je ne parviens pas à déduire)

Donc j'obtiens un nombre infini de solutions (X une constante) :
j = (14X-61)/2
g = (14X-63)/2
n = X
b = X - 8

Aucune solution entière... Bref il y a un problème dans mes chaussettes !

 #3 - 10-02-2008 23:51:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1529

un probleme de chaussetteq

Les calculs sont un peu long mais il faut en fait juste remarquer que si tu as une chance sur deux de prendre 2 claires identiques (ou 2 foncées), alors
x(x-1)/2 + y(y-1)/2 = (x+y)(x+y-1)/4, et après c'est un jeu de modulo qui commence.

Tu as acheté:
394716 chaussettes (197358 paires) jaunes
395606 chaussettes (197803 paires) grises, mais après en avoir perdu une, il t'en reste 395605
56280 chaussettes (28140 paires) bleues
56624 chaussettes (28312 paires) noires, mais après envoir perdu une puis sept, il t'en reste 56616

Verif:
Etape 1)
56624 -1 + 56280 = 112903
394716 + 395606 -1 = 790321 = 112903 * 7
Donc sept fois plus de claires que de foncées.

Etape 2)
(56624 -1 -7)(56624 -1 -7 -1)/2 = 1602657420
56280*(56280 -1)/2 = 1583691060
(56624 -1 -7 + 56280)*(56624 -1 -7 + 56280 -1)/4 = 3186348480
Et 3186348480 = 1602657420+1583691060
Donc 1 chance sur 2 pour les chaussettes foncées

394716*(394716-1)/2 = 77900162970
(395606 -1)*(395606 -1-1)/2=78251460210
(394716 + 395606 -1)*(394716 + 395606 -1-1)/4=156151623180
Et 156151623180 = 77900162970 + 78251460210
Donc 1 chance sur 2 pour les chaussettes claires

Avec une paire par jour, c'est cool tu peux faire une lessive tout les 1200 ans avant d'etre en rade de chaussettes propres smile

 #4 - 11-02-2008 13:01:56

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Un pprobleme de chaussettes

Spoiler : [Afficher le message]
Problème corsé!

Réponse:
197 803 paires, soit 395 606 chaussettes jaunes,
197 358 paires, soit 394 716 chaussettes grises,
28 312 paires, soit 56 624 chaussettes noires,
28 140 paires, soit 56 280 chaussettes bleues.

Au total, 451 613 paires, soit 903 226 chaussettes.

Etape 1: 790 321 chaussettes claires = 7* 112 903 chaussettes foncées

Etape 2: 790 321=889*889, 112 896 = 336*336

Pour avoir exactement une chance sur deux au tirage, il faut que la somme soit un carré d'entiers.
Pas d'autre solution sans excéder le milliard de chaussettes.

Démonstration complète un peu longue à rédiger (parités, multiples de (chauds) 7 et donc carrés d'entiers).


Quand le concepteur achète des chaussettes, il ne fait pas semblant!wink


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #5 - 11-02-2008 15:38:58

claude
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 14

Un probleme de cahussettes

0 noire  8 bleues  8jaunes  7grises

 #6 - 12-02-2008 13:49:31

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1529

Un problee de chaussettes

Allez, je m'ennuye donc démo de l'unicité de la solution (même sans la limite d'un milliard de chaussettes).

Etape I
Soient deux ensembles X et Y de cardinaux x et y, on a une chance de 1/2 de prendre deux éléments tous deux de X ou tous de Y parmi (X U Y) ssi
x(x-1)/2 + y(y-1)/2 = (x+y)(x+y-1)/4
=> 2x²-2x+2y²-2y = x²+y²+2xy-x-y
=> x²+y²-2xy = x+y
=> (x-y)² = x+y

On pose x+y = A², on a:
Cas I.1/ x-y = A => x=(A²+A)/2, y=(A²-A)/2
Cas I.2/ x-y = -A => x=(A²-A)/2, y=(A²+A)/2

Etape II/
On considère les 4 variables b, j, g, n représentant les nombres finaux (après pertes diverses) de chaussettes
On sait qu'à la fin, j, b et n sont pairs et g est impair.

On étudie les congruences de A modulo 4
A=0[4] =>
  Dans le cas I.1, x et y sont pairs
  Dans le cas I.2, x et y sont pairs
A=1[4] =>
  Dans le cas I.1, x est impair et y est pair
  Dans le cas I.2, x est pair et y est impair
A=2[4] =>
  Dans le cas I.1, x et y sont impairs
  Dans le cas I.2, x et y sont impairs
A=3[4] =>
  Dans le cas I.1, x est pair et y est impair
  Dans le cas I.2, x est impair et y est pair

Pour j et g, on sait que j est pair et g est impair, on a:
on pose j+g = A1²
II.a/ A1=1[4], j=(A1²-A1)/2 et g=(A1²+A1)/2
II.b/ A1=3[4], j=(A1²+A1)/2 et g=(A1²-A1)/2

Et pour n et b, on sait que n et b sont pairs et que n>b, on a:
on pose n+b = A2², avec A2>0
A2=0[4], n=(A2²+A2)/2 et b=(A2²-A2)/2


Etape III/
On sait d'après l'énoncé que
A1² = j+g = 7*(n+b+7) = 7*(A2²+7) = 7A2² + 49
Donc
> A1²=0[7], donc A1=0[7]
> et A1[1]=2 d'après l'étape II (que ce soit II.a ou II.b)
On pose A1=7(2P1+1)


On a aussi A2=0[4], donc on pose A2=4P2 (comme A2>0, P2>0)
A1² = 7A2²+49
=> 49(2P1+1)² = 112P2²+49
=> 196P1² + 196P1 = 112P2²
=> 7P1² + 7P1 = 4P2²
=> 7P1(P1+1) = (2P2)²
Donc
> Puisque P2>0, P1>0
> 7P1(P1+1) est un carré
=> P1=0[7] ou P1=6[7]
=> Vu que deux nombres consecutifs sont premiers entre eux, ils n'ont aucun facteur commun, et donc il existe U>0 et V>0 tels que:
(deux cas, suivant que P1=0[7] ou P1=6[7])
III.a/ P1=U² et P1+1=7V²
OU
III.b/ P1=7U² et P1+1=V²

Cas III.a
U²+1=7V²
On étudie les possibilités de U modulo 7
U=0[7] => U²+1=1[7]
U=1[7] => U²+1=2[7]
U=2[7] => U²+1=5[7]
U=3[7] => U²+1=3[7]
U=4[7] => U²+1=3[7]
U=5[7] => U²+1=5[7]
U=6[7] => U²+1=2[7]
=> Donc U²+1 n'est jamais un multiple de 7, ce cas est donc impossible

Cas III.b:
7U²+1=V²
=> (V-1)(V+1)=7U²
Trois cas sont a envisager
III.b.1: U=1
7 étant premier, il est impossible que (V-1)(V+1) = 7. Cas impossible
III.b.2: U=2
7*4=28 et 29 n'est pas un carré. Cas impossible
III.b.3: U>2
Dans ce cas, soit V-1, soit V+1 est un multiple de U, mais pas les deux.
Donc soit V-1, soit V+1 est un multiple de U²

(V +/- 1) = kU²
=> kU²(kU² +/- 2) = 7U²
=> k²U² +/- 2k = 7
=> 7 multiple de k, mais 7 est premier donc
=> k=1 ou 7, mais si k=7, alors (7U² +/- 2) = 1, et U² n'est pas entier, donc k=1
=> U²= 7 +/- 2
=> U² = 5 ou 9, mais 5 n'est pas un carré
=> U=3, P1=63, A1=889, A2=336
Dans ce cas on trouve pour les nombres finaux de chaussettes (après pertes)
j=394716, g=395605, n=56616, b=56280

 #7 - 12-02-2008 17:58:03

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2216

Un pobleme de chaussettes

Spoiler : [Afficher le message] Soient :
j le nombre de chaussettes jaunes,
g le nombre de chaussettes gris clair,
b le nombre de chaussettes bleu foncé,
et n le nombre de chaussettes noires.

Hypothèse 1 : Les chaussettes vont par paires donc
j, g, b et n sont pairs.

Hypothèse 2 : Avec une grise et une noire en moins, il y a sept fois plus de claires que de foncées donc
j + g -1 = 7 (b + n -1).

Hypothèse 3 : Pour avoir 1 chance sur 2 d'avoir une paire homogène en choisissant au hasard parmi deux couleurs, il faut (si je ne me trompe pas), que le nombre x d'éléments de couleur 1 et le nombre y d'éléments de couleur 2 soient tels que : (x - y)² = x + y donc
(j - (g -1))² = j + (g - 1) et
(b - (n - 8))² = b + (n - 8).

Hypothèse 4 : n > b et j + g + b + n < 1 000 000 000.

On remarque que les solutions de l'équation (x - y)² = x + y correspondent à deux nombres adjacents dans la suite des nombres triangulaires (0 1 3 6 10 15 21 etc.).

Je ne détaille pas la démarche qui suit car le nombre de tests est bien trop grand, bon courage pour ceux qui souhaitent résoudre cette devinette à la main !

Bref, la seule solution à ce problème selon les différentes hypothèses est :
j = 394716
g = 395606
b = 56280
n = 56624

Vérifications :

1)
j, g, b et n sont bien pairs

2)
j + g -1 = 7 (b + n -1) = 790321

3)
(j - (g -1))² = j + (g - 1) = 790321

(b - (n - 8))² = b + (n - 8) = 112896

4)
56624 > 56280
j + g + b + n = 903 226



Edit :
Spoiler : [Afficher le message] Si tu parles des nombres finaux de chaussettes :
j = 394715
g = 395606
b = 56280
n = 56616
Si c'est pas ça mon erreur, bah je vois pas !

 #8 - 12-02-2008 23:27:33

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Un probleme dee chaussettes

En retrouvant mes chaussettes perdues ! (si je suis m'exprimer ainsi),

Une grise et huit noires de moins que le stock de départ (post précédent), je dis:
395 606 jaunes, 394 715 grises, 56 616 noires et et 56 280 bleues.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #9 - 14-02-2008 16:35:29

papiauche
Sa Sainteté
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Un probleme de caussettes

Just for fun !
entre 394716j et 395605g d'une part, et 395606j et 394715g d'autre part, je ne vois comment choisir dans l'énoncé.
Un nombre pair de jaunes dans les deux cas.
Un nombre impair de grises dans les deux cas.

Ce qui ressemble aux cas II.a et II.b

Prêt à recevoir un deuxième pan sur le bec!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #10 - 14-02-2008 18:17:49

scarta
Elite de Prise2Tete
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un pribleme de chaussettes

papiauche a écrit:

Prêt à recevoir un deuxième pan sur le bec!

J'ai le doigt sur la gachette, mais je ne sais pas sur quoi tirer smile Tu melanges jaune et noir, tu donnes deux fois les mêmes chiffres. Essaye d'etre plus clair (que je puisse presser la detende ^^)

 #11 - 14-02-2008 19:01:42

papiauche
Sa Sainteté
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Un problem de chaussettes

scarta a écrit:

papiauche a écrit:

Prêt à recevoir un deuxième pan sur le bec!

J'ai le doigt sur la gachette, mais je ne sais pas sur quoi tirer smile Tu melanges jaune et noir, tu donnes deux fois les mêmes chiffres. Essaye d'etre plus clair (que je puisse presser la detende ^^)

J'ai modifié un nombre (on s'y perd).
Ce que je veux dire c'est que j'ai l'impression qu'il y a deux solutions qui satisfont à j+g = 790321 sans qu'on puisse choisir entre les deux.


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 #12 - 14-02-2008 19:09:34

dhrm77
L'exilé
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un probleme de chaussertes

papiauche a écrit:

scarta a écrit:

papiauche a écrit:

Prêt à recevoir un deuxième pan sur le bec!

J'ai le doigt sur la gachette, mais je ne sais pas sur quoi tirer smile Tu melanges jaune et noir, tu donnes deux fois les mêmes chiffres. Essaye d'etre plus clair (que je puisse presser la detende ^^)

J'ai modifié un nombre (on s'y perd).
Ce que je veux dire c'est que j'ai l'impression qu'il y a deux solutions qui satisfont à j+n = 790321 sans qu'on puisse choisir entre les deux.

D'abord c'est jaunes+grises qui fait 790321.
Ensuite l'énoncé dit bien que j'ai acheté des PAIRES de chaussettes, et ensuite j'ai perdu une chaussette grise. Donc le nombre de grises est impair, tandis que le nombre de jaunes est pair.


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 #13 - 14-02-2008 19:23:37

papiauche
Sa Sainteté
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Un probleme dde chaussettes

j+g = 790321

394716j et 395605g
ou bien
395606j et 394715g?

Un nombre pair de jaunes dans les deux cas.
Un nombre impair de grises dans les deux cas.


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 #14 - 14-02-2008 23:30:37

scarta
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un probleme de xhaussettes

Pas bon ta solution, on n'a pas 395606*395605/2 + 394715*394714/2 = 790321*790320/4 !

 #15 - 15-02-2008 00:02:13

dhrm77
L'exilé
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Un problleme de chaussettes

papiauche a écrit:

j+g = 790321

394716j et 395605g
ou bien
395606j et 394715g?

Un nombre pair de jaunes dans les deux cas.
Un nombre impair de grises dans les deux cas.

Reponse:
394716j et 395605g donnent une probabilité de 0.5
395606j et 394715g?donnent une probabilité de 0.5000000284979...


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 #16 - 15-02-2008 00:16:13

papiauche
Sa Sainteté
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Un pobleme de chaussettes

Pas convaincu,(au strict respect de l'énoncé).
Je vais dormir neutral


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 #17 - 15-02-2008 09:08:31

scarta
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Un problleme de chaussettes

Ben l'enoncé dit bien qu'en prenant 2 chaussettes claires tu as 1 chance sur 2 d'avoir deux grises ou deux jaunes, autrement dit tu doit avoir
[TeX]\frac{C^2_j}{C^2_{j+g}}+\frac{C^2_g}{C^2_{j+g}}=\frac{1}{2}[/TeX]
Donc
[TeX]\frac{\frac{j!}{2!.(j-2)!}}{\frac{j+g!}{2!.(j+g-2)!}}+\frac{\frac{g!}{2!.(g-2)!}}{\frac{j+g!}{2!.(j+g-2)!}}=\frac{1}{2}
\\
\frac{\frac{j(j-1)}{2!}}{\frac{(j+g)(j+g-1)}{2!}}+\frac{\frac{g(g-1)}{2!}}{\frac{(j+g)(j+g-1)}{2!}}=\frac{1}{2}
\\
\frac{j(j-1)}{(j+g)(j+g-1)}+\frac{g(g-1)}{(j+g)(j+g-1)}=\frac{1}{2}
\\
\frac{j(j-1)+g(g-1)}{(j+g)(j+g-1)}=\frac{1}{2}
\\
2\frac{j(j-1)+g(g-1)}{(j+g)(j+g-1)}=1
[/TeX]
Dans tes 2 propositions: dans un cas tu as 1, et dans l'autre 1,000000005699588527325611371208.
Ta solution serait juste dans un monde de physiciens, mais là on fait des maths smile

 #18 - 15-02-2008 10:18:22

truc-et-much
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 6

un probleme de chzussettes

arrête de prendre la tête avec le nombre et fais comme Spoiler : [Afficher le message] punky brewster 

 #19 - 15-02-2008 14:18:33

dhrm77
L'exilé
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Messages : 3004
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Unn probleme de chaussettes

truc-et-much a écrit:

arrête de prendre la tête avec le nombre et fais comme Spoiler : [Afficher le message] punky brewster 

Je ne sais pas si punky brewster aurait été jusqu'a LIRE cette enigme, mais pour le reste d'entre nous, je voudrais faire remarquer qu'elle a été mise dans la catégorie "Enigmes Mathématiques"...et non pas "enigmes diverses"...


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 #20 - 04-09-2008 22:32:08

moicestmoi
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1617
Lieu: Avec vous :-)

Un probleme de chaaussettes

Bonsoir.
ça y est, je me lance pour la première fois   smile.
J'ai acheté 88 Jaunes + 88 Grises + 8 Bleues + 18 Noires.
Ce qui fait qu'après avoir perdu qq chaussettes, il me reste aujourd'hui
88 jaunes, 87 grises, 8 bleues et 10 noires.
A très bientôt.


L'angle droit bout à 90 degrés.

 #21 - 04-09-2008 23:29:46

dhrm77
L'exilé
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Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

un probleme dz chaussettes

moicestmoi a écrit:

Bonsoir.
ça y est, je me lance pour la première fois   smile.
J'ai acheté 88 Jaunes + 88 Grises + 8 Bleues + 18 Noires.
Ce qui fait qu'après avoir perdu qq chaussettes, il me reste aujourd'hui
88 jaunes, 87 grises, 8 bleues et 10 noires.
A très bientôt.

Faux.
La solution correcte a deja été donnée plus haut...


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