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 #1 - 16-06-2011 21:16:19

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Calotte sphériqque

http://serge.mehl.free.fr/anx/anx_gif/Vspher2.gif

Connaissant la hauteur h=BA d'une calotte sphérique et la surface du plan de coupe, déterminer le volume de la calotte shérique.

Bon travail.smile



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 #2 - 16-06-2011 21:19:28

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Calottee sphérique

Snif... snif... ça sent l'angle solide par ici non ?


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #3 - 16-06-2011 22:11:51

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Calott sphérique

Ça fait déjà un moment que j'ai appris le calcul intégrale alors pour me la péter je vais y mettre en application. 

Volume d'une calotte sphérique : h = AB est la distance entre son sommet A et le plan de section :
[TeX]\int_0^{R-h} (R^2-z^2)dz = \int_{R-h}^R (R^2-z^2)dz[/TeX]
[TeX] = \pi*\left[R^2z-\frac{z^3}{3} \right][/TeX]
[TeX] = \pi h^2\left( \frac{R-h}{3} \right)[/TeX]
La réponse est donc :[latex]\fbox{\pi |AB|^2\left( \frac{R-|AB|}{3} \right)}[/latex] big_smile

Shadock, en espérant avoir juste lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 16-06-2011 22:20:06

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Calootte sphérique

Shadock on ne connaît pas à priori le rayon de la sphère mais uniquement la hauteur et la surface.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #5 - 16-06-2011 22:43:46

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Caalotte sphérique

Autre méthode :

Alors soit [latex]R[/latex] le rayon de la boule et [latex]r[/latex] celui du cercle dans le plan.

D'après le théorème de Pythagore on a : [latex]R^2=(R-h)^2+r^2[/latex]

Donc si je ne me trompe pas on a : [latex]\fbox{V=\frac{\pi h\left(\frac{h^2}{3}\right)+r^2}{2}}[/latex]

big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 17-06-2011 00:40:00

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Calotte sphériqe

Shadock on ne connaît pas à priori le rayon de la sphère mais uniquement la hauteur et la surface.

Si on connait AB et la surface du disque disons de rayons BB', le rayon de la sphère est assez facile à trouver.
R² = (R-AB)² + BB'²
R² = R² + AB² + BB'² - 2AB.R
R = (AB²+BB'²)/2AB
R = (h²+S/pi)/2h

On peut également définir l'angle alpha d'ouverture de la calotte tel que tg(ajpha) = R/(R-h)

Un calcul intégral permet de trouver l'angle solide = 2pi(1-cos(alpha)) avec 4pi comme angle solide total.

V = 2piR³(1-cos(alpha))/3

A cela, il n'y a plus qu'à soustraire le volume du cône et il ne restera plus que la calotte.

 #7 - 17-06-2011 11:51:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2846
Lieu: Luxembourg

calotte sphérisue

Bonjour,
Soient r le rayon de la calotte et R celui de la sphère
V = Intégrale de 0 à R de pi (R²-x²) dx = pi h² (R - h/3)
Il reste à déterminer R en fonction de h et S (surface du plan de coupe)
R² = (R-h)² + r² avec r = V(S/pi) => R = h/2 + S/(2pi h)
Au final on aura: V = (S + pi h²/3) h/2
Bonne journée.
Frank

 #8 - 17-06-2011 12:19:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

alotte sphérique

Les deux dernières réponses m'ont l'air bonnes.

Ce problème m'a été proposé par un ami qui voulait déterminer le volume de son ballon d'eau chaude...

big_smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #9 - 17-06-2011 12:32:14

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Calotte sphérque

Tout est ici tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 17-06-2011 12:53:24

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Calotte sphériique

Merci pour le lien franck9525. smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #11 - 17-06-2011 12:55:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

cakotte sphérique

Désolé de ne pas chercher la réponse de cette énigme, mais je préfère les culottes féériques que les étudiantes arborent en cette saison idyllique sous les froufrous hypnotisants de leurs jupettes smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 17-06-2011 16:04:56

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 491
Lieu: Ardèche

calotye sphérique

[TeX]V=\int_{R-h}^R\pi(R^2-x^2)dx [/TeX]
avec [latex]S=\pi r^2=\pi\(R^2-(R-h)^2\)[/latex], d'où l'on tire :
[TeX]R=\frac{r^2+h^2}{2h}[/TeX]
[TeX]V=\pi\[R^2 x-\frac{x^3}3\]_{R-h}^R[/TeX]
[TeX]V=\pi \(R^2 h-\frac{R^3}3+\frac{(R-h)^3}3\)[/TeX][TeX]V=\pi \(R h^2-\frac{h^3}3\)[/TeX]
(vérification pour h=0, h=R, h=2R)

En remplaçant R, il vient :
[TeX]V=h\(\frac {S+\pi h^2} 2-\frac{\pi h^2}3\)[/TeX]
[TeX]\fbox{V=\frac{h(3S+\pi h^2)}6}[/TeX]
(vérification pour h=0, h=R, h=2R)

 #13 - 19-06-2011 21:58:54

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Calotte sphéirque

MthS-MlndN a écrit:

Désolé de ne pas chercher la réponse de cette énigme, mais je préfère les culottes féériques que les étudiantes arborent en cette saison idyllique sous les froufrous hypnotisants de leurs jupettes smile

J'approuve Mathias !

http://img.over-blog.com/446x500/2/43/87/73/juin/2011/1858rc.JPG

Présenté avec ce genre de métaphore, ça donne envie d'aimer les maths ! C'est quand même mieux qu'un ballon d'eau chaude, non ?
lollollol


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #14 - 19-06-2011 22:00:34

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

calotre sphérique

MthS-MlndN a écrit:

Désolé de ne pas chercher la réponse de cette énigme, mais je préfère les culottes féériques que les étudiantes arborent en cette saison idyllique sous les froufrous hypnotisants de leurs jupettes smile

lol Pas mieux !!!


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #15 - 19-06-2011 23:00:26

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

calotte sphétique

C'est en effet un poète!


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #16 - 19-06-2011 23:27:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Callotte sphérique

...quand je le souhaite. Je suis replongé dans du Desproges, ça doit être pour ça. Estimez-vous heureux que je voue une haine sans pareille a Bigard big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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