Allez, je m'ennuye donc démo de l'unicité de la solution (même sans la limite d'un milliard de chaussettes).
Etape I
Soient deux ensembles X et Y de cardinaux x et y, on a une chance de 1/2 de prendre deux éléments tous deux de X ou tous de Y parmi (X U Y) ssi
x(x-1)/2 + y(y-1)/2 = (x+y)(x+y-1)/4
=> 2x²-2x+2y²-2y = x²+y²+2xy-x-y
=> x²+y²-2xy = x+y
=> (x-y)² = x+y
On pose x+y = A², on a:
Cas I.1/ x-y = A => x=(A²+A)/2, y=(A²-A)/2
Cas I.2/ x-y = -A => x=(A²-A)/2, y=(A²+A)/2
Etape II/
On considère les 4 variables b, j, g, n représentant les nombres finaux (après pertes diverses) de chaussettes
On sait qu'à la fin, j, b et n sont pairs et g est impair.
On étudie les congruences de A modulo 4
A=0[4] =>
Dans le cas I.1, x et y sont pairs
Dans le cas I.2, x et y sont pairs
A=1[4] =>
Dans le cas I.1, x est impair et y est pair
Dans le cas I.2, x est pair et y est impair
A=2[4] =>
Dans le cas I.1, x et y sont impairs
Dans le cas I.2, x et y sont impairs
A=3[4] =>
Dans le cas I.1, x est pair et y est impair
Dans le cas I.2, x est impair et y est pair
Pour j et g, on sait que j est pair et g est impair, on a:
on pose j+g = A1²
II.a/ A1=1[4], j=(A1²-A1)/2 et g=(A1²+A1)/2
II.b/ A1=3[4], j=(A1²+A1)/2 et g=(A1²-A1)/2
Et pour n et b, on sait que n et b sont pairs et que n>b, on a:
on pose n+b = A2², avec A2>0
A2=0[4], n=(A2²+A2)/2 et b=(A2²-A2)/2
Etape III/
On sait d'après l'énoncé que
A1² = j+g = 7*(n+b+7) = 7*(A2²+7) = 7A2² + 49
Donc
> A1²=0[7], donc A1=0[7]
> et A1[1]=2 d'après l'étape II (que ce soit II.a ou II.b)
On pose A1=7(2P1+1)
On a aussi A2=0[4], donc on pose A2=4P2 (comme A2>0, P2>0)
A1² = 7A2²+49
=> 49(2P1+1)² = 112P2²+49
=> 196P1² + 196P1 = 112P2²
=> 7P1² + 7P1 = 4P2²
=> 7P1(P1+1) = (2P2)²
Donc
> Puisque P2>0, P1>0
> 7P1(P1+1) est un carré
=> P1=0[7] ou P1=6[7]
=> Vu que deux nombres consecutifs sont premiers entre eux, ils n'ont aucun facteur commun, et donc il existe U>0 et V>0 tels que:
(deux cas, suivant que P1=0[7] ou P1=6[7])
III.a/ P1=U² et P1+1=7V²
OU
III.b/ P1=7U² et P1+1=V²
Cas III.a
U²+1=7V²
On étudie les possibilités de U modulo 7
U=0[7] => U²+1=1[7]
U=1[7] => U²+1=2[7]
U=2[7] => U²+1=5[7]
U=3[7] => U²+1=3[7]
U=4[7] => U²+1=3[7]
U=5[7] => U²+1=5[7]
U=6[7] => U²+1=2[7]
=> Donc U²+1 n'est jamais un multiple de 7, ce cas est donc impossible
Cas III.b:
7U²+1=V²
=> (V-1)(V+1)=7U²
Trois cas sont a envisager
III.b.1: U=1
7 étant premier, il est impossible que (V-1)(V+1) = 7. Cas impossible
III.b.2: U=2
7*4=28 et 29 n'est pas un carré. Cas impossible
III.b.3: U>2
Dans ce cas, soit V-1, soit V+1 est un multiple de U, mais pas les deux.
Donc soit V-1, soit V+1 est un multiple de U²
(V +/- 1) = kU²
=> kU²(kU² +/- 2) = 7U²
=> k²U² +/- 2k = 7
=> 7 multiple de k, mais 7 est premier donc
=> k=1 ou 7, mais si k=7, alors (7U² +/- 2) = 1, et U² n'est pas entier, donc k=1
=> U²= 7 +/- 2
=> U² = 5 ou 9, mais 5 n'est pas un carré
=> U=3, P1=63, A1=889, A2=336
Dans ce cas on trouve pour les nombres finaux de chaussettes (après pertes)
j=394716, g=395605, n=56616, b=56280
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