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 #1 - 28-04-2008 16:38:41

minifat
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 902
Lieu: Limoges

A li'soloir

Lors de l'élection présidentielle de l'an 2034 un certains nombre de candidats sont en présence. Chacun d'eux réunit sur son nom exactement la moitié des voix que celui qui le précède. Un second tour sera-t-il nécessaire?
Réponses acceptées que celle ayant une explication.



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#0 Pub

 #2 - 28-04-2008 17:53:32

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2123

a l'isoloor

Je tente la première réponse avec Latex.

Soit n le nombre de candidats et [latex]v_{1}[/latex] le nombre de voix recueilli par le candidat arrivé en tête.
Le nombre total de voix recueilli est :
[TeX]e = v_{1}*\sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{2}) ^{i-1}\ [/latex] soit

[latex]e = Q*v_{1}[/TeX]
On a [latex]Q = \frac{2^{n}-1}{2^{n-1}[/latex]

De là , il ressort que [latex]v_{1}[/latex] est un multiple de [latex]2^{n-1}[/latex]
[TeX]v_{1} = a * 2^{n-1}[/TeX]
Il vient enfin:
[TeX]v_{1} = e* \frac{2^{n-1}}{2^{n}-1}[/TeX]
Le reste des voix vaut [latex]e*\frac{2^{n-1}-1}{2^{n}-1}[/latex]

Il n'y a pas besoin de second tour, pour [latex]a[/latex] voix, il a une majorité absolue.
Ouf!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #3 - 28-04-2008 19:35:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

A l'isolior

Spoiler : [Afficher le message]

A priori, non. En effet, si l'on somme les voix de tous les candidats à partir du deuxième, on obtient (1/2 + 1/4 + etc.) des voix obtenues par le premier, soit la somme des 1/(2^n) pour n allant de 1 au nombre de candidats - 1, et cette somme est toujours strictement inférieure à 1. Le premier candidat a donc recueilli plus de suffrages que tous les autres réunis, soit la majorité absolue des votants.

MAIS si l'on compte les abstentionnistes dans les pourcentages obtenus par chaque candidat (non précisé dans l'énoncé) un deuxième tour reste envisageable...



Enfin, je crois que c'est ça.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 28-04-2008 21:29:49

phoenixx21
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 44
Lieu: Dijon

A l'isloir

Il n'y aura pas d'élection présidentielle en 2034, (2032 oui, 2037 oui, mais pas 2034) à moins que la constitution change.

 #5 - 29-04-2008 01:25:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

A l'isoolir

La réponse est ... non.
Avec les explications: si j'ai le plus haut score, mettons x,j'ai en face de moi un certain nombre de candidat ayant récolté x/2, x/4, x/8, etc... voix chacun.

Pour un nombre infini de participants en face, ça donnerait en mettant x en facteur la série des 1/2^n, qui converge vers 1 comme chacun sait, soit x voix por moi et x contre. Mais comme a priori le nombre de participants est limité (en tout cas en France, il est de 73, qu'on obtient en divisant le nombre de communes par 500, nombre de signatures necessaires pourse présenter), alors la somme des voix de mes adversaires est inférieure à x (et du coup je gagne au 1er tour par la majorité absolue). CQFD

 #6 - 29-04-2008 10:48:51

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

a l'isokoir

Pas besoin d'un second tour car le premier candidat aura toujours plus de la moitié des voix
en effet soit n le nombre de candidat
soit k la série 1+1/2+1/4+...+1/2^n
cette serie converge vers 2
Cette série est une série géométrique et on démontre sa convergence en écrivant pour tout entier naturel n, sa somme partielle au rang n :

[img]C:/Documents and Settings/WindowsXP/Bureau/formule.png[/img]

La suite géométrique  de raison 1/2 est convergente de limite nulle donc
[img]C:/Documents and Settings/WindowsXP/Bureau/formule2.png[/img]

le meilleur candidat aura 1/(somme pour 1 a n-1 de  1/2^i)      >0.5
donc il aura  plus de la moitié des voix etdonc pas de second tour

desole pour l'affichage des formules
(si quelqu un pouvait me dire comment faire pour la prochaine fois merci)


When i was a child i was a jedi

 #7 - 29-04-2008 12:20:48

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2988
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

AA l'isoloir

- avec 2 candidats, on aurait 1/3 et 2/3 de voix.
- avec 3 candidats on a 1/7, 2/7 et 4/7. et 4/7 et superieur a 50%
- avec 4 candidats, on a 1/15, 2/15, 4/15 et 8/15.
- et ainsi de suite
Dans tous les cas, le candidat en tete a plus de 50%....

Cependant, en 2034, si on estime a moins de 67 millions de votants... et si on a 26 candidats ou plus.. il n'est pas possible d'obtenir pour chaque candidat exactement la moitie des voix de celui qui le precede.

Donc si on elimine les cas impossibles, pas besoin de 2nd tour.


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